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Theorem mayete3iOLD 22324
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 7. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3OLD.1  |-  A  e. 
CH
mayete3OLD.2  |-  B  e. 
CH
mayete3OLD.3  |-  C  e. 
CH
mayete3OLD.4  |-  D  e. 
CH
mayete3OLD.5  |-  F  e. 
CH
mayete3OLD.6  |-  G  e. 
CH
mayete3OLD.7  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3OLD.8  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.9  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.10  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
mayete3OLD.11  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
mayete3OLD.12  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
mayete3OLD.13  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
mayete3OLD.14  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
mayete3OLD.15  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3iOLD  |-  ( R  i^i  S )  C_  T

Proof of Theorem mayete3iOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  <->  ( x  e.  R  /\  x  e.  S ) )
2 mayete3OLD.13 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
32eleq2i 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  <->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
4 mayete3OLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
5 mayete3OLD.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
CH
64, 5chjcli 22052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
7 mayete3OLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  e. 
CH
86, 7chjcli 22052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  B )  vH  C )  e. 
CH
98cheli 21828 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  e.  ~H )
103, 9sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R  ->  x  e.  ~H )
1110adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ~H )
121, 11sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ~H )
13 ax-hvmulid 21602 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
14 2cn 9832 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
15 2ne0 9845 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
16 recid2 9455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1714, 15, 16mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1817oveq1i 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1914, 15reccli 9506 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
20 ax-hvmulass 21603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2119, 14, 20mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2218, 21syl5eqr 2342 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2313, 22eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2412, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
25 hv2times 21656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2625oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2712, 26syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
28 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  S
2928sseli 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  S )
30 mayete3OLD.14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
3130eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) ) )
32 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  i^i  ( C  vH  G
) )  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
3331, 32bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
34 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  D
)  /\  x  e.  ( B  vH  F ) ) )
35 mayete3OLD.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
36 mayete3OLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  e. 
CH
374, 36pjdsi 22307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  A  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
3835, 37mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
39 mayete3OLD.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
40 mayete3OLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  e. 
CH
415, 40pjdsi 22307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  vH  F )  /\  B  C_  ( _|_ `  F
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )
4239, 41mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( B  vH  F )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )
4338, 42oveqan12d 5893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  x  e.  ( B  vH  F ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) ) )
4434, 43sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
45 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  C_  ( A  vH  D )
4645sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ( A  vH  D
) )
474, 36chjcli 22052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  D )  e. 
CH
4847cheli 21828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  e.  ~H )
4946, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ~H )
504pjhcli 22013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  A
) `  x )  e.  ~H )
5136pjhcli 22013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  ~H )
525pjhcli 22013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  ~H )
5340pjhcli 22013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  ~H )
54 hvadd4 21631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5550, 51, 52, 53, 54syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5649, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5744, 56eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
58 mayete3OLD.12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
59 mayete3OLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  e. 
CH
607, 59pjdsi 22307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  G )  /\  C  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
6158, 60mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( C  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
6257, 61oveqan12d 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6333, 62sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6429, 63syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ) )
65 hvaddcl 21608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  e.  ~H )
6650, 52, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  e.  ~H )
67 hvaddcl 21608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )
6851, 53, 67syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
697pjhcli 22013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  C
) `  x )  e.  ~H )
7059pjhcli 22013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
71 hvadd4 21631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7266, 68, 69, 70, 71syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7312, 72syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7427, 64, 733eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
75 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  R
7675sseli 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  R )
7776, 2syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
78 mayete3OLD.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
79 mayete3OLD.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
80 mayete3OLD.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
814, 5, 7pjds3i 22308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  B
)  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  C )  /\  B  C_  ( _|_ `  C
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) ) )
8279, 80, 81mpanr12 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8378, 82mpan2 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8477, 83syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8574, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) ) ) )
86 hvmulcl 21609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8714, 86mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
88 hvpncan 21634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8987, 88mpancom 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
9012, 89syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
91 hvaddcl 21608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H )
9266, 69, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
93 hvaddcl 21608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )
9468, 70, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ~H )
95 hvpncan2 21635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
9692, 94, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9712, 96syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9885, 90, 973eqtr3d 2336 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )
9936pjcli 22012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  D )
10040pjcli 22012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  F )
10136chshii 21823 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
10240chshii 21823 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
103101, 102shsvai 21959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  D  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  F )  ->  ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F ) )
10499, 100, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ( D  +H  F ) )
10559pjcli 22012 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  G )
106101, 102shscli 21912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  +H  F )  e.  SH
10759chshii 21823 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
108106, 107shsvai 21959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ( D  +H  F )  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  G )  ->  ( ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
109104, 105, 108syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
11012, 109syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11198, 110eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
112106, 107shscli 21912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  e.  SH
113 shmulclOLD 21814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  +H  F
)  +H  G )  e.  SH  ->  (
( ( 1  / 
2 )  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) ) )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11519, 114mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
116111, 115syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11724, 116eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
118117ssriv 3197 . . . 4  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  +H  F )  +H  G
)
11936, 40chsleji 22053 . . . . 5  |-  ( D  +H  F )  C_  ( D  vH  F )
12036, 40chjcli 22052 . . . . . . 7  |-  ( D  vH  F )  e. 
CH
121120chshii 21823 . . . . . 6  |-  ( D  vH  F )  e.  SH
122106, 121, 107shlessi 21972 . . . . 5  |-  ( ( D  +H  F ) 
C_  ( D  vH  F )  ->  (
( D  +H  F
)  +H  G ) 
C_  ( ( D  vH  F )  +H  G ) )
123119, 122ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
124118, 123sstri 3201 . . 3  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
125120, 59chsleji 22053 . . 3  |-  ( ( D  vH  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
126124, 125sstri 3201 . 2  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
127 mayete3OLD.15 . 2  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
128126, 127sseqtr4i 3224 1  |-  ( R  i^i  S )  C_  T
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    / cdiv 9439   2c2 9811   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517    -h cmv 21521   SHcsh 21524   CHcch 21525   _|_cort 21526    +H cph 21527    vH chj 21529   proj 
hcpjh 21533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680  ax-hcompl 21797
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lm 16975  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-subgo 20985  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-dip 21290  df-ssp 21314  df-ph 21407  df-cbn 21458  df-hnorm 21564  df-hba 21565  df-hvsub 21567  df-hlim 21568  df-hcau 21569  df-sh 21802  df-ch 21817  df-oc 21847  df-ch0 21848  df-shs 21903  df-chj 21905  df-pjh 21990
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