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Theorem mbfadd 19016
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfadd.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfadd  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfadd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfadd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbff 18982 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
4 ffn 5389 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  dom  F
)
6 mbfadd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 18982 . . . . 5  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5389 . . . 4  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  dom  G
)
11 mbfdm 18983 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
121, 11syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
13 mbfdm 18983 . . . 4  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
15 eqid 2283 . . 3  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
17 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6085 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )
19 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2019simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
21 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
223, 20, 21syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2319simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
24 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
258, 23, 24syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
2622, 25readdd 11699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) )  =  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  +  ( Re `  ( G `  x )
) ) )
2726mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  +  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
28 inmbl 18899 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  dom  G  e.  dom  vol )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )
2912, 14, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dom  F  i^i  dom 
G )  e.  dom  vol )
3022recld 11679 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3125recld 11679 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( G `  x ) )  e.  RR )
32 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( F `  x )
) ) )
33 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )
3429, 30, 31, 32, 33offval2 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  +  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
3527, 34eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
36 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
37 resmpt 5000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) ) )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( F `  x
) )
393feqmptd 5575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) ) )
4039, 1eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
41 mbfres 18999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
4240, 29, 41syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
4338, 42syl5eqelr 2368 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn
)
4422ismbfcn2 18994 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( F `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
4543, 44mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) )
4645simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
47 inss2 3390 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
48 resmpt 5000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) ) )
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( G `  x
) )
508feqmptd 5575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) ) )
5150, 6eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn )
52 mbfres 18999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
5351, 29, 52syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
5449, 53syl5eqelr 2368 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) )  e. MblFn
)
5525ismbfcn2 18994 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
5654, 55mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) )
5756simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
58 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
5930, 58fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
60 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )
6131, 60fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
6246, 57, 59, 61mbfaddlem 19015 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
6335, 62eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) ) )  e. MblFn
)
6422, 25imaddd 11700 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) )  =  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  +  ( Im `  ( G `  x )
) ) )
6564mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  +  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
6622imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
6725imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( G `  x ) )  e.  RR )
68 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) ) )
69 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )
7029, 66, 67, 68, 69offval2 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  +  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
7165, 70eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
7245simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
7356simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
74 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
7566, 74fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
76 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )
7767, 76fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7872, 73, 75, 77mbfaddlem 19015 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
7971, 78eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) ) )  e. MblFn
)
8022, 25addcld 8854 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  x
)  +  ( G `
 x ) )  e.  CC )
8180ismbfcn2 18994 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  +  ( G `  x ) ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn ) ) )
8263, 79, 81mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) )  e. MblFn
)
8318, 82eqeltrd 2357 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740   Recre 11582   Imcim 11583   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfsub  19017  mbfmulc2  19018  mbfmul  19081  itg2monolem1  19105  itg2addlem  19113  ibladd  19175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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