MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Unicode version

Theorem mbfconst 19394
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
2 fconstmpt 4861 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 5832 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> CC )
4 mblss 19294 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
6 cnex 9004 . . . 4  |-  CC  e.  _V
7 reex 9014 . . . 4  |-  RR  e.  _V
8 elpm2r 6970 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( A  X.  { B } ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  -> 
( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
96, 7, 8mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( ( A  X.  { B } ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
103, 5, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
112a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
12 ref 11844 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Re : CC --> RR )
1413feqmptd 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re `  y ) ) )
15 fveq2 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  B ) )
161, 11, 14, 15fmptco 5840 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )
17 fconstmpt 4861 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { ( Re
`  B ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )
1816, 17syl6eqr 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( A  X.  {
( Re `  B
) } ) )
1918cnveqd 4988 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  `' ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  `' ( A  X.  { ( Re
`  B ) } ) )
2019imaeq1d 5142 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  =  ( `' ( A  X.  {
( Re `  B
) } ) "
y ) )
21 recl 11842 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
22 mbfconstlem 19388 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( Re `  B
)  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Re `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
2321, 22sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Re `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
2420, 23eqeltrd 2461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol )
25 imf 11845 . . . . . . . . . . 11  |-  Im : CC
--> RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Im : CC --> RR )
2726feqmptd 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im `  y ) ) )
28 fveq2 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  B ) )
291, 11, 27, 28fmptco 5840 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )
30 fconstmpt 4861 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { ( Im
`  B ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )
3129, 30syl6eqr 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( A  X.  {
( Im `  B
) } ) )
3231cnveqd 4988 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  `' ( A  X.  { ( Im
`  B ) } ) )
3332imaeq1d 5142 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  =  ( `' ( A  X.  {
( Im `  B
) } ) "
y ) )
34 imcl 11843 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
35 mbfconstlem 19388 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( Im `  B
)  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Im `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
3634, 35sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Im `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
3733, 36eqeltrd 2461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol )
3824, 37jca 519 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol ) )
3938ralrimivw 2733 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol ) )
40 ismbf1 19385 . 2  |-  ( ( A  X.  { B } )  e. MblFn  <->  ( ( A  X.  { B }
)  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  A. y  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol ) ) )
4110, 39, 40sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   {csn 3757    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   ran crn 4819   "cima 4821    o. ccom 4822   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^pm cpm 6955   CCcc 8921   RRcr 8922   (,)cioo 10848   Recre 11829   Imcim 11830   volcvol 19227  MblFncmbf 19373
This theorem is referenced by:  mbfss  19405  mbfmulc2lem  19406  mbfpos  19410  ibl0  19545  iblconst  19576  itgaddnclem2  25964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xadd 10643  df-ioo 10852  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-xmet 16619  df-met 16620  df-ovol 19228  df-vol 19229  df-mbf 19379
  Copyright terms: Public domain W3C validator