MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  maxprmfct Unicode version

Theorem maxprmfct 12792
Description: The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
maxprmfct.1  |-  S  =  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }
Assertion
Ref Expression
maxprmfct  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  /\  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S ) )
Distinct variable groups:    x, N, y    z, N, y    x, S, y
Allowed substitution hint:    S( z)

Proof of Theorem maxprmfct
StepHypRef Expression
1 maxprmfct.1 . . . . . 6  |-  S  =  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }
2 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { z  e.  Prime  |  z  ||  N }  C_  Prime
31, 2eqsstri 3208 . . . . 5  |-  S  C_  Prime
4 prmz 12762 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Prime  ->  y  e.  ZZ )
54ssriv 3184 . . . . 5  |-  Prime  C_  ZZ
63, 5sstri 3188 . . . 4  |-  S  C_  ZZ
76a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  S  C_  ZZ )
8 exprmfct 12789 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. y  e.  Prime  y  ||  N
)
9 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  ||  N  <->  y  ||  N ) )
109, 1elrab2 2925 . . . . . 6  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N ) )
1110exbii 1569 . . . . 5  |-  ( E. y  y  e.  S  <->  E. y ( y  e. 
Prime  /\  y  ||  N
) )
12 n0 3464 . . . . 5  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  S )
13 df-rex 2549 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  Prime  y  ||  N  <->  E. y ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N ) )
1411, 12, 133bitr4ri 269 . . . 4  |-  ( E. y  e.  Prime  y  ||  N  <->  S  =/=  (/) )
158, 14sylib 188 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  S  =/=  (/) )
16 eluzelz 10238 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
17 eluz2b3 10291 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
1817simplbi 446 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
194anim1i 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Prime  /\  y  ||  N )  ->  (
y  e.  ZZ  /\  y  ||  N ) )
2010, 19sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  S  ->  (
y  e.  ZZ  /\  y  ||  N ) )
21 dvdsle 12574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( y  ||  N  ->  y  <_  N )
)
2221expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  ||  N  -> 
y  <_  N )
) )
2322imp3a 420 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  y  ||  N )  ->  y  <_  N
) )
2420, 23syl5 28 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
y  e.  S  -> 
y  <_  N )
)
2524ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  A. y  e.  S  y  <_  N )
2618, 25syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. y  e.  S  y  <_  N )
27 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  N ) )
2827ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( A. y  e.  S  y  <_  x  <->  A. y  e.  S  y  <_  N ) )
2928rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. y  e.  S  y  <_  N )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x )
3016, 26, 29syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)
317, 15, 303jca 1132 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
) )
32 suprzcl2 10308 . . 3  |-  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
3331, 32syl 15 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
3431, 33jca 518 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( S  C_  ZZ  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  S  y  <_  x
)  /\  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator