MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbff Unicode version

Theorem mbff 19035
Description: A measurable function is a function into the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbff  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )

Proof of Theorem mbff
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf1 19034 . . 3  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
21simplbi 446 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
3 cnex 8863 . . . 4  |-  CC  e.  _V
4 reex 8873 . . . 4  |-  RR  e.  _V
53, 4elpm2 6842 . . 3  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  RR ) )
65simplbi 446 . 2  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  F : dom  F --> CC )
72, 6syl 15 1  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   `'ccnv 4725   dom cdm 4726   ran crn 4727   "cima 4729    o. ccom 4730   -->wf 5288  (class class class)co 5900    ^pm cpm 6816   CCcc 8780   RRcr 8781   (,)cioo 10703   Recre 11629   Imcim 11630   volcvol 18876  MblFncmbf 19022
This theorem is referenced by:  mbfdm  19036  mbfmptcl  19045  mbfres  19052  mbfimaopnlem  19063  mbfadd  19069  mbfsub  19070  mbfmul  19134  iblcnlem  19196  bddmulibl  19246  bddibl  19247  bddiblnc  25335
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-pm 6818  df-mbf 19028
  Copyright terms: Public domain W3C validator