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Theorem mayete3iOLD 23079
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 7. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3OLD.1  |-  A  e. 
CH
mayete3OLD.2  |-  B  e. 
CH
mayete3OLD.3  |-  C  e. 
CH
mayete3OLD.4  |-  D  e. 
CH
mayete3OLD.5  |-  F  e. 
CH
mayete3OLD.6  |-  G  e. 
CH
mayete3OLD.7  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3OLD.8  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.9  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.10  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
mayete3OLD.11  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
mayete3OLD.12  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
mayete3OLD.13  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
mayete3OLD.14  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
mayete3OLD.15  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3iOLD  |-  ( R  i^i  S )  C_  T

Proof of Theorem mayete3iOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3473 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  <->  ( x  e.  R  /\  x  e.  S ) )
2 mayete3OLD.13 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
32eleq2i 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  <->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
4 mayete3OLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
5 mayete3OLD.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
CH
64, 5chjcli 22807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
7 mayete3OLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  e. 
CH
86, 7chjcli 22807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  B )  vH  C )  e. 
CH
98cheli 22583 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  e.  ~H )
103, 9sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R  ->  x  e.  ~H )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ~H )
121, 11sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ~H )
13 ax-hvmulid 22357 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
14 2cn 10002 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
15 2ne0 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
16 recid2 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1714, 15, 16mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1817oveq1i 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1914, 15reccli 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
20 ax-hvmulass 22358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2119, 14, 20mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2218, 21syl5eqr 2433 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2313, 22eqtr3d 2421 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2412, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
25 hv2times 22411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2625oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2712, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
28 inss2 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  S
2928sseli 3287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  S )
30 mayete3OLD.14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
3130eleq2i 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) ) )
32 elin 3473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  i^i  ( C  vH  G
) )  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
3331, 32bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
34 elin 3473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  D
)  /\  x  e.  ( B  vH  F ) ) )
35 mayete3OLD.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
36 mayete3OLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  e. 
CH
374, 36pjdsi 23062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  A  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
3835, 37mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
39 mayete3OLD.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
40 mayete3OLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  e. 
CH
415, 40pjdsi 23062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  vH  F )  /\  B  C_  ( _|_ `  F
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )
4239, 41mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( B  vH  F )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )
4338, 42oveqan12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  x  e.  ( B  vH  F ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) ) )
4434, 43sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
45 inss1 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  C_  ( A  vH  D )
4645sseli 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ( A  vH  D
) )
474, 36chjcli 22807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  D )  e. 
CH
4847cheli 22583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  e.  ~H )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ~H )
504pjhcli 22768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  A
) `  x )  e.  ~H )
5136pjhcli 22768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  ~H )
525pjhcli 22768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  ~H )
5340pjhcli 22768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  ~H )
54 hvadd4 22386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5550, 51, 52, 53, 54syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5649, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5744, 56eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
58 mayete3OLD.12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
59 mayete3OLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  e. 
CH
607, 59pjdsi 23062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  G )  /\  C  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
6158, 60mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( C  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
6257, 61oveqan12d 6039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6333, 62sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6429, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ) )
65 hvaddcl 22363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  e.  ~H )
6650, 52, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  e.  ~H )
67 hvaddcl 22363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )
6851, 53, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
697pjhcli 22768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  C
) `  x )  e.  ~H )
7059pjhcli 22768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
71 hvadd4 22386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7266, 68, 69, 70, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7312, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7427, 64, 733eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
75 inss1 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  R
7675sseli 3287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  R )
7776, 2syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
78 mayete3OLD.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
79 mayete3OLD.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
80 mayete3OLD.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
814, 5, 7pjds3i 23063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  B
)  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  C )  /\  B  C_  ( _|_ `  C
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) ) )
8279, 80, 81mpanr12 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8378, 82mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8477, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8574, 84oveq12d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) ) ) )
86 hvmulcl 22364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8714, 86mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
88 hvpncan 22389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8987, 88mpancom 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
9012, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
91 hvaddcl 22363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H )
9266, 69, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
93 hvaddcl 22363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )
9468, 70, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ~H )
95 hvpncan2 22390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
9692, 94, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9712, 96syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9885, 90, 973eqtr3d 2427 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )
9936pjcli 22767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  D )
10040pjcli 22767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  F )
10136chshii 22578 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
10240chshii 22578 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
103101, 102shsvai 22714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  D  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  F )  ->  ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F ) )
10499, 100, 103syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ( D  +H  F ) )
10559pjcli 22767 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  G )
106101, 102shscli 22667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  +H  F )  e.  SH
10759chshii 22578 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
108106, 107shsvai 22714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ( D  +H  F )  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  G )  ->  ( ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
109104, 105, 108syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
11012, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11198, 110eqeltrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
112106, 107shscli 22667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  e.  SH
113 shmulclOLD 22569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  +H  F
)  +H  G )  e.  SH  ->  (
( ( 1  / 
2 )  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) ) )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11519, 114mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
116111, 115syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11724, 116eqeltrd 2461 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
118117ssriv 3295 . . . 4  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  +H  F )  +H  G
)
11936, 40chsleji 22808 . . . . 5  |-  ( D  +H  F )  C_  ( D  vH  F )
12036, 40chjcli 22807 . . . . . . 7  |-  ( D  vH  F )  e. 
CH
121120chshii 22578 . . . . . 6  |-  ( D  vH  F )  e.  SH
122106, 121, 107shlessi 22727 . . . . 5  |-  ( ( D  +H  F ) 
C_  ( D  vH  F )  ->  (
( D  +H  F
)  +H  G ) 
C_  ( ( D  vH  F )  +H  G ) )
123119, 122ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
124118, 123sstri 3300 . . 3  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
125120, 59chsleji 22808 . . 3  |-  ( ( D  vH  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
126124, 125sstri 3300 . 2  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
127 mayete3OLD.15 . 2  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
128126, 127sseqtr4i 3324 1  |-  ( R  i^i  S )  C_  T
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928    / cdiv 9609   2c2 9981   ~Hchil 22270    +h cva 22271    .h csm 22272    -h cmv 22276   SHcsh 22279   CHcch 22280   _|_cort 22281    +H cph 22282    vH chj 22284   proj 
hcpjh 22288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003  ax-hilex 22350  ax-hfvadd 22351  ax-hvcom 22352  ax-hvass 22353  ax-hv0cl 22354  ax-hvaddid 22355  ax-hfvmul 22356  ax-hvmulid 22357  ax-hvmulass 22358  ax-hvdistr1 22359  ax-hvdistr2 22360  ax-hvmul0 22361  ax-hfi 22429  ax-his1 22432  ax-his2 22433  ax-his3 22434  ax-his4 22435  ax-hcompl 22552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-lm 17215  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cfil 19079  df-cau 19080  df-cmet 19081  df-grpo 21627  df-gid 21628  df-ginv 21629  df-gdiv 21630  df-ablo 21718  df-subgo 21738  df-vc 21873  df-nv 21919  df-va 21922  df-ba 21923  df-sm 21924  df-0v 21925  df-vs 21926  df-nmcv 21927  df-ims 21928  df-dip 22045  df-ssp 22069  df-ph 22162  df-cbn 22213  df-hnorm 22319  df-hba 22320  df-hvsub 22322  df-hlim 22323  df-hcau 22324  df-sh 22557  df-ch 22572  df-oc 22602  df-ch0 22603  df-shs 22658  df-chj 22660  df-pjh 22745
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