MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxprmfct Structured version   Unicode version

Theorem maxprmfct 13113
Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
maxprmfct.1  |-  S  =  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }
Assertion
Ref Expression
maxprmfct  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  /\  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S ) )
Distinct variable groups:    x, N, y    z, N, y    x, S, y
Allowed substitution hint:    S( z)

Proof of Theorem maxprmfct
StepHypRef Expression
1 maxprmfct.1 . . . . . 6  |-  S  =  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }
2 ssrab2 3428 . . . . . 6  |-  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }  C_  Prime
31, 2eqsstri 3378 . . . . 5  |-  S  C_  Prime
4 prmz 13083 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Prime  ->  y  e.  ZZ )
54ssriv 3352 . . . . 5  |-  Prime  C_  ZZ
63, 5sstri 3357 . . . 4  |-  S  C_  ZZ
76a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  S  C_  ZZ )
8 exprmfct 13110 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. y  e.  Prime  y  ||  N
)
9 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  ||  N  <->  y  ||  N ) )
109, 1elrab2 3094 . . . . . 6  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N ) )
1110exbii 1592 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  S  <->  E. y ( y  e. 
Prime  /\  y  ||  N
) )
12 n0 3637 . . . . 5  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  S )
13 df-rex 2711 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  Prime  y  ||  N  <->  E. y ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N ) )
1411, 12, 133bitr4ri 270 . . . 4  |-  ( E. y  e.  Prime  y  ||  N  <->  S  =/=  (/) )
158, 14sylib 189 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  S  =/=  (/) )
16 eluzelz 10496 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
17 eluz2b3 10549 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
1817simplbi 447 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
194anim1i 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  y  ||  N ) )
2010, 19sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  S  ->  (
y  e.  ZZ  /\  y  ||  N ) )
21 dvdsle 12895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( y  ||  N  ->  y  <_  N )
)
2221expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  ||  N  -> 
y  <_  N )
) )
2322imp3a 421 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  y  ||  N )  ->  y  <_  N
) )
2420, 23syl5 30 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  S  -> 
y  <_  N )
)
2524ralrimiv 2788 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  A. y  e.  S  y  <_  N )
2618, 25syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. y  e.  S  y  <_  N )
27 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  N ) )
2827ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  N ) )
2928rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. y  e.  S  y  <_  N )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x )
3016, 26, 29syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
317, 15, 303jca 1134 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
32 suprzcl2 10566 . . 3  |-  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
3331, 32syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
3431, 33jca 519 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  /\  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   supcsup 7445   RRcr 8989   1c1 8991    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   2c2 10049   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    || cdivides 12852   Primecprime 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-dvds 12853  df-prm 13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator