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Theorem mbfi1fseqlem4 19073
Description: Lemma for mbfi1fseq 19076. This lemma is not as interesting as it is long - it is simply checking that  G is in fact a sequence of simple functions, by verifying that its range is in  ( 0 ... n 2 ^ n
)  /  ( 2 ^ n ) (which is to say, the numbers from  0 to  n in increments of  1  / 
( 2 ^ n
)), and also that the preimage of each point  k is measurable, because it is equal to  ( -u n [,] n )  i^i  ( `' F " ( k [,) k  +  1  /  ( 2 ^ n ) ) ) for  k  <  n and  ( -u n [,] n
)  i^i  ( `' F " ( k [,) 
+oo ) ) for  k  =  n. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem4  |-  ( ph  ->  G : NN --> dom  S.1 )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    x, G    m, J    ph, m, x, y
Allowed substitution hints:    G( y, m)    J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem4
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 8828 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
21mptex 5746 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u m [,] m ) ,  if ( ( m J x )  <_  m ,  ( m J x ) ,  m ) ,  0 ) )  e.  _V
3 mbfi1fseq.4 . . . 4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
42, 3fnmpti 5372 . . 3  |-  G  Fn  NN
54a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  G  Fn  NN )
6 mbfi1fseq.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
7 mbfi1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
8 mbfi1fseq.3 . . . . . 6  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
96, 7, 8, 3mbfi1fseqlem3 19072 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n ) : RR --> ran  ( m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
10 elfznn0 10822 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
1110nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  ->  m  e.  RR )
12 2nn 9877 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
13 nnnn0 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
14 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
1512, 13, 14sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  NN )
1615adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2 ^ n )  e.  NN )
17 nndivre 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( 2 ^ n
)  e.  NN )  ->  ( m  / 
( 2 ^ n
) )  e.  RR )
1811, 16, 17syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  (
m  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR )
19 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) )
2018, 19fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) ) : ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) ) --> RR )
21 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) ) : ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) ) --> RR 
->  ran  ( m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) )  C_  RR )
2220, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  C_  RR )
23 fss 5397 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  n
) : RR --> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  /\  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  C_  RR )  ->  ( G `  n
) : RR --> RR )
249, 22, 23syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n ) : RR --> RR )
25 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  e. 
Fin )
26 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) ) : ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) ) --> RR 
->  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ n ) ) )  Fn  (
0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) ) )
2720, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  Fn  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) ) )
28 dffn4 5457 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  Fn  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) ) : ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) -onto-> ran  ( m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
2927, 28sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) ) : ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) ) -onto-> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
30 fofi 7142 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  e.  Fin  /\  ( m  e.  (
0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) ) : ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) ) -onto-> ran  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  Fin )
3125, 29, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  Fin )
32 frn 5395 . . . . . 6  |-  ( ( G `  n ) : RR --> ran  (
m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ran  ( G `
 n )  C_  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ n ) ) ) )
339, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( G `  n )  C_ 
ran  ( m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
34 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
Fin  /\  ran  ( G `
 n )  C_  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ->  ran  ( G `  n
)  e.  Fin )
3531, 33, 34syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( G `  n )  e.  Fin )
366, 7, 8, 3mbfi1fseqlem2 19071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( G `  n )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 ) ) )
3736fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( G `  n
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 ) ) `  x
) )
3837ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  n
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 ) ) `  x
) )
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
40 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n J x )  e. 
_V
41 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  n  e. 
