MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxprmfct Unicode version

Theorem maxprmfct 12808
Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
maxprmfct.1  |-  S  =  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }
Assertion
Ref Expression
maxprmfct  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  /\  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S ) )
Distinct variable groups:    x, N, y    z, N, y    x, S, y
Allowed substitution hint:    S( z)

Proof of Theorem maxprmfct
StepHypRef Expression
1 maxprmfct.1 . . . . . 6  |-  S  =  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }
2 ssrab2 3271 . . . . . 6  |-  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }  C_  Prime
31, 2eqsstri 3221 . . . . 5  |-  S  C_  Prime
4 prmz 12778 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Prime  ->  y  e.  ZZ )
54ssriv 3197 . . . . 5  |-  Prime  C_  ZZ
63, 5sstri 3201 . . . 4  |-  S  C_  ZZ
76a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  S  C_  ZZ )
8 exprmfct 12805 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. y  e.  Prime  y  ||  N
)
9 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  ||  N  <->  y  ||  N ) )
109, 1elrab2 2938 . . . . . 6  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N ) )
1110exbii 1572 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  S  <->  E. y ( y  e. 
Prime  /\  y  ||  N
) )
12 n0 3477 . . . . 5  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  S )
13 df-rex 2562 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  Prime  y  ||  N  <->  E. y ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N ) )
1411, 12, 133bitr4ri 269 . . . 4  |-  ( E. y  e.  Prime  y  ||  N  <->  S  =/=  (/) )
158, 14sylib 188 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  S  =/=  (/) )
16 eluzelz 10254 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
17 eluz2b3 10307 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
1817simplbi 446 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
194anim1i 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  y  ||  N ) )
2010, 19sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  S  ->  (
y  e.  ZZ  /\  y  ||  N ) )
21 dvdsle 12590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( y  ||  N  ->  y  <_  N )
)
2221expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  ||  N  -> 
y  <_  N )
) )
2322imp3a 420 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  y  ||  N )  ->  y  <_  N
) )
2420, 23syl5 28 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  S  -> 
y  <_  N )
)
2524ralrimiv 2638 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  A. y  e.  S  y  <_  N )
2618, 25syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. y  e.  S  y  <_  N )
27 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  N ) )
2827ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  N ) )
2928rspcev 2897 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. y  e.  S  y  <_  N )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x )
3016, 26, 29syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
317, 15, 303jca 1132 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
32 suprzcl2 10324 . . 3  |-  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
3331, 32syl 15 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
3431, 33jca 518 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  /\  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   supcsup 7209   RRcr 8752   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246    || cdivides 12547   Primecprime 12774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-dvds 12548  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator