MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxlt Structured version   Unicode version

Theorem maxlt 10781
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
maxlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )

Proof of Theorem maxlt
StepHypRef Expression
1 rexr 9131 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2 rexr 9131 . 2  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
3 rexr 9131 . 2  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
4 xrmaxlt 10770 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1227 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <  C  <->  ( A  <  C  /\  B  < 
C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   ifcif 3740   class class class wbr 4213   RRcr 8990   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122
This theorem is referenced by:  mbfposr  19545  cxploglim  20817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator