MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flimlem Unicode version

Theorem mbfi1flimlem 19077
Description: Lemma for mbfi1flim 19078. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1flimlem.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfi1flimlem  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, n, x, F    ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flimlem
Dummy variables  y 
f  h  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1flimlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
2 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
31, 2sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
41feqmptd 5575 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
5 mbfi1flim.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
64, 5eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  e. MblFn )
73, 6mbfpos 19006 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
8 0re 8838 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3601 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( F `  y
) ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
103, 8, 9sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
11 max1 10514 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( F `  y )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
128, 3, 11sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
13 elrege0 10746 . . . . 5  |-  ( if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
15 eqid 2283 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
1614, 15fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
177, 16mbfi1fseq 19076 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
183renegcld 9210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  -u ( F `  y )  e.  RR )
193, 6mbfneg 19005 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  -u ( F `  y
) )  e. MblFn )
2018, 19mbfpos 19006 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
21 ifcl 3601 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( F `  y )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
2218, 8, 21sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR )
23 max1 10514 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( F `  y
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
248, 18, 23sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
25 elrege0 10746 . . . . 5  |-  ( if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) )
2622, 24, 25sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
27 eqid 2283 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) )
2826, 27fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
2920, 28mbfi1fseq 19076 . 2  |-  ( ph  ->  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
30 eeanv 1854 . . 3  |-  ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  <->  ( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
31 3simpb 953 . . . . . . 7  |-  ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
32 3simpb 953 . . . . . . 7  |-  ( ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3331, 32anim12i 549 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  -> 
( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
34 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  <->  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
3533, 34sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  ( h : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  -> 
( ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) ) )
36 r19.26 2675 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  RR  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
37 i1fsub 19063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  S.1  /\  y  e.  dom  S.1 )  ->  ( x  o F  -  y )  e.  dom  S.1 )
3837adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  (
x  e.  dom  S.1  /\  y  e.  dom  S.1 ) )  ->  (
x  o F  -  y )  e.  dom  S.1 )
39 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  f : NN --> dom  S.1 )
40 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  h : NN --> dom  S.1 )
41 nnex 9752 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
4241a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  NN  e.  _V )
43 inidm 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
4438, 39, 40, 42, 42, 43off 6093 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( f  o F  o F  -  h ) : NN --> dom  S.1 )
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
4645breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( F `  y )  <->  0  <_  ( F `  x ) ) )
47 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  0  =  0 )
4846, 45, 47ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
49 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
50 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
5149, 50ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e. 
_V
5248, 15, 51fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
5352breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
5445negeqd 9046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  -u ( F `  y )  =  -u ( F `  x ) )
5554breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  -u ( F `
 y )  <->  0  <_  -u ( F `  x ) ) )
5655, 54, 47ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
57 negex 9050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u ( F `  x )  e.  _V
5857, 50ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V
5956, 27, 58fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
6059breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
6153, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
6261adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
63 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
6564a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
66 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
6741mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h
) `  n ) `  x ) )  e. 
_V
6867a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )  e.  _V )
69 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )
70 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n )  e.  dom  S.1 )
7139, 70sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  e.  dom  S.1 )
72 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( f `  n ) : RR --> RR )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n ) : RR --> RR )
74 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f `  n
) : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `  n ) `  x
)  e.  RR )
7573, 74sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  RR )
7675an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  RR )
7776recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( f `
 n ) `  x )  e.  CC )
78 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )
7977, 78fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) : NN --> CC )
81 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) ) `
 k )  e.  CC )
8280, 81sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
83 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( h : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( h `  n )  e.  dom  S.1 )
8440, 83sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
h `  n )  e.  dom  S.1 )
85 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( h `  n ) : RR --> RR )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
h `  n ) : RR --> RR )
87 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h `  n
) : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `  n ) `  x
)  e.  RR )
8886, 87sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  RR )
8988an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  RR )
9089recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( h `
 n ) `  x )  e.  CC )
91 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )
9290, 91fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
9392adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) ) : NN --> CC )
94 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) ) `
 k )  e.  CC )
9593, 94sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
96 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : NN --> dom  S.1  ->  f  Fn  NN )
9739, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  f  Fn  NN )
98 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h : NN --> dom  S.1  ->  h  Fn  NN )
9940, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  h  Fn  NN )
100 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  =  ( f `  k ) )
101 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  =  ( h `  k ) )
