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Theorem mbfaddlem 19031
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfadd.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfadd.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfadd.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 8836 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
21adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
3 mbfadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4 mbfadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
5 fdm 5409 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
63, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
7 mbfadd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
8 mbfdm 18999 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
106, 9eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 inidm 3391 . . 3  |-  ( A  i^i  A )  =  A
122, 3, 4, 10, 10, 11off 6109 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : A --> RR )
13 eliun 3925 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
14 r19.42v 2707 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
15 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
164adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
17 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  RR )
1816, 17sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
193adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : A
--> RR )
20 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
2119, 20sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
2215, 18, 21ltsubaddd 9384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  <->  y  <  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) ) )
2315adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  y  e.  RR )
24 qre 10337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  RR )
2618adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
27 ltsub23 9270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  ->  (
( y  -  r
)  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2823, 25, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2928anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) ) )
30 ancom 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  ( G `  x )
)  <  r )  <->  ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
3129, 30syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( (
y  -  ( G `
 x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x
) ) ) )
3231rexbidva 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3315, 18resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  ( G `  x ) )  e.  RR )
3521adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
36 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  (
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3734, 25, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3837rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
39 qbtwnre 10542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
y  -  ( G `
 x ) )  <  ( F `  x ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
40393expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  ( F `
 x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
4133, 21, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
4238, 41impbid 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
4332, 42bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
44 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
453, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
47 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
484, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
5010adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e. 
dom  vol )
51 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
52 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
5346, 49, 50, 50, 11, 51, 52ofval 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  o F  +  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) )
5453breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  <->  y  <  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )
5522, 43, 543bitr4d 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x ) ) )
5625rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e. 
RR* )
57 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5935biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( r  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
6058, 59bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  r  <  ( F `  x ) ) )
6123, 25resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e.  RR )
6261rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e. 
RR* )
63 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  r )  e.  RR*  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6526biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6664, 65bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) )
6760, 66anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6867rexbidva 2573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( r  < 
( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6915rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
70 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
7212adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  o F  +  G
) : A --> RR )
73 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  o F  +  G ) : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR )
7472, 73sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR )
7574biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
7671, 75bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )
) )
7755, 68, 763bitr4d 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  e.  ( y (,)  +oo ) ) )
7877pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  (
( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
7914, 78syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
80 elpreima 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo ) ) ) )
8146, 80syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo ) ) ) )
82 elpreima 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
8349, 82syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
8481, 83anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e.  ( r (,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) ) ) )
85 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
86 anandi 801 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e.  ( r (,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) ) )
8784, 85, 863bitr4g 279 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) ) )
8887rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) ) )
89 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  o F  +  G ) : A --> RR  ->  ( F  o F  +  G )  Fn  A )
9012, 89syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  Fn  A )
9190adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  o F  +  G
)  Fn  A )
92 elpreima 5661 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o F  +  G )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
9391, 92syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " (
y (,)  +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
9479, 88, 933bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) "
( y (,)  +oo ) ) ) )
9513, 94syl5bb 248 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " ( y (,) 
+oo ) ) ) )
9695eqrdv 2294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  =  ( `' ( F  o F  +  G
) " ( y (,)  +oo ) ) )
97 qnnen 12508 . . . . 5  |-  QQ  ~~  NN
98 endom 6904 . . . . 5  |-  ( QQ 
~~  NN  ->  QQ  ~<_  NN )
9997, 98ax-mp 8 . . . 4  |-  QQ  ~<_  NN
100 mbfima 19003 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
1017, 3, 100syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
102 mbfadd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
103 mbfima 19003 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
104102, 4, 103syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
105 inmbl 18915 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
106101, 104, 105syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
107106ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( `' F "
( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
108107ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
109 iunmbl2 18930 . . . 4  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
11099, 108, 109sylancr 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
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ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( F  o F  +  G ) "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
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)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   RRcr 8752    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    - cmin 9053   NNcn 9762   QQcq 10332   (,)cioo 10672   volcvol 18839  MblFncmbf 18985
This theorem is referenced by:  mbfadd  19032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991
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