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Theorem maxlp 17211
Description: A point is a limit point of the whole space iff the singleton of the point is not open. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
maxlp  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )

Proof of Theorem maxlp
StepHypRef Expression
1 ssid 3367 . . . . 5  |-  X  C_  X
2 lpfval.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
32lpss 17206 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( ( limPt `  J
) `  X )  C_  X )
41, 3mpan2 653 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( limPt `  J ) `  X )  C_  X
)
54sseld 3347 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  ->  P  e.  X ) )
65pm4.71rd 617 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  P  e.  ( ( limPt `  J
) `  X )
) ) )
7 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  Top )
82islp 17204 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) ) ) )
97, 1, 8sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) ) ) )
10 snssi 3942 . . . . . 6  |-  ( P  e.  X  ->  { P }  C_  X )
112clsdif 17117 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( X  \  { P } ) )  =  ( X  \  (
( int `  J
) `  { P } ) ) )
1210, 11sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) )  =  ( X 
\  ( ( int `  J ) `  { P } ) ) )
1312eleq2d 2503 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  ( X  \  { P } ) )  <->  P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `  { P } ) ) ) )
14 eldif 3330 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( X  \ 
( ( int `  J
) `  { P } ) )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
1514baib 872 . . . . . 6  |-  ( P  e.  X  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  <->  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
1615adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `
 { P }
) )  <->  -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) ) )
17 snssi 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  { P } )  ->  { P }  C_  ( ( int `  J ) `  { P } ) )
1817adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  C_  (
( int `  J
) `  { P } ) )
192ntrss2 17121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  C_  { P } )
2010, 19sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( int `  J
) `  { P } )  C_  { P } )
2120adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  { P } )  C_  { P } )
2218, 21eqssd 3365 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  =  ( ( int `  J
) `  { P } ) )
232ntropn 17113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  C_  X
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  e.  J )
2410, 23sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( ( int `  J
) `  { P } )  e.  J
)
2524adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  { P } )  e.  J
)
2622, 25eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )  ->  { P }  e.  J
)
27 snidg 3839 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  X  ->  P  e.  { P } )
2827ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  P  e.  { P } )
29 isopn3i 17146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { P }  e.  J
)  ->  ( ( int `  J ) `  { P } )  =  { P } )
3029adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  (
( int `  J
) `  { P } )  =  { P } )
3128, 30eleqtrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  /\  { P }  e.  J )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } ) )
3226, 31impbida 806 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } )  <->  { P }  e.  J )
)
3332notbid 286 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( -.  P  e.  ( ( int `  J
) `  { P } )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
3416, 33bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( X  \  ( ( int `  J ) `
 { P }
) )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
359, 13, 343bitrd 271 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  P  e.  X )  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  -.  { P }  e.  J )
)
3635pm5.32da 623 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( P  e.  X  /\  P  e.  (
( limPt `  J ) `  X ) )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )
376, 36bitrd 245 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( P  e.  ( ( limPt `  J ) `  X )  <->  ( P  e.  X  /\  -.  { P }  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Topctop 16958   intcnt 17081   clsccl 17082   limPtclp 17198
This theorem is referenced by:  isperf3  17217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-top 16963  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-lp 17200
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