10297, 99, 42, 42, 43, 100, 101ofval 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( f  o F  o F  -  h
) `  k )  =  ( ( f `
 k )  o F  -  ( h `
 k ) ) )
103102fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( f  o F  o F  -  h ) `  k
) `  x )  =  ( ( ( f `  k )  o F  -  (
h `  k )
) `  x )
)
104103adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  k ) `  x
)  =  ( ( ( f `  k
)  o F  -  ( h `  k
) ) `  x
) )
105 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k )  e.  dom  S.1 )
10639, 105sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  dom  S.1 )
107 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( f `  k ) : RR --> RR )
108 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  k ) : RR --> RR  ->  ( f `  k )  Fn  RR )
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  Fn  RR )
110 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h : NN --> dom  S.1  /\  k  e.  NN )  ->  ( h `  k )  e.  dom  S.1 )
11140, 110sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  e.  dom  S.1 )
112 i1ff 19031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( h `  k ) : RR --> RR )
113 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h `  k ) : RR --> RR  ->  ( h `  k )  Fn  RR )
114111, 112, 1133syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
h `  k )  Fn  RR )
115 reex 8828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  e.  _V
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
117 inidm 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
118 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 k ) `  x )  =  ( ( f `  k
) `  x )
)
119 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( h `
 k ) `  x )  =  ( ( h `  k
) `  x )
)
120109, 114, 116, 116, 117, 118, 119ofval 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f `  k )  o F  -  (
h `  k )
) `  x )  =  ( ( ( f `  k ) `
 x )  -  ( ( h `  k ) `  x
) ) )
121104, 120eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  k ) `  x
)  =  ( ( ( f `  k
) `  x )  -  ( ( h `
 k ) `  x ) ) )
122121an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  k ) `  x
)  =  ( ( ( f `  k
) `  x )  -  ( ( h `
 k ) `  x ) ) )
123 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( f  o F  o F  -  h
) `  n )  =  ( ( f  o F  o F  -  h ) `  k ) )
124123fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( f  o F  o F  -  h ) `  n
) `  x )  =  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  k ) `  x
) )
125 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h
) `  n ) `  x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )
126 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  o F  o F  -  h
) `  k ) `  x )  e.  _V
127124, 125, 126fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( ( f  o F  o F  -  h
) `  k ) `  x ) )
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h
) `  n ) `  x ) ) `  k )  =  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  k
) `  x )
)
129 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
130129fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( f `  n
) `  x )  =  ( ( f `
 k ) `  x ) )
131 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  k ) `
 x )  e. 
_V
132130, 78, 131fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( f `  k ) `
 x ) )
133 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
h `  n )  =  ( h `  k ) )
134133fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( h `  n
) `  x )  =  ( ( h `
 k ) `  x ) )
135 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h `  k ) `
 x )  e. 
_V
136134, 91, 135fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( h `  k ) `
 x ) )
137132, 136oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) `  k )  -  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
) )  =  ( ( ( f `  k ) `  x
)  -  ( ( h `  k ) `
 x ) ) )
138137adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `
 x ) ) `
 k ) )  =  ( ( ( f `  k ) `
 x )  -  ( ( h `  k ) `  x
) ) )
139122, 128, 1383eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h
) `  n ) `  x ) ) `  k )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) ) `  k )  -  (
( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) ) `  k
) ) )
140139adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  x
) ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
) `  k )
) )
14163, 65, 66, 68, 69, 82, 95, 140climsub 12107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) ) )
1421adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  F : RR --> RR )
143 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
144142, 143sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
145 max0sub 10523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
146144, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
147146adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( F `  x ) )
148141, 147breqtrd 4047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  if ( 0  <_ 
( F `  x
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `  x ) ,  -u ( F `  x ) ,  0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
149148ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  if ( 0  <_  ( F `  x ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  if ( 0  <_  -u ( F `
 x ) , 
-u ( F `  x ) ,  0 ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
15062, 149sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
151150ralimdva 2621 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
152 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( f  o F  o F  -  h )  e. 
_V
153 feq1 5375 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  o F  o F  -  h )  ->  (
g : NN --> dom  S.1  <->  (
f  o F  o F  -  h ) : NN --> dom  S.1 ) )
154 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  o F  o F  -  h )  ->  (
g `  n )  =  ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) )
155154fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  o F  o F  -  h )  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )
156155mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  o F  o F  -  h )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h
) `  n ) `  x ) ) )
157156breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( f  o F  o F  -  h )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
158157ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  o F  o F  -  h )  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
159153, 158anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( f  o F  o F  -  h )  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  <-> 
( ( f  o F  o F  -  h ) : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
160152, 159spcev 2875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  o F  o F  -  h
) : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( f  o F  o F  -  h ) `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
16144, 151, 160ee12an 1353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( A. x  e.  RR  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
16236, 161syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 ) )  ->  ( ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( h `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `
 y ) , 
-u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
163162expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  h : NN --> dom  S.1 )  /\  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
16435, 163syl5 28 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
165164exlimdvv 1668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. h ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  o R  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  /\  (
h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
16630, 165syl5bir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  o R  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  ( F `  y ) ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `
 x ) )  /\  E. h ( h : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( h `  n )  /\  (
h `  n )  o R  <_  ( h `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( h `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( 0  <_  -u ( F `  y ) ,  -u ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
16717, 29, 166mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    o Rcofr 6077   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   ZZcz 10024   [,)cico 10658    ~~> cli 11958  MblFncmbf 18969   S.1citg1 18970   0 pc0p 19024
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  19078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-0p 19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator