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Theorem mbfi1fseqlem3 19072
Description: Lemma for mbfi1fseq 19076. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    x, G    m, J    ph, m, x, y    A, m, x, y
Allowed substitution hints:    G( y, m)    J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem3
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  RR
2 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  +oo  e.  RR*
3 icossre 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
5 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
6 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
7 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
85, 6, 7syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
94, 8sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
10 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN
11 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
12 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
1310, 11, 12sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (
2 ^ m )  e.  NN )
1413ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
1514nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR )
169, 15remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
17 reflcl 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  e.  RR )
1816, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
1918, 14nndivred 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
2019ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  (
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
21 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
2221fmpt2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  ( ( |_
`  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  <->  J : ( NN  X.  RR ) --> RR )
2320, 22sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> RR )
24 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> RR 
/\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
2523, 24syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
26253expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
27 nnre 9753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2827ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
29 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
30 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
3110, 29, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
3231ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
33 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
34 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  0  <  ( 2 ^ A
) )
3533, 34jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )
3632, 35syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )
37 lemul1 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( 2 ^ A
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )  ->  ( ( A J x )  <_  A 
<->  ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
3826, 28, 36, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A J x )  <_  A  <->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
3938biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )
40 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  NN )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  A  e.  NN )
42 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  x  e.  RR )
43 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
4443fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
45 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  m  =  A )
4645oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ A ) )
4744, 46oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
4847fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
4948, 46oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
50 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
5149, 21, 50ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
5241, 42, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
5352oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
545adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,)  +oo ) )
55 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5654, 55sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
57 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5856, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
5958simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
6032nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
6159, 60remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
6232nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN0 )
6362nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( 2 ^ A
) )
64 mulge0 9291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )
6558, 60, 63, 64syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
66 flge0nn0 10948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
6761, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
NN0 )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
6968nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  CC )
7032adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  e.  NN )
7170nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  e.  CC )
7270nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( 2 ^ A )  =/=  0 )
7369, 71, 72divcan1d 9537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) )  =  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
7453, 73eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  =  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
7574, 68eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN0 )
76 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
7775, 76syl6eleq 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
78 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( 2 ^ A
)  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN )
7931, 78mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN )
8079ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  NN )
8281nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ZZ )
83 elfz5 10790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  <-> 
( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
8477, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  <->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <_  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
8539, 84mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
86 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
87 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) )
88 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
8986, 87, 88fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
9085, 89syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
9126adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e.  RR )
9291recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e.  CC )
9392, 71, 72divcan4d 9542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( A J x ) )
9490, 93eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( A J x ) )
95 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
9695nn0red 10019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  m  e.  RR )
9731adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2 ^ A )  e.  NN )
98 nndivre 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( 2 ^ A
)  e.  NN )  ->  ( m  / 
( 2 ^ A
) )  e.  RR )
9996, 97, 98syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
10099, 87fmptd 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) : ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) --> RR )
101 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) : ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) --> RR 
->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
103102adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
104103adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) )  Fn  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
105 fnfvelrn 5662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  ( ( A J x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
106104, 85, 105syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `  ( ( A J x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
10794, 106eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( A J x )  <_  A
)  ->  ( A J x )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
10880nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  NN0 )
109108, 76syl6eleq 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
110 eluzfz2 10804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
111109, 110syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
112 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( A  x.  ( 2 ^ A
) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  / 
( 2 ^ A
) ) )
113 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
114112, 87, 113fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
115111, 114syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
11628recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
11732nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
11832nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
119116, 117, 118divcan4d 9542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  x.  (
2 ^ A ) )  /  ( 2 ^ A ) )  =  A )
120115, 119eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  =  A )
121 fnfvelrn 5662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  ( A  x.  (
2 ^ A ) )  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
122103, 111, 121syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
123120, 122eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
124123adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( A J x )  <_  A )  ->  A  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
125107, 124ifclda 3592 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
126 eluzfz1 10803 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
127109, 126syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
128 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
m  /  ( 2 ^ A ) )  =  ( 0  / 
( 2 ^ A
) ) )
129 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 0  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
130128, 87, 129fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  ( 0  /  ( 2 ^ A ) ) )
131127, 130syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  ( 0  /  ( 2 ^ A ) ) )
132 nncn 9754 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
133 nnne0 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
134132, 133div0d 9535 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  ->  (
0  /  ( 2 ^ A ) )  =  0 )
13532, 134syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
0  /  ( 2 ^ A ) )  =  0 )
136131, 135eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  =  0 )
137 fnfvelrn 5662 . . . . . 6  |-  ( ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) )  Fn  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  /\  0  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) `
 0 )  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
138103, 127, 137syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) `  0
)  e.  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
139136, 138eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
140 ifcl 3601 . . . 4  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  ran  ( m  e.  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  /\  0  e. 
ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  (
2 ^ A ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
141125, 139, 140syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  ran  ( m  e.  (
0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) )
142 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
143141, 142fmptd 5684 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ A ) ) ) )
144 mbfi1fseq.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
145 mbfi1fseq.4 . . . . 5  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
146144, 5, 21, 145mbfi1fseqlem2 19071 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
147146adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
148147feq1d 5379 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( G `  A ) : RR --> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) )  <->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) : RR --> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ A ) ) ) ) )
149143, 148mpbird 223 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( A  x.  ( 2 ^ A ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   ...cfz 10782   |_cfl 10924   ^cexp 11104  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem4  19073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105
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