_V
4240, 41ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n )  e.  _V
43 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
4442, 43ifex 3623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  e.  _V
45 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 ) )
4645fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 ) )
4739, 44, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 ) )
4838, 47eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  n
) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 ) )
4948adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  n ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 ) )
5049eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( G `
 n ) `  x )  =  k  <-> 
if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 )  =  k ) )
51 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  { 0 } )  ->  k  =/=  0
)
5251ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  k  =/=  0 )
53 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =  k  ->  ( if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =/=  0  <->  k  =/=  0 ) )
5452, 53syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 )  =  k  ->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =/=  0
) )
55 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  ( -u n [,] n )  ->  if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =  0 )
5655necon1ai 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =/=  0  ->  x  e.  ( -u n [,] n
) )
5754, 56syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 )  =  k  ->  x  e.  ( -u n [,] n ) ) )
5857pm4.71rd 616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 )  =  k  <->  ( x  e.  ( -u n [,] n )  /\  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =  k ) ) )
59 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u n [,] n )  ->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) )
6059eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u n [,] n )  ->  ( if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =  k  <->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =  k ) )
61 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  n  e.  NN )
6261nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  n  e.  RR )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  n  e.  RR )
64 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  RR
65 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  +oo  e.  RR*
66 icossre 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
6764, 65, 66mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
68 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
69 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
707, 68, 69syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7167, 70sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
72 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
73 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
7412, 72, 73sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  NN  ->  (
2 ^ m )  e.  NN )
7574ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
7675nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR )
7771, 76remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
78 reflcl 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  e.  RR )
7977, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
8079, 75nndivred 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
8180ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  (
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
828fmpt2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  ( ( |_
`  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  <->  J : ( NN  X.  RR ) --> RR )
8381, 82sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> RR )
84 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> RR 
/\  n  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( n J x )  e.  RR )
8583, 84syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( n J x )  e.  RR )
86853expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n J x )  e.  RR )
8786adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( n J x )  e.  RR )
8887adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( n J x )  e.  RR )
89 lemin 10520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n J x )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( n  <_  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  <->  ( n  <_ 
( n J x )  /\  n  <_  n ) ) )
9063, 88, 63, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( n  <_  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  <->  ( n  <_  ( n J x )  /\  n  <_  n ) ) )
91 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n J x )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  e.  RR )
9288, 63, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  if (
( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n )  e.  RR )
9392, 63letri3d 8961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  n  <->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  <_  n  /\  n  <_  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ) ) )
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  k  =  n )
9594eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  <->  if (
( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n )  =  n ) )
96 min2 10518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n J x )  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  <_  n
)
9788, 63, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  if (
( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n )  <_  n )
9897biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( n  <_  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  <->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  <_  n  /\  n  <_  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ) ) )
9993, 95, 983bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  <->  n  <_  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ) )
10063leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  n  <_  n )
101100biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( n  <_  ( n J x )  <->  ( n  <_ 
( n J x )  /\  n  <_  n ) ) )
10290, 99, 1013bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  <->  n  <_  ( n J x ) ) )
103 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
k  <_  ( F `  x )  <->  n  <_  ( F `  x ) ) )
1047adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,)  +oo ) )
105 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
106104, 105sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
107 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
108106, 107sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
109108simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
110109adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
11161, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2 ^ n
)  e.  NN )
112111nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2 ^ n
)  e.  RR )
113110, 112remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  e.  RR )
114 reflcl 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) )  e.  RR )
115113, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR )
116111nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ n ) )
117 lemuldiv 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( ( n  x.  ( 2 ^ n ) )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) )  <->  n  <_  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
11862, 115, 112, 116, 117syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n  x.  ( 2 ^ n
) )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) )  <->  n  <_  ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
119 lemul1 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( n  <_ 
( F `  x
)  <->  ( n  x.  ( 2 ^ n
) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
12062, 110, 112, 116, 119syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  <_  ( F `  x )  <->  ( n  x.  ( 2 ^ n ) )  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) ) )
121 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( 2 ^ n
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( 2 ^ n
) )  e.  NN )
12215, 121mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2 ^ n ) )  e.  NN )
12361, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  x.  (
2 ^ n ) )  e.  NN )
124123nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  x.  (
2 ^ n ) )  e.  ZZ )
125 flge 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  e.  RR  /\  ( n  x.  (
2 ^ n ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( n  x.  ( 2 ^ n ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  <->  ( n  x.  ( 2 ^ n
) )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) ) ) )
126113, 124, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n  x.  ( 2 ^ n
) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) )  <-> 
( n  x.  (
2 ^ n ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) ) ) ) )
127120, 126bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  <_  ( F `  x )  <->  ( n  x.  ( 2 ^ n ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) ) ) ) )
128 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
129 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  =  n  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
130129fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  =  n  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
131 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  =  n  /\  y  =  x )  ->  m  =  n )
132131oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  =  n  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ n ) )
133130, 132oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  =  n  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) ) )
134133fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  n  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) ) )
135134, 132oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  =  n  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) )
136 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) )  e. 
