MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Unicode version

Theorem max1 10514
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 10515. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 8877 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 8877 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmax1 10504 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
41, 2, 3syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   ifcif 3565   class class class wbr 4023   RRcr 8736   RR*cxr 8866    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  z2ge  10525  uzsup  10967  expmulnbnd  11233  discr1  11237  rexuzre  11836  rexico  11837  caubnd  11842  limsupgre  11955  limsupbnd2  11957  rlim3  11972  lo1bdd2  11998  o1lo1  12011  rlimclim1  12019  lo1mul  12101  rlimno1  12127  cvgrat  12339  ruclem10  12517  bitsfzo  12626  1arith  12974  evth  18457  ioombl1lem1  18915  mbfi1flimlem  19077  itg2monolem3  19107  iblre  19148  itgreval  19151  iblss  19159  i1fibl  19162  itgitg1  19163  itgle  19164  itgeqa  19168  iblconst  19172  itgconst  19173  ibladdlem  19174  itgaddlem2  19178  iblabslem  19182  iblabsr  19184  iblmulc2  19185  itgmulc2lem2  19187  itgsplit  19190  plyaddlem1  19595  coeaddlem  19630  o1cxp  20269  cxp2lim  20271  cxploglim2  20273  ftalem1  20310  ftalem2  20311  chtppilim  20624  dchrisumlem3  20640  ostth2lem2  20783  ostth3  20787  irrapxlem4  26910  irrapxlem5  26911  climsuse  27734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator