HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mayete3iOLD Structured version   Unicode version

Theorem mayete3iOLD 23223
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 7. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3OLD.1  |-  A  e. 
CH
mayete3OLD.2  |-  B  e. 
CH
mayete3OLD.3  |-  C  e. 
CH
mayete3OLD.4  |-  D  e. 
CH
mayete3OLD.5  |-  F  e. 
CH
mayete3OLD.6  |-  G  e. 
CH
mayete3OLD.7  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3OLD.8  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.9  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
mayete3OLD.10  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
mayete3OLD.11  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
mayete3OLD.12  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
mayete3OLD.13  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
mayete3OLD.14  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
mayete3OLD.15  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3iOLD  |-  ( R  i^i  S )  C_  T

Proof of Theorem mayete3iOLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3522 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  <->  ( x  e.  R  /\  x  e.  S ) )
2 mayete3OLD.13 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( A  vH  B )  vH  C
)
32eleq2i 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  <->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
4 mayete3OLD.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
5 mayete3OLD.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e. 
CH
64, 5chjcli 22951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
7 mayete3OLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  e. 
CH
86, 7chjcli 22951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  B )  vH  C )  e. 
CH
98cheli 22727 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  e.  ~H )
103, 9sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R  ->  x  e.  ~H )
1110adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ~H )
121, 11sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ~H )
13 ax-hvmulid 22501 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
14 2cn 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
15 2ne0 10075 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
16 recid2 9685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1714, 15, 16mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1817oveq1i 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1914, 15reccli 9736 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
20 ax-hvmulass 22502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2119, 14, 20mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2218, 21syl5eqr 2481 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2313, 22eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2412, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
25 hv2times 22555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2625oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2712, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
28 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  S
2928sseli 3336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  S )
30 mayete3OLD.14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) )
3130eleq2i 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  <->  x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  i^i  ( C  vH  G ) ) )
32 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  i^i  ( C  vH  G
) )  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
3331, 32bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  S  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) ) )
34 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  D
)  /\  x  e.  ( B  vH  F ) ) )
35 mayete3OLD.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ( _|_ `  D )
36 mayete3OLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  e. 
CH
374, 36pjdsi 23206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  A  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
3835, 37mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
39 mayete3OLD.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  B  C_  ( _|_ `  F )
40 mayete3OLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  e. 
CH
415, 40pjdsi 23206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( B  vH  F )  /\  B  C_  ( _|_ `  F
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )
4239, 41mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( B  vH  F )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )
4338, 42oveqan12d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  D )  /\  x  e.  ( B  vH  F ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) ) )
4434, 43sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
45 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  C_  ( A  vH  D )
4645sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ( A  vH  D
) )
474, 36chjcli 22951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  D )  e. 
CH
4847cheli 22727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  D )  ->  x  e.  ~H )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  x  e.  ~H )
504pjhcli 22912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  A
) `  x )  e.  ~H )
5136pjhcli 22912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  ~H )
525pjhcli 22912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  ~H )
5340pjhcli 22912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  ~H )
54 hvadd4 22530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5550, 51, 52, 53, 54syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5649, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
5744, 56eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
58 mayete3OLD.12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  C_  ( _|_ `  G )
59 mayete3OLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  e. 
CH
607, 59pjdsi 23206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  G )  /\  C  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
6158, 60mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( C  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
6257, 61oveqan12d 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  D )  i^i  ( B  vH  F ) )  /\  x  e.  ( C  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6333, 62sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  S  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6429, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ) )
65 hvaddcl 22507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  e.  ~H )
6650, 52, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  e.  ~H )
67 hvaddcl 22507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )
6851, 53, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
697pjhcli 22912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  C
) `  x )  e.  ~H )
7059pjhcli 22912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
71 hvadd4 22530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7266, 68, 69, 70, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7312, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7427, 64, 733eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
75 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  i^i  S )  C_  R
7675sseli 3336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  R )
7776, 2syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C
) )
78 mayete3OLD.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
79 mayete3OLD.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
80 mayete3OLD.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  C_  ( _|_ `  C )
814, 5, 7pjds3i 23207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  B
)  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  C )  /\  B  C_  ( _|_ `  C
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) ) )
8279, 80, 81mpanr12 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8378, 82mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  vH  C )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8477, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )
8574, 84oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) ) ) )
86 hvmulcl 22508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8714, 86mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
88 hvpncan 22533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8987, 88mpancom 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
9012, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
91 hvaddcl 22507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H )
9266, 69, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
93 hvaddcl 22507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )
9468, 70, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ~H )
95 hvpncan2 22534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  C ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
9692, 94, 95syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9712, 96syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9885, 90, 973eqtr3d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )
9936pjcli 22911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  D )
10040pjcli 22911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  F )
10136chshii 22722 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
10240chshii 22722 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e.  SH
103101, 102shsvai 22858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  D  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  F )  ->  ( ( (
proj  h `  D ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  e.  ( D  +H  F ) )
10499, 100, 103syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ( D  +H  F ) )
10559pjcli 22911 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  G )
106101, 102shscli 22811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  +H  F )  e.  SH
10759chshii 22722 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
108106, 107shsvai 22858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ( D  +H  F )  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  G )  ->  ( ( ( ( proj  h `  D
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  F ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
109104, 105, 108syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  D ) `  x )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
11012, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
( ( proj  h `  D ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11198, 110eqeltrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
112106, 107shscli 22811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  e.  SH
113 shmulclOLD 22713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  +H  F
)  +H  G )  e.  SH  ->  (
( ( 1  / 
2 )  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) ) )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( D  +H  F
)  +H  G ) )
11519, 114mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G ) )
116111, 115syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
11724, 116eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( R  i^i  S )  ->  x  e.  ( ( D  +H  F )  +H  G
) )
118117ssriv 3344 . . . 4  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  +H  F )  +H  G
)
11936, 40chsleji 22952 . . . . 5  |-  ( D  +H  F )  C_  ( D  vH  F )
12036, 40chjcli 22951 . . . . . . 7  |-  ( D  vH  F )  e. 
CH
121120chshii 22722 . . . . . 6  |-  ( D  vH  F )  e.  SH
122106, 121, 107shlessi 22871 . . . . 5  |-  ( ( D  +H  F ) 
C_  ( D  vH  F )  ->  (
( D  +H  F
)  +H  G ) 
C_  ( ( D  vH  F )  +H  G ) )
123119, 122ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( D  +H  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
124118, 123sstri 3349 . . 3  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  +H  G
)
125120, 59chsleji 22952 . . 3  |-  ( ( D  vH  F )  +H  G )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
126124, 125sstri 3349 . 2  |-  ( R  i^i  S )  C_  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
127 mayete3OLD.15 . 2  |-  T  =  ( ( D  vH  F )  vH  G
)
128126, 127sseqtr4i 3373 1  |-  ( R  i^i  S )  C_  T
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    / cdiv 9669   2c2 10041   ~Hchil 22414    +h cva 22415    .h csm 22416    -h cmv 22420   SHcsh 22423   CHcch 22424   _|_cort 22425    +H cph 22426    vH chj 22428   proj 
hcpjh 22432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579  ax-hcompl 22696
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-lm 17285  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-subgo 21882  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-dip 22189  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hlim 22467  df-hcau 22468  df-sh 22701  df-ch 22716  df-oc 22746  df-ch0 22747  df-shs 22802  df-chj 22804  df-pjh 22889
  Copyright terms: Public domain W3C validator