MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfconst Structured version   Unicode version

Theorem mbfconst 19519
Description: A constant function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfconst
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
2 fconstmpt 4913 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 5885 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> CC )
4 mblss 19419 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  A  C_  RR )
6 cnex 9063 . . . 4  |-  CC  e.  _V
7 reex 9073 . . . 4  |-  RR  e.  _V
8 elpm2r 7026 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( ( A  X.  { B } ) : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  -> 
( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
96, 7, 8mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( ( A  X.  { B } ) : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
103, 5, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
112a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
12 ref 11909 . . . . . . . . . . 11  |-  Re : CC
--> RR
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Re : CC --> RR )
1413feqmptd 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Re  =  ( y  e.  CC  |->  ( Re `  y ) ) )
15 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
Re `  y )  =  ( Re `  B ) )
161, 11, 14, 15fmptco 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )
17 fconstmpt 4913 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { ( Re
`  B ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )
1816, 17syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( A  X.  {
( Re `  B
) } ) )
1918cnveqd 5040 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  `' ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  `' ( A  X.  { ( Re
`  B ) } ) )
2019imaeq1d 5194 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  =  ( `' ( A  X.  {
( Re `  B
) } ) "
y ) )
21 recl 11907 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
22 mbfconstlem 19513 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( Re `  B
)  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Re `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
2321, 22sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Re `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
2420, 23eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol )
25 imf 11910 . . . . . . . . . . 11  |-  Im : CC
--> RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Im : CC --> RR )
2726feqmptd 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  Im  =  ( y  e.  CC  |->  ( Im `  y ) ) )
28 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
Im `  y )  =  ( Im `  B ) )
291, 11, 27, 28fmptco 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )
30 fconstmpt 4913 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { ( Im
`  B ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )
3129, 30syl6eqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  ( A  X.  {
( Im `  B
) } ) )
3231cnveqd 5040 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )  =  `' ( A  X.  { ( Im
`  B ) } ) )
3332imaeq1d 5194 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  =  ( `' ( A  X.  {
( Im `  B
) } ) "
y ) )
34 imcl 11908 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
35 mbfconstlem 19513 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( Im `  B
)  e.  RR )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Im `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
3634, 35sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( A  X.  { ( Im `  B ) } ) " y
)  e.  dom  vol )
3733, 36eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol )
3824, 37jca 519 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol ) )
3938ralrimivw 2782 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol ) )
40 ismbf1 19510 . 2  |-  ( ( A  X.  { B } )  e. MblFn  <->  ( ( A  X.  { B }
)  e.  ( CC 
^pm  RR )  /\  A. y  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  ( A  X.  { B } ) )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  ( A  X.  { B }
) ) " y
)  e.  dom  vol ) ) )
4110, 39, 40sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^pm cpm 7011   CCcc 8980   RRcr 8981   (,)cioo 10908   Recre 11894   Imcim 11895   volcvol 19352  MblFncmbf 19498
This theorem is referenced by:  mbfss  19530  mbfmulc2lem  19531  mbfpos  19535  ibl0  19670  iblconst  19701  0mbf  26242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504
  Copyright terms: Public domain W3C validator