HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3i Unicode version

Theorem mayete3i 23079
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a  |-  A  e. 
CH
mayete3.b  |-  B  e. 
CH
mayete3.c  |-  C  e. 
CH
mayete3.d  |-  D  e. 
CH
mayete3.f  |-  F  e. 
CH
mayete3.g  |-  G  e. 
CH
mayete3.ac  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3.af  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.cf  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.ab  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3.cd  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
mayete3.fg  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
mayete3.x  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
mayete3.y  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
mayete3.z  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3i  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3474 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e. 
CH
42, 3chjcli 22808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  C )  e. 
CH
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
CH
64, 5chjcli 22808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  e. 
CH
76cheli 22584 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  ->  x  e.  ~H )
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
97, 8eleq2s 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  ~H )
109adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ~H )
111, 10sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ~H )
12 ax-hvmulid 22358 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
13 2cn 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
14 2ne0 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
15 recid2 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1613, 14, 15mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1716oveq1i 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1813, 14reccli 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
19 ax-hvmulass 22359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2018, 13, 19mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2117, 20syl5eqr 2434 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2212, 21eqtr3d 2422 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2311, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
24 hv2times 22412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2524oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
27 inss2 3506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  Y )
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
3029elin2 3475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Y  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) ) )
31 elin 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  B
)  /\  x  e.  ( C  vH  D ) ) )
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
CH
342, 33pjdsi 23063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) ) )
3532, 34mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) ) )
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  e. 
CH
383, 37pjdsi 23063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  D )  /\  C  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
3936, 38mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( C  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
4035, 39oveqan12d 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  x  e.  ( C  vH  D ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) ) )
4131, 40sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
42 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  C_  ( A  vH  B )
4342sseli 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  x  e.  ( A  vH  B
) )
442, 33chjcli 22808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
4544cheli 22584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  e.  ~H )
462pjhcli 22769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  A
) `  x )  e.  ~H )
4733pjhcli 22769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  ~H )
483pjhcli 22769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  C
) `  x )  e.  ~H )
4937pjhcli 22769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  ~H )
50 hvadd4 22387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5243, 45, 513syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5341, 52eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  e. 
CH
565, 55pjdsi 23063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( F  vH  G )  /\  F  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
5754, 56mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( F  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
5853, 57oveqan12d 6040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
5930, 58sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6028, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  F
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ) )
61 hvaddcl 22364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H )
6246, 48, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
63 hvaddcl 22364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H )
6447, 49, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  e.  ~H )
655pjhcli 22769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  ~H )
6655pjhcli 22769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
67 hvadd4 22387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  F
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
6911, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7026, 60, 693eqtrd 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
71 inss1 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
7271sseli 3288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  X )
7372, 8syl6eleq 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
772, 3, 5pjds3i 23064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  C
)  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  F )  /\  C  C_  ( _|_ `  F
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) ) )
7875, 76, 77mpanr12 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )
7973, 74, 78sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )
8070, 79oveq12d 6039 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
81 hvmulcl 22365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8213, 81mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
83 hvpncan 22390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8482, 83mpancom 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
8511, 84syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
8680, 85eqtr3d 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( 2  .h  x ) )
87 hvaddcl 22364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )
8862, 65, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
89 hvaddcl 22364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )
9064, 66, 89syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ~H )
91 hvpncan2 22391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
9288, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9311, 92syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9486, 93eqtr3d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )
9533pjcli 22768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  B )
9637pjcli 22768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  D )
9733chshii 22579 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  SH
9837chshii 22579 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
9997, 98shsvai 22715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  B  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  D )  ->  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D ) )
10095, 96, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  e.  ( B  +H  D ) )
10155pjcli 22768 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  G )
10297, 98shscli 22668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  D )  e.  SH
10355chshii 22579 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
104102, 103shsvai 22715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ( B  +H  D )  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  G )  ->  ( ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
105100, 101, 104syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
10611, 105syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
10794, 106eqeltrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
108102, 103shscli 22668 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  e.  SH
109 shmulcl 22569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  +H  D )  +H  G
)  e.  SH  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
110108, 18, 109mp3an12 1269 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
111107, 110syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
11223, 111eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
113112ssriv 3296 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  +H  D )  +H  G
)
11433, 37chsleji 22809 . . . . 5  |-  ( B  +H  D )  C_  ( B  vH  D )
11533, 37chjcli 22808 . . . . . . 7  |-  ( B  vH  D )  e. 
CH
116115chshii 22579 . . . . . 6  |-  ( B  vH  D )  e.  SH
117102, 116, 103shlessi 22728 . . . . 5  |-  ( ( B  +H  D ) 
C_  ( B  vH  D )  ->  (
( B  +H  D
)  +H  G ) 
C_  ( ( B  vH  D )  +H  G ) )
118114, 117ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
119113, 118sstri 3301 . . 3  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
120115, 55chsleji 22809 . . 3  |-  ( ( B  vH  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
121119, 120sstri 3301 . 2  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
122 mayete3.z . 2  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
123121, 122sseqtr4i 3325 1  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   0cc0 8924   1c1 8925    x. cmul 8929    / cdiv 9610   2c2 9982   ~Hchil 22271    +h cva 22272    .h csm 22273    -h cmv 22277   SHcsh 22280   CHcch 22281   _|_cort 22282    +H cph 22283    vH chj 22285   proj 
hcpjh 22289
This theorem is referenced by:  mayetes3i  23081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvmulass 22359  ax-hvdistr1 22360  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his1 22433  ax-his2 22434  ax-his3 22435  ax-his4 22436  ax-hcompl 22553
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-lm 17216  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cfil 19080  df-cau 19081  df-cmet 19082  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ginv 21630  df-gdiv 21631  df-ablo 21719  df-subgo 21739  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-vs 21927  df-nmcv 21928  df-ims 21929  df-dip 22046  df-ssp 22070  df-ph 22163  df-cbn 22214  df-hnorm 22320  df-hba 22321  df-hvsub 22323  df-hlim 22324  df-hcau 22325  df-sh 22558  df-ch 22573  df-oc 22603  df-ch0 22604  df-shs 22659  df-chj 22661  df-pjh 22746
  Copyright terms: Public domain W3C validator