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Theorem mbfaddlem 19015
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfadd.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfadd.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfadd.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 8820 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
21adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
3 mbfadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4 mbfadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
5 fdm 5393 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
63, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
7 mbfadd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
8 mbfdm 18983 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
106, 9eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 inidm 3378 . . 3  |-  ( A  i^i  A )  =  A
122, 3, 4, 10, 10, 11off 6093 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : A --> RR )
13 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
14 r19.42v 2694 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
15 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
164adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
17 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  RR )
1816, 17sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
193adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : A
--> RR )
20 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
2119, 20sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
2215, 18, 21ltsubaddd 9368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  <->  y  <  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) ) )
2315adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  y  e.  RR )
24 qre 10321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  RR )
2618adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
27 ltsub23 9254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  ->  (
( y  -  r
)  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2823, 25, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2928anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) ) )
30 ancom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  ( G `  x )
)  <  r )  <->  ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
3129, 30syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( (
y  -  ( G `
 x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x
) ) ) )
3231rexbidva 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3315, 18resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  ( G `  x ) )  e.  RR )
3521adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
36 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  (
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3734, 25, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3837rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
39 qbtwnre 10526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
y  -  ( G `
 x ) )  <  ( F `  x ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
40393expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  ( F `
 x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
4133, 21, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
4238, 41impbid 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
4332, 42bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
44 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
453, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
47 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
484, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
5010adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e. 
dom  vol )
51 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
52 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
5346, 49, 50, 50, 11, 51, 52ofval 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  o F  +  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) )
5453breq2d 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  <->  y  <  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )
5522, 43, 543bitr4d 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x ) ) )
5625rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e. 
RR* )
57 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5935biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( r  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
6058, 59bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  r  <  ( F `  x ) ) )
6123, 25resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e.  RR )
6261rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e. 
RR* )
63 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  r )  e.  RR*  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6526biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6664, 65bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) )
6760, 66anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6867rexbidva 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( r  < 
( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6915rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
70 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
7212adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  o F  +  G
) : A --> RR )
73 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  o F  +  G ) : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR )
7472, 73sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR )
7574biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
7671, 75bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )
) )
7755, 68, 763bitr4d 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  e.  ( y (,)  +oo ) ) )
7877pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  (
( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
7914, 78syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
80 elpreima 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo ) ) ) )
8146, 80syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo ) ) ) )
82 elpreima 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
8349, 82syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
8481, 83anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e.  ( r (,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) ) ) )
85 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
86 anandi 801 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e.  ( r (,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) ) )
8784, 85, 863bitr4g 279 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) ) )
8887rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) ) )
89 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  o F  +  G ) : A --> RR  ->  ( F  o F  +  G )  Fn  A )
9012, 89syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  Fn  A )
9190adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  o F  +  G
)  Fn  A )
92 elpreima 5645 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o F  +  G )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
9391, 92syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " (
y (,)  +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
9479, 88, 933bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) "
( y (,)  +oo ) ) ) )
9513, 94syl5bb 248 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " ( y (,) 
+oo ) ) ) )
9695eqrdv 2281 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  =  ( `' ( F  o F  +  G
) " ( y (,)  +oo ) ) )
97 qnnen 12492 . . . . 5  |-  QQ  ~~  NN
98 endom 6888 . . . . 5  |-  ( QQ 
~~  NN  ->  QQ  ~<_  NN )
9997, 98ax-mp 8 . . . 4  |-  QQ  ~<_  NN
100 mbfima 18987 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
1017, 3, 100syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
102 mbfadd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
103 mbfima 18987 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
104102, 4, 103syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
105 inmbl 18899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
106101, 104, 105syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
107106ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( `' F "
( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
108107ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
109 iunmbl2 18914 . . . 4  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
11099, 108, 109sylancr 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
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ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( F  o F  +  G ) "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
11212, 111ismbf3d 19009 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   RRcr 8736    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    - cmin 9037   NNcn 9746   QQcq 10316   (,)cioo 10656   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfadd  19016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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