MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Structured version   Unicode version

Theorem max1 10773
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 10774. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 9130 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9130 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmax1 10763 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
41, 2, 3syl2an 464 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   ifcif 3739   class class class wbr 4212   RRcr 8989   RR*cxr 9119    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  z2ge  10784  uzsup  11244  expmulnbnd  11511  discr1  11515  rexuzre  12156  rexico  12157  caubnd  12162  limsupgre  12275  limsupbnd2  12277  rlim3  12292  lo1bdd2  12318  o1lo1  12331  rlimclim1  12339  lo1mul  12421  rlimno1  12447  cvgrat  12660  ruclem10  12838  bitsfzo  12947  1arith  13295  evth  18984  ioombl1lem1  19452  mbfi1flimlem  19614  itg2monolem3  19644  iblre  19685  itgreval  19688  iblss  19696  i1fibl  19699  itgitg1  19700  itgle  19701  itgeqa  19705  iblconst  19709  itgconst  19710  ibladdlem  19711  itgaddlem2  19715  iblabslem  19719  iblabsr  19721  iblmulc2  19722  itgmulc2lem2  19724  itgsplit  19727  plyaddlem1  20132  coeaddlem  20167  o1cxp  20813  cxp2lim  20815  cxploglim2  20817  ftalem1  20855  ftalem2  20856  chtppilim  21169  dchrisumlem3  21185  ostth2lem2  21328  ostth3  21332  ibladdnclem  26261  itgaddnclem2  26264  iblabsnclem  26268  iblmulc2nc  26270  itgmulc2nclem2  26272  ftc1anclem5  26284  irrapxlem4  26888  irrapxlem5  26889  climsuse  27710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator