MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1 Unicode version

Theorem max1 10561
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. See also max1ALT 10562. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1
StepHypRef Expression
1 rexr 8922 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 8922 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 xrmax1 10551 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
41, 2, 3syl2an 463 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701   ifcif 3599   class class class wbr 4060   RRcr 8781   RR*cxr 8911    <_ cle 8913
This theorem is referenced by:  z2ge  10572  uzsup  11014  expmulnbnd  11280  discr1  11284  rexuzre  11883  rexico  11884  caubnd  11889  limsupgre  12002  limsupbnd2  12004  rlim3  12019  lo1bdd2  12045  o1lo1  12058  rlimclim1  12066  lo1mul  12148  rlimno1  12174  cvgrat  12386  ruclem10  12564  bitsfzo  12673  1arith  13021  evth  18510  ioombl1lem1  18968  mbfi1flimlem  19130  itg2monolem3  19160  iblre  19201  itgreval  19204  iblss  19212  i1fibl  19215  itgitg1  19216  itgle  19217  itgeqa  19221  iblconst  19225  itgconst  19226  ibladdlem  19227  itgaddlem2  19231  iblabslem  19235  iblabsr  19237  iblmulc2  19238  itgmulc2lem2  19240  itgsplit  19243  plyaddlem1  19648  coeaddlem  19683  o1cxp  20322  cxp2lim  20324  cxploglim2  20326  ftalem1  20363  ftalem2  20364  chtppilim  20677  dchrisumlem3  20693  ostth2lem2  20836  ostth3  20840  ibladdnclem  25321  itgaddnclem2  25324  iblabsnclem  25328  iblmulc2nc  25330  itgmulc2nclem2  25332  irrapxlem4  26058  irrapxlem5  26059  climsuse  26882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918
  Copyright terms: Public domain W3C validator