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Theorem maxlp 16878
Description: A point is a limit point of the whole space iff the singleton of the point is not open. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
maxlp  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )

Proof of Theorem maxlp
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . . . . 5  |-  X  C_  X
2 lpfval.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32lpss 16874 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  X )  C_  X )
41, 3mpan2 652 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( limPt `  J ) `  X )  C_  X
)
54sseld 3179 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  ->  P  e.  X ) )
65pm4.71rd 616 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  P  e.  ( ( limPt `  J
) `  X )
) ) )
7 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  Top )
82islp 16872 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) ) ) )
97, 1, 8sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) ) ) )
10 snssi 3759 . . . . . 6  |-  ( P  e.  X  ->  { P }  C_  X )
112clsdif 16790 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  { P } ) )  =  ( X  \  (
( int `  J
) `  { P } ) ) )
1210, 11sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) )  =  ( X 
\  ( ( int `  J ) `  { P } ) ) )
1312eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) )  <->  P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `  { P } ) ) ) )
14 eldif 3162 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( X  \ 
( ( int `  J
) `  { P } ) )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
1514baib 871 . . . . . 6  |-  ( P  e.  X  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  <->  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
1615adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `
 { P }
) )  <->  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
17 snssi 3759 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  { P } )  ->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  { P } ) )
1817adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  C_  (
( int `  J
) `  { P } ) )
192ntrss2 16794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  C_  { P } )
2010, 19sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( int `  J
) `  { P } )  C_  { P } )
2120adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  { P } )  C_  { P } )
2218, 21eqssd 3196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  =  ( ( int `  J
) `  { P } ) )
232ntropn 16786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  e.  J )
2410, 23sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( int `  J
) `  { P } )  e.  J
)
2524adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  { P } )  e.  J
)
2622, 25eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  e.  J
)
27 snidg 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  X  ->  P  e.  { P } )
2827ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  P  e.  { P } )
29 isopn3i 16819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  =  { P } )
3029adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  (
( int `  J
) `  { P } )  =  { P } )
3128, 30eleqtrrd 2360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )
3226, 31impbida 805 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } )  <->  { P }  e.  J )
)
3332notbid 285 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
3416, 33bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `
 { P }
) )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
359, 13, 343bitrd 270 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
3635pm5.32da 622 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( P  e.  X  /\  P  e.  (
( limPt `  J ) `  X ) )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )
376, 36bitrd 244 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   intcnt 16754   clsccl 16755   limPtclp 16866
This theorem is referenced by:  isperf3  16884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-lp 16868
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