MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm Unicode version

Theorem mbfdm 19036
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfdm  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfdm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 11644 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 mbff 19035 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
3 fco 5436 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
41, 2, 3sylancr 644 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
5 fimacnv 5695 . . 3  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  =  dom  F )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" RR )  =  dom  F )
7 ioomax 10771 . . . 4  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
8 ioof 10788 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9 ffn 5427 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
11 mnfxr 10503 . . . . 5  |-  -oo  e.  RR*
12 pnfxr 10502 . . . . 5  |-  +oo  e.  RR*
13 fnovrn 6037 . . . . 5  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  -oo  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (  -oo (,) 
+oo )  e.  ran  (,) )
1410, 11, 12, 13mp3an 1277 . . . 4  |-  (  -oo (,) 
+oo )  e.  ran  (,)
157, 14eqeltrri 2387 . . 3  |-  RR  e.  ran  (,)
16 ismbf1 19034 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
1716simprbi 450 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
18 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
1918ralimi 2652 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
2017, 19syl 15 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
21 imaeq2 5045 . . . . 5  |-  ( x  =  RR  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  =  ( `' ( Re  o.  F
) " RR ) )
2221eleq1d 2382 . . . 4  |-  ( x  =  RR  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  e.  dom  vol )
)
2322rspcv 2914 . . 3  |-  ( RR  e.  ran  (,)  ->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( Re  o.  F ) " RR )  e.  dom  vol ) )
2415, 20, 23mpsyl 59 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" RR )  e. 
dom  vol )
256, 24eqeltrrd 2391 1  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   ~Pcpw 3659    X. cxp 4724   `'ccnv 4725   dom cdm 4726   ran crn 4727   "cima 4729    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288  (class class class)co 5900    ^pm cpm 6816   CCcc 8780   RRcr 8781    +oocpnf 8909    -oocmnf 8910   RR*cxr 8911   (,)cioo 10703   Recre 11629   Imcim 11630   volcvol 18876  MblFncmbf 19022
This theorem is referenced by:  ismbf  19038  ismbfcn  19039  mbfimaicc  19041  mbfdm2  19046  mbfres  19052  mbfmulc2lem  19055  mbfimaopn2  19065  cncombf  19066  mbfaddlem  19068  mbfadd  19069  mbfsub  19070  mbfmullem2  19132  mbfmul  19134  bddmulibl  19246  bddibl  19247  itgulm  19837  bddiblnc  25335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-er 6702  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-2 9849  df-ioo 10707  df-cj 11631  df-re 11632  df-mbf 19028
  Copyright terms: Public domain W3C validator