MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfaddlem Structured version   Unicode version

Theorem mbfaddlem 19554
Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfadd.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfadd.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfadd.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfaddlem  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfaddlem
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 9075 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
21adantl 454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
3 mbfadd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4 mbfadd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
5 fdm 5597 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
63, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
7 mbfadd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
8 mbfdm 19522 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
106, 9eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
11 inidm 3552 . . 3  |-  ( A  i^i  A )  =  A
122, 3, 4, 10, 10, 11off 6322 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : A --> RR )
13 eliun 4099 . . . . 5  |-  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
14 r19.42v 2864 . . . . . . 7  |-  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
15 simplr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR )
164adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
1716ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
183adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F : A
--> RR )
1918ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
2015, 17, 19ltsubaddd 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  <->  y  <  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) ) )
2115adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  y  e.  RR )
22 qre 10581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  RR )
2322adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e.  RR )
2417adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
25 ltsub23 9510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( G `  x )  e.  RR )  ->  (
( y  -  r
)  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) )
2726anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r ) ) )
28 ancom 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  ( G `  x )
)  <  r )  <->  ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
2927, 28syl6bb 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( r  <  ( F `
 x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( (
y  -  ( G `
 x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x
) ) ) )
3029rexbidva 2724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3115, 17resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  -  ( G `
 x ) )  e.  RR )
3231adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  ( G `  x ) )  e.  RR )
3319adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
34 lttr 9154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  r  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  (
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3532, 23, 33, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
3635rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  -> 
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x ) ) )
37 qbtwnre 10787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
y  -  ( G `
 x ) )  <  ( F `  x ) )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) )
38373expia 1156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  -  ( G `  x )
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  -> 
( ( y  -  ( G `  x ) )  <  ( F `
 x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
3931, 19, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  -  ( G `  x )
)  <  ( F `  x )  ->  E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  < 
r  /\  r  <  ( F `  x ) ) ) )
4036, 39impbid 185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( y  -  ( G `  x ) )  <  r  /\  r  <  ( F `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
4130, 40bitrd 246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  ( y  -  ( G `  x ) )  < 
( F `  x
) ) )
42 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
433, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
45 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
464, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
4746adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
4810adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A  e. 
dom  vol )
49 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
50 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
5144, 47, 48, 48, 11, 49, 50ofval 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  o F  +  G ) `  x )  =  ( ( F `  x
)  +  ( G `
 x ) ) )
5251breq2d 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  <->  y  <  ( ( F `
 x )  +  ( G `  x
) ) ) )
5320, 41, 523bitr4d 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( r  <  ( F `  x )  /\  ( y  -  r
)  <  ( G `  x ) )  <->  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x ) ) )
5423rexrd 9136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  r  e. 
RR* )
55 elioopnf 11000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5733biantrurd 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( r  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  r  < 
( F `  x
) ) ) )
5856, 57bitr4d 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( r (,) 
+oo )  <->  r  <  ( F `  x ) ) )
5921, 23resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e.  RR )
6059rexrd 9136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( y  -  r )  e. 
RR* )
61 elioopnf 11000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  -  r )  e.  RR*  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6324biantrurd 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( y  -  r )  <  ( G `  x )  <->  ( ( G `  x )  e.  RR  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6462, 63bitr4d 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo )  <->  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) )
6558, 64anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  r  e.  QQ )  ->  ( ( ( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( r  <  ( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6665rexbidva 2724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( r  < 
( F `  x
)  /\  ( y  -  r )  < 
( G `  x
) ) ) )
6715rexrd 9136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
68 elioopnf 11000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
7012adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  o F  +  G
) : A --> RR )
7170ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR )
7271biantrurd 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  <->  ( ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  RR  /\  y  <  ( ( F  o F  +  G ) `  x
) ) ) )
7369, 72bitr4d 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  y  <  ( ( F  o F  +  G
) `  x )
) )
7453, 66, 733bitr4d 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. r  e.  QQ  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( ( F  o F  +  G
) `  x )  e.  ( y (,)  +oo ) ) )
7574pm5.32da 624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  /\  E. r  e.  QQ  (
( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
7614, 75syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  (
x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
77 elpreima 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo ) ) ) )
7844, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo ) ) ) )
79 elpreima 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  Fn  A  ->  (
x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
8047, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
8178, 80anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e.  ( r (,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) ) ) )
82 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) )
83 anandi 803 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  ( F `
 x )  e.  ( r (,)  +oo ) )  /\  (
x  e.  A  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,) 
+oo ) ) ) )
8481, 82, 833bitr4g 281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F `  x
)  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x )  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) ) )
8584rexbidv 2728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. r  e.  QQ  ( x  e.  A  /\  ( ( F `  x )  e.  ( r (,)  +oo )  /\  ( G `  x
)  e.  ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) ) ) )
86 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  o F  +  G ) : A --> RR  ->  ( F  o F  +  G )  Fn  A )
8712, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  Fn  A )
8887adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F  o F  +  G
)  Fn  A )
89 elpreima 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o F  +  G )  Fn  A  ->  ( x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
9088, 89syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " (
y (,)  +oo ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( ( F  o F  +  G ) `  x )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
9176, 85, 903bitr4d 278 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( E. r  e.  QQ  x  e.  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <-> 
x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) "
( y (,)  +oo ) ) ) )
9213, 91syl5bb 250 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  <->  x  e.  ( `' ( F  o F  +  G ) " ( y (,) 
+oo ) ) ) )
9392eqrdv 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  =  ( `' ( F  o F  +  G
) " ( y (,)  +oo ) ) )
94 qnnen 12815 . . . . 5  |-  QQ  ~~  NN
95 endom 7136 . . . . 5  |-  ( QQ 
~~  NN  ->  QQ  ~<_  NN )
9694, 95ax-mp 8 . . . 4  |-  QQ  ~<_  NN
97 mbfima 19526 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
987, 3, 97syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
99 mbfadd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
100 mbfima 19526 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
10199, 4, 100syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
102 inmbl 19438 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
( r (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10398, 101, 102syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
104103ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  r  e.  QQ )  ->  (
( `' F "
( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G " ( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
105104ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
106 iunmbl2 19453 . . . 4  |-  ( ( QQ  ~<_  NN  /\  A. r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10796, 105, 106sylancr 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  U_ r  e.  QQ  ( ( `' F " ( r (,)  +oo ) )  i^i  ( `' G "
( ( y  -  r ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10893, 107eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( F  o F  +  G ) "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
10912, 108ismbf3d 19548 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321   U_ciun 4095   class class class wbr 4214   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109   RRcr 8991    + caddc 8995    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    - cmin 9293   NNcn 10002   QQcq 10576   (,)cioo 10918   volcvol 19362  MblFncmbf 19508
This theorem is referenced by:  mbfadd  19555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514
  Copyright terms: Public domain W3C validator