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Theorem mbfeqalem 18997
Description: Lemma for mbfeqa 18998. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
mbfeqa.2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
mbfeqa.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
mbfeqalem.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
mbfeqalem.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem mbfeqalem
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inundif 3532 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )  =  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )
2 incom 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )
3 dfin4 3409 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )
42, 3eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )
5 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  e. 
dom  vol )
6 symdif2 3434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  \ 
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )  =  { z  |  -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) }
7 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( B  \  A )  <->  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  A ) )
8 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
9 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  ->  x  e.  B )
109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  x  e.  B )
11 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  RR )
129, 11sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  RR )
13 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  B  |->  C )
1413fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  B  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  C )
1510, 12, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  C )
16 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  RR )
179, 16sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  D  e.  RR )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  B  |->  D )  =  ( x  e.  B  |->  D )
1918fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  B  /\  D  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x )  =  D )
2010, 17, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  x )  =  D )
218, 15, 203eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 x ) )
2221ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
) )
23 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ z ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
)
24 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ x
( x  e.  B  |->  C )
25 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ x
z
2624, 25nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )
27 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  F/_ x
( x  e.  B  |->  D )
2827, 25nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  F/_ x
( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )
2926, 28nfeq 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ x
( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z
)
30 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z ) )
31 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  |->  D ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) )
3230, 31eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  x
)  <->  ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) ) )
3323, 29, 32cbvral 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. x  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  x )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 x )  <->  A. z  e.  ( B  \  A
) ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z ) )
3422, 33sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ( B  \  A ) ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z
) )
3534r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  B  |->  C ) `  z )  =  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 z ) )
3635eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y  <->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) )
377, 36sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  B  /\  -.  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( x  e.  B  |->  C ) `
 z )  e.  y  <->  ( ( x  e.  B  |->  D ) `
 z )  e.  y ) )
3837anass1rs 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  z  e.  A )  /\  z  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y  <->  ( (
x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) )
3938pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  e.  y )  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) ) )
4011, 13fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR )
41 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR  ->  ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B )
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B
)
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
x  e.  B  |->  C )  Fn  B )
44 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  |->  C )  Fn  B  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  ( z  e.  B  /\  (
( x  e.  B  |->  C ) `  z
)  e.  y ) ) )
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  C ) `  z )  e.  y ) ) )
4616, 18fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR )
47 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR  ->  ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B
)
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
x  e.  B  |->  D )  Fn  B )
50 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  B  |->  D )  Fn  B  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  <->  ( z  e.  B  /\  (
( x  e.  B  |->  D ) `  z
)  e.  y ) ) )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  <->  ( z  e.  B  /\  ( ( x  e.  B  |->  D ) `  z )  e.  y ) ) )
5239, 45, 513bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  A )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )
5352ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -.  z  e.  A  ->  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) ) )
5453con1d 116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  <-> 
z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  ->  z  e.  A ) )
5554abssdv 3247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { z  |  -.  ( z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  <->  z  e.  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) } 
C_  A )
566, 55syl5eqss 3222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  u.  (
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  \ 
( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y ) ) )  C_  A )
57 unss 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A )  <->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) ) 
C_  A )
5856, 57sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  C_  A  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A )
)
5958simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A )
60 mbfeqa.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6159, 60sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  RR )
62 mbfeqa.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
63 ovolssnul 18846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  =  0 )  -> 
( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  =  0 )
6459, 60, 62, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  =  0 )
65 nulmbl 18893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )  =  0 )  -> 
( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )
6661, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )
67 difmbl 18900 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  \ 
( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
685, 66, 67syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) ) )  e.  dom  vol )
694, 68syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) )  e.  dom  vol )
7058simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A )
7170, 60sstrd 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  RR )
72 ovolssnul 18846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  =  0 )  -> 
( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  =  0 )
7370, 60, 62, 72syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  =  0 )
74 nulmbl 18893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) )  =  0 )  -> 
( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )
7571, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )
7675adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) )  e.  dom  vol )
77 unmbl 18895 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
7869, 76, 77syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
791, 78syl5eqelr 2368 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  e.  dom  vol )
80 inundif 3532 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) ) )  =  ( `' ( x  e.  B  |->  C )
" y )
81 incom 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) )
82 dfin4 3409 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )
8381, 82eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  =  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
) ) )
84 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  e.  dom  vol 
->  ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  e. 
dom  vol )
85 difmbl 18900 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  e. 
dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( x  e.  B  |->  D )
" y )  \ 
( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
8684, 75, 85syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  \  ( ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  \  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y ) ) )  e.  dom  vol )
8783, 86syl5eqel 2367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  e.  dom  vol )
8866adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  \  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
) )  e.  dom  vol )
89 unmbl 18895 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol  /\  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
9087, 88, 89syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  i^i  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y ) )  u.  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y ) 
\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y ) ) )  e.  dom  vol )
9180, 90syl5eqelr 2368 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol )  ->  ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol )
9279, 91impbida 805 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol  <->  ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9392ralbidv 2563 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y )  e.  dom  vol  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
94 ismbf 18985 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  C ) : B --> RR  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9540, 94syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  C ) "
y )  e.  dom  vol ) )
96 ismbf 18985 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  D ) : B --> RR  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) " y
)  e.  dom  vol ) )
9746, 96syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( x  e.  B  |->  D ) "
y )  e.  dom  vol ) )
9893, 95, 973bitr4d 276 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   RRcr 8736   0cc0 8737   (,)cioo 10656   vol *covol 18822   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfeqa  18998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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