MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbff Structured version   Unicode version

Theorem mbff 19521
Description: A measurable function is a function into the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbff  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )

Proof of Theorem mbff
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf1 19520 . . 3  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
21simplbi 448 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
3 cnex 9073 . . . 4  |-  CC  e.  _V
4 reex 9083 . . . 4  |-  RR  e.  _V
53, 4elpm2 7047 . . 3  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  RR ) )
65simplbi 448 . 2  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  F : dom  F --> CC )
72, 6syl 16 1  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   ran crn 4881   "cima 4883    o. ccom 4884   -->wf 5452  (class class class)co 6083    ^pm cpm 7021   CCcc 8990   RRcr 8991   (,)cioo 10918   Recre 11904   Imcim 11905   volcvol 19362  MblFncmbf 19508
This theorem is referenced by:  mbfdm  19522  mbfmptcl  19531  mbfres  19538  mbfimaopnlem  19549  mbfadd  19555  mbfsub  19556  mbfmul  19620  iblcnlem  19682  bddmulibl  19732  bddibl  19733  bddiblnc  26277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-pm 7023  df-mbf 19514
  Copyright terms: Public domain W3C validator