_V
137135, 8, 136ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( n J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) )
13861, 128, 137syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( n J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) ) )  /  ( 2 ^ n ) ) )
139138breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  <_  (
n J x )  <-> 
n  <_  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
140118, 127, 1393bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  <_  ( F `  x )  <->  n  <_  ( n J x ) ) )
141103, 140sylan9bbr 681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( k  <_  ( F `  x
)  <->  n  <_  ( n J x ) ) )
142128adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  x  e.  RR )
143 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  =  RR )
144143adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  if (
k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  =  RR )
145142, 144eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  x  e.  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) )
146145biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( k  <_  ( F `  x
)  <->  ( x  e.  if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  /\  k  <_  ( F `  x
) ) ) )
147102, 141, 1463bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =  n )  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  <->  ( x  e.  if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  /\  k  <_  ( F `  x
) ) ) )
148 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } )  C_  ran  ( G `  n )
149148, 33syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } )  C_  ran  ( m  e.  (
0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
150149sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  k  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) 
|->  ( m  /  (
2 ^ n ) ) ) )
15119rnmpt 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  (
m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  { k  |  E. m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) k  =  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) }
152151abeq2i 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  E. m  e.  (
0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) ) k  =  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) )
153 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
154153adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
155154zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
15615ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  (
2 ^ n )  e.  NN )
157156nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  (
2 ^ n )  e.  CC )
158156nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  (
2 ^ n )  =/=  0 )
159155, 157, 158divcan1d 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  (
( m  /  (
2 ^ n ) )  x.  ( 2 ^ n ) )  =  m )
160159, 154eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  (
( m  /  (
2 ^ n ) )  x.  ( 2 ^ n ) )  e.  ZZ )
161 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( m  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
k  x.  ( 2 ^ n ) )  =  ( ( m  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( 2 ^ n
) ) )
162161eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  ( m  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
( k  x.  (
2 ^ n ) )  e.  ZZ  <->  ( (
m  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( 2 ^ n ) )  e.  ZZ ) )
163160, 162syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  (
k  =  ( m  /  ( 2 ^ n ) )  -> 
( k  x.  (
2 ^ n ) )  e.  ZZ ) )
164163rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... ( n  x.  ( 2 ^ n
) ) ) k  =  ( m  / 
( 2 ^ n
) )  ->  (
k  x.  ( 2 ^ n ) )  e.  ZZ ) )
165152, 164syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( k  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... ( n  x.  (
2 ^ n ) ) )  |->  ( m  /  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  e.  ZZ ) )
166165imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ran  ( m  e.  ( 0 ... (
n  x.  ( 2 ^ n ) ) )  |->  ( m  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  ->  ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  e.  ZZ )
167150, 166syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  e.  ZZ )
168167adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  x.  (
2 ^ n ) )  e.  ZZ )
169 flbi 10946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  e.  RR  /\  ( k  x.  (
2 ^ n ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) )  =  ( k  x.  (
2 ^ n ) )  <->  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  /\  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  +  1 ) ) ) )
170113, 168, 169syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) ) )  =  ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  <-> 
( ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) )  /\  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) )  <  (
( k  x.  (
2 ^ n ) )  +  1 ) ) ) )
171170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) )  =  ( k  x.  (
2 ^ n ) )  <->  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  /\  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  +  1 ) ) ) )
172 neeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  -> 
( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =/=  n  <->  k  =/=  n
) )
173172biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  =/=  n  /\  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k )  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =/=  n )
174 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  ( n J x )  <_  n  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  n )
175174necon1ai 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =/=  n  -> 
( n J x )  <_  n )
176173, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  =/=  n  /\  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k )  ->  ( n J x )  <_  n
)
177 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n J x )  <_  n  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  ( n J x ) )
178176, 177syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =/=  n  /\  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k )  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =  ( n J x ) )
