Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem6 Structured version   Unicode version

Theorem mbfi1fseqlem6 19604
 Description: Lemma for mbfi1fseq 19605. Verify that converges pointwise to , and wrap up the existence quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 MblFn
mbfi1fseq.2
mbfi1fseq.3
mbfi1fseq.4
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem6
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,   ,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . 3 MblFn
2 mbfi1fseq.2 . . 3
3 mbfi1fseq.3 . . 3
4 mbfi1fseq.4 . . 3
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem4 19602 . 2
61, 2, 3, 4mbfi1fseqlem5 19603 . . 3
76ralrimiva 2781 . 2
8 simpr 448 . . . . . . . 8
98recnd 9106 . . . . . . 7
109abscld 12230 . . . . . 6
112ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8
12 elrege0 10999 . . . . . . . 8
1311, 12sylib 189 . . . . . . 7
1413simpld 446 . . . . . 6
1510, 14readdcld 9107 . . . . 5
16 arch 10210 . . . . 5
1715, 16syl 16 . . . 4
18 eqid 2435 . . . . 5
19 nnz 10295 . . . . . 6
2019ad2antrl 709 . . . . 5
21 nnuz 10513 . . . . . . . 8
22 1z 10303 . . . . . . . . 9
2322a1i 11 . . . . . . . 8
24 1re 9082 . . . . . . . . . . . 12
2524rehalfcli 10208 . . . . . . . . . . 11
2625recni 9094 . . . . . . . . . 10
2726a1i 11 . . . . . . . . 9
28 0re 9083 . . . . . . . . . . . . 13
29 halfgt0 10180 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 25, 29ltleii 9188 . . . . . . . . . . . 12
31 absid 12093 . . . . . . . . . . . 12
3225, 30, 31mp2an 654 . . . . . . . . . . 11
33 halflt1 10181 . . . . . . . . . . 11
3432, 33eqbrtri 4223 . . . . . . . . . 10
3534a1i 11 . . . . . . . . 9
3627, 35expcnv 12635 . . . . . . . 8
3714recnd 9106 . . . . . . . 8
38 nnex 9998 . . . . . . . . . 10
3938mptex 5958 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
41 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . 11
4241adantl 453 . . . . . . . . . 10
43 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
44 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
45 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
4643, 44, 45fvmpt 5798 . . . . . . . . . 10
4742, 46syl 16 . . . . . . . . 9
48 expcl 11391 . . . . . . . . . 10
4926, 42, 48sylancr 645 . . . . . . . . 9
5047, 49eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
5143oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
52 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
53 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
5451, 52, 53fvmpt 5798 . . . . . . . . . 10
5554adantl 453 . . . . . . . . 9
5647oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
5755, 56eqtr4d 2470 . . . . . . . 8
5821, 23, 36, 37, 40, 50, 57climsubc2 12424 . . . . . . 7
5937subid1d 9392 . . . . . . 7
6058, 59breqtrd 4228 . . . . . 6
6160adantr 452 . . . . 5
6238mptex 5958 . . . . . 6
6362a1i 11 . . . . 5
64 simprl 733 . . . . . . . 8
6521uztrn2 10495 . . . . . . . 8
6664, 65sylan 458 . . . . . . 7
6766, 54syl 16 . . . . . 6
6814ad2antrr 707 . . . . . . 7
6966, 41syl 16 . . . . . . . 8
70 reexpcl 11390 . . . . . . . 8
7125, 69, 70sylancr 645 . . . . . . 7
7268, 71resubcld 9457 . . . . . 6
7367, 72eqeltrd 2509 . . . . 5
74 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
7574fveq1d 5722 . . . . . . . 8
76 eqid 2435 . . . . . . . 8
77 fvex 5734 . . . . . . . 8
7875, 76, 77fvmpt 5798 . . . . . . 7
7966, 78syl 16 . . . . . 6
805ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9
8180, 66ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8
82 i1ff 19560 . . . . . . . 8
8381, 82syl 16 . . . . . . 7
848ad2antrr 707 . . . . . . 7
8583, 84ffvelrnd 5863 . . . . . 6
8679, 85eqeltrd 2509 . . . . 5
8737ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
88 2nn 10125 . . . . . . . . . . . . . 14
89 nnexpcl 11386 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 69, 89sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
9190nnred 10007 . . . . . . . . . . . 12
9291recnd 9106 . . . . . . . . . . 11
9390nnne0d 10036 . . . . . . . . . . 11
9487, 92, 93divcan4d 9788 . . . . . . . . . 10
9594eqcomd 2440 . . . . . . . . 9
96 2cn 10062 . . . . . . . . . . 11
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10
98 2ne0 10075 . . . . . . . . . . 11
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10
100 eluzelz 10488 . . . . . . . . . . 11
101100adantl 453 . . . . . . . . . 10
10297, 99, 101exprecd 11523 . . . . . . . . 9
10395, 102oveq12d 6091 . . . . . . . 8
10468, 91remulcld 9108 . . . . . . . . . 10
105104recnd 9106 . . . . . . . . 9
106 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . 10
107106a1i 11 . . . . . . . . 9
108105, 107, 92, 93divsubdird 9821 . . . . . . . 8
109103, 108eqtr4d 2470 . . . . . . 7
110 fllep1 11202 . . . . . . . . . 10
111104, 110syl 16 . . . . . . . . 9
11224a1i 11 . . . . . . . . . 10
113 reflcl 11197 . . . . . . . . . . 11
114104, 113syl 16 . . . . . . . . . 10
115104, 112, 114lesubaddd 9615 . . . . . . . . 9
116111, 115mpbird 224 . . . . . . . 8
117 peano2rem 9359 . . . . . . . . . 10
118104, 117syl 16 . . . . . . . . 9
11990nngt0d 10035 . . . . . . . . 9
120 lediv1 9867 . . . . . . . . 9
121118, 114, 91, 119, 120syl112anc 1188 . . . . . . . 8
122116, 121mpbid 202 . . . . . . 7
123109, 122eqbrtrd 4224 . . . . . 6
1241, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 19600 . . . . . . . . . 10
12566, 124syl 16 . . . . . . . . 9
126125fveq1d 5722 . . . . . . . 8
127 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
128 vex 2951 . . . . . . . . . . 11
129127, 128ifex 3789 . . . . . . . . . 10
130 c0ex 9077 . . . . . . . . . 10
131129, 130ifex 3789 . . . . . . . . 9
132 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
133132fvmpt2 5804 . . . . . . . . 9
13484, 131, 133sylancl 644 . . . . . . . 8
13579, 126, 1343eqtrd 2471 . . . . . . 7
13610ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
13715ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
13866nnred 10007 . . . . . . . . . . . 12
13911ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
140139, 12sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14
141140simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13
142136, 68addge01d 9606 . . . . . . . . . . . . 13
143141, 142mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
14464adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
145144nnred 10007 . . . . . . . . . . . . 13
146 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14
147137, 145, 146ltled 9213 . . . . . . . . . . . . 13
148 eluzle 10490 . . . . . . . . . . . . . 14
149148adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
150137, 145, 138, 147, 149letrd 9219 . . . . . . . . . . . 12
151136, 137, 138, 143, 150letrd 9219 . . . . . . . . . . 11
15284, 138absled 12225 . . . . . . . . . . 11
153151, 152mpbid 202 . . . . . . . . . 10
154153simpld 446 . . . . . . . . 9
155153simprd 450 . . . . . . . . 9
156138renegcld 9456 . . . . . . . . . 10
157 elicc2 10967 . . . . . . . . . 10
158156, 138, 157syl2anc 643 . . . . . . . . 9
15984, 154, 155, 158mpbir3and 1137 . . . . . . . 8
160 iftrue 3737 . . . . . . . 8
161159, 160syl 16 . . . . . . 7
162 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163162fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15
164 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165164oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
166163, 165oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14
167166fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
168167, 165oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12
169 ovex 6098 . . . . . . . . . . . 12
170168, 3, 169ovmpt2a 6196 . . . . . . . . . . 11
17166, 84, 170syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
172114, 90nndivred 10040 . . . . . . . . . . 11
173 flle 11200 . . . . . . . . . . . . 13
174104, 173syl 16 . . . . . . . . . . . 12
175 ledivmul2 9879 . . . . . . . . . . . . 13
176114, 68, 91, 119, 175syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12
177174, 176mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
1789ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
179178absge0d 12238 . . . . . . . . . . . . 13
18068, 136addge02d 9607 . . . . . . . . . . . . 13
181179, 180mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
18268, 137, 138, 181, 150letrd 9219 . . . . . . . . . . 11
183172, 68, 138, 177, 182letrd 9219 . . . . . . . . . 10
184171, 183eqbrtrd 4224 . . . . . . . . 9
185 iftrue 3737 . . . . . . . . 9
186184, 185syl 16 . . . . . . . 8
187186, 171eqtrd 2467 . . . . . . 7
188135, 161, 1873eqtrd 2471 . . . . . 6
189123, 67, 1883brtr4d 4234 . . . . 5
190188, 177eqbrtrd 4224 . . . . 5
19118, 20, 61, 63, 73, 86, 189, 190climsqz 12426 . . . 4
19217, 191rexlimddv 2826 . . 3
193192ralrimiva 2781 . 2
19438mptex 5