MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbff Unicode version

Theorem mbff 18982
Description: A measurable function is a function into the complexes. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbff  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )

Proof of Theorem mbff
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf1 18981 . . 3  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
21simplbi 446 . 2  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
3 cnex 8818 . . . 4  |-  CC  e.  _V
4 reex 8828 . . . 4  |-  RR  e.  _V
53, 4elpm2 6799 . . 3  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  RR ) )
65simplbi 446 . 2  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  ->  F : dom  F --> CC )
72, 6syl 15 1  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   RRcr 8736   (,)cioo 10656   Recre 11582   Imcim 11583   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfdm  18983  mbfmptcl  18992  mbfres  18999  mbfimaopnlem  19010  mbfadd  19016  mbfsub  19017  mbfmul  19081  iblcnlem  19143  bddmulibl  19193  bddibl  19194
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-pm 6775  df-mbf 18975
  Copyright terms: Public domain W3C validator