179 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =/=  n  /\  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k )  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =  k )
180178, 179eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =/=  n  /\  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k )  ->  ( n J x )  =  k )
181180, 176eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  =/=  n  /\  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k )  ->  k  <_  n
)
182181, 180jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  =/=  n  /\  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k )  ->  ( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k ) )
183182ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =/=  n  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  -> 
( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k ) ) )
184 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n J x )  =  k  ->  (
( n J x )  <_  n  <->  k  <_  n ) )
185184biimparc 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k )  ->  ( n J x )  <_  n
)
186185, 177syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k )  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =  ( n J x ) )
187 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k )  ->  ( n J x )  =  k )
188186, 187eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k )  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =  k )
189183, 188impbid1 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =/=  n  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  <->  ( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k ) ) )
190189adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  <->  ( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k ) ) )
191 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  { 0 } )  ->  k  e.  ran  ( G `  n ) )
192 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
193192ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  n  e.  RR )
19486, 193, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  <_  n )
19513ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  n  e.  NN0 )
196195nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  n )
197 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  <_  n  <->  if (
x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  <_  n )
)
198 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 )  ->  ( 0  <_  n 
<->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 )  <_  n ) )
199197, 198ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  <_  n  /\  0  <_  n )  ->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
) ,  0 )  <_  n )
200194, 196, 199syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  <_  n
)
20148, 200eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  n
) `  x )  <_  n )
202201ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( ( G `
 n ) `  x )  <_  n
)
203 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G `  n ) : RR --> RR  ->  ( G `  n )  Fn  RR )
20424, 203syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( G `
 n )  Fn  RR )
205 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  ( ( G `
 n ) `  x )  ->  (
k  <_  n  <->  ( ( G `  n ) `  x )  <_  n
) )
206205ralrn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G `  n )  Fn  RR  ->  ( A. k  e.  ran  ( G `  n ) k  <_  n  <->  A. x  e.  RR  ( ( G `
 n ) `  x )  <_  n
) )
207204, 206syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ran  ( G `
 n ) k  <_  n  <->  A. x  e.  RR  ( ( G `
 n ) `  x )  <_  n
) )
208202, 207mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. k  e.  ran  ( G `  n ) k  <_  n )
209208r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ran  ( G `  n ) )  -> 
k  <_  n )
210191, 209sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  k  <_  n )
211210ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  k  <_  n )
212211biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( (
n J x )  =  k  <->  ( k  <_  n  /\  ( n J x )  =  k ) ) )
213138eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n J x )  =  k  <-> 
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) ) )  /  (
2 ^ n ) )  =  k ) )
214115recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) )  e.  CC )
21533, 22sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  ( G `  n )  C_  RR )
216148, 215syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } )  C_  RR )
217216sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  k  e.  RR )
218217adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  k  e.  RR )
219218recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
220111nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2 ^ n
)  e.  CC )
221111nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 2 ^ n
)  =/=  0 )
222214, 219, 220, 221divmul3d 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) )  / 
( 2 ^ n
) )  =  k  <-> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( k  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
223213, 222bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n J x )  =  k  <-> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( k  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
224223adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( (
n J x )  =  k  <->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) ) )  =  ( k  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
225190, 212, 2243bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  <->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) ) )  =  ( k  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
226 ifnefalse 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =/=  n  ->  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
227226eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =/=  n  ->  (
x  e.  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  <-> 
x  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) )
228111nnrecred 9791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR )
229218, 228readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR )
230229rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR* )
231 elioomnf 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
232230, 231syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) ( k  +  ( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
233104ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
234 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
235233, 234syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  F  Fn  RR )
236 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) )
237235, 236syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) )
238128biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) ( k  +  ( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) )
239237, 238bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  <->  ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) ( k  +  ( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) ) ) )
240110biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  <  (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  <-> 
( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `  x
)  <  ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )
241232, 239, 2403bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  <->  ( F `  x )  <  (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
242 ltmul1 9606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ n )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( ( F `  x )  <  ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) )  <  (
( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
243110, 229, 112, 116, 242syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  <  (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  <-> 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  <  ( ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
244228recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 1  /  (
2 ^ n ) )  e.  CC )
245219, 244, 220adddird 8860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( k  +  ( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  x.  (
2 ^ n ) )  =  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  +  ( ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( 2 ^ n
) ) ) )
246220, 221recid2d 9532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  x.  (
2 ^ n ) )  =  1 )
247246oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  +  ( ( 1  /  (
2 ^ n ) )  x.  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  +  1 ) )
248245, 247eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( k  +  ( 1  /  (
2 ^ n ) ) )  x.  (
2 ^ n ) )  =  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  +  1 ) )
249248breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) )  <  (
( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  x.  ( 2 ^ n ) )  <-> 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  <  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  +  1 ) ) )
250241, 243, 2493bitrd 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  <->  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n
) )  <  (
( k  x.  (
2 ^ n ) )  +  1 ) ) )
251227, 250sylan9bbr 681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( x  e.  if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  <->  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n
) )  <  (
( k  x.  (
2 ^ n ) )  +  1 ) ) )
252 lemul1 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ n
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ n ) ) )  ->  ( k  <_ 
( F `  x
)  <->  ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
253218, 110, 112, 116, 252syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  <_  ( F `  x )  <->  ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) ) ) )
254253adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( k  <_  ( F `  x
)  <->  ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) ) ) )
255251, 254anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( (
x  e.  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  k  <_  ( F `  x )
)  <->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  +  1 )  /\  ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) ) ) ) )
256 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  <  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  +  1 )  /\  ( k  x.  (
2 ^ n ) )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n
) ) )  <->  ( (
k  x.  ( 2 ^ n ) )  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ n
) )  /\  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ n ) )  <  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  +  1 ) ) )
257255, 256syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( (
x  e.  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  k  <_  ( F `  x )
)  <->  ( ( k  x.  ( 2 ^ n ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ n ) )  /\  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ n ) )  < 
( ( k  x.  ( 2 ^ n
) )  +  1 ) ) ) )
258171, 225, 2573bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  k  =/=  n
)  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n
)  =  k  <->  ( x  e.  if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  /\  k  <_  ( F `  x
) ) ) )
259147, 258pm2.61dane 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =  k  <->  ( x  e.  if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  /\  k  <_  ( F `  x
) ) ) )
260 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) 
\  ( `' F " (  -oo (,) k
) ) )  <->  ( x  e.  if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  /\  -.  x  e.  ( `' F " (  -oo (,) k ) ) ) )
261218rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  k  e.  RR* )
262 elioomnf 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  (  -oo (,) k )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
k ) ) )
263261, 262syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) k )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( F `
 x )  < 
k ) ) )
264 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " (  -oo (,) k ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) k
) ) ) )
265235, 264syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) k ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) k
) ) ) )
266128biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) k )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  (  -oo (,) k
) ) ) )
267265, 266bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) k ) )  <->  ( F `  x )  e.  ( 
-oo (,) k ) ) )
268110biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  <  k  <->  ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  <  k ) ) )
269263, 267, 2683bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F " (  -oo (,) k ) )  <->  ( F `  x )  <  k
) )
270269notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F "
(  -oo (,) k ) )  <->  -.  ( F `  x )  <  k
) )
271218, 110lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( k  <_  ( F `  x )  <->  -.  ( F `  x
)  <  k )
)
272270, 271bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F "
(  -oo (,) k ) )  <->  k  <_  ( F `  x )
) )
273272anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  /\  -.  x  e.  ( `' F " (  -oo (,) k ) ) )  <-> 
( x  e.  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  k  <_  ( F `  x )
) ) )
274260, 273syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  \  ( `' F " (  -oo (,) k ) ) )  <-> 
( x  e.  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  k  <_  ( F `  x )
) ) )
275259, 274bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n )  =  k  <->  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) 
\  ( `' F " (  -oo (,) k
) ) ) ) )
27660, 275sylan9bbr 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n )  \  {
0 } ) )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u n [,] n
) )  ->  ( if ( x  e.  (
-u n [,] n
) ,  if ( ( n J x )  <_  n , 
( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =  k  <->  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) 
\  ( `' F " (  -oo (,) k
) ) ) ) )
277276pm5.32da 622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  ( -u n [,] n )  /\  if ( x  e.  ( -u n [,] n ) ,  if ( ( n J x )  <_  n ,  ( n J x ) ,  n ) ,  0 )  =  k )  <->  ( x  e.  ( -u n [,] n )  /\  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  \ 
( `' F "
(  -oo (,) k ) ) ) ) ) )
27850, 58, 2773bitrd 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `  n
)  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( G `
 n ) `  x )  =  k  <-> 
( x  e.  (
-u n [,] n
)  /\  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  \  ( `' F " (  -oo (,) k ) ) ) ) ) )
279278pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  ( ( G `  n ) `  x
)  =  k )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( x  e.  (
-u n [,] n
)  /\  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  \  ( `' F " (  -oo (,) k ) ) ) ) ) ) )
28024adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( G `  n ) : RR --> RR )
281280, 203syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( G `  n )  Fn  RR )
282 fniniseg 5646 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  n )  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' ( G `  n
) " { k } )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( G `  n ) `
 x )  =  k ) ) )
283281, 282syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( G `
 n ) " { k } )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( ( G `  n ) `  x
)  =  k ) ) )
284 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( -u n [,] n )  i^i  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  \ 
( `' F "
(  -oo (,) k ) ) ) )  <->  ( x  e.  ( -u n [,] n )  /\  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  \ 
( `' F "
(  -oo (,) k ) ) ) ) )
285192ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  n  e.  RR )
286285renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  -u n  e.  RR )
287 iccmbl 18923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u n  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( -u n [,] n )  e.  dom  vol )
288286, 285, 287syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( -u n [,] n )  e.  dom  vol )
289 mblss 18890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u n [,] n
)  e.  dom  vol  ->  ( -u n [,] n )  C_  RR )
290288, 289syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( -u n [,] n )  C_  RR )
291290sseld 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( -u n [,] n )  ->  x  e.  RR ) )
292291adantrd 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( -u n [,] n )  /\  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) 
\  ( `' F " (  -oo (,) k
) ) ) )  ->  x  e.  RR ) )
293292pm4.71rd 616 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( -u n [,] n )  /\  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) 
\  ( `' F " (  -oo (,) k
) ) ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( x  e.  (
-u n [,] n
)  /\  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  \  ( `' F " (  -oo (,) k ) ) ) ) ) ) )
294284, 293syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( ( -u n [,] n )  i^i  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) 
\  ( `' F " (  -oo (,) k
) ) ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( x  e.  (
-u n [,] n
)  /\  x  e.  ( if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  \  ( `' F " (  -oo (,) k ) ) ) ) ) ) )
295279, 283, 2943bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( G `
 n ) " { k } )  <-> 
x  e.  ( (
-u n [,] n
)  i^i  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) 
\  ( `' F " (  -oo (,) k
) ) ) ) ) )
296295eqrdv 2281 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  ( G `
 n )  \  { 0 } ) )  ->  ( `' ( G `  n )
" { k } )  =  ( (
-u n [,] n
)  i^i  ( if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) 
\  ( `' F " (  -oo (,) k
) ) ) ) )
297 rembl 18898 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
298 fss 5397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  F : RR
--> RR )
2997, 67, 298sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
300 mbfima 18987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  e. 
dom  vol )
3016, 299, 300syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  e.  dom  vol )
302 ifcl 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) )  e.  dom  vol )  ->  if ( k  =  n ,  RR ,  ( `' F " (  -oo (,) (
k  +  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  e. 
dom  vol )
303297, 301, 302sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  if ( k  =  n ,  RR , 
( `' F "
(  -oo (,) ( k  +  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) ) ) )  e.  dom  vol )
304 mbfima 18987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) k ) )  e. 
dom  vol )
3056, 299, 304syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) k ) )  e.  dom  vol )
306 difmbl 18900 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( k  =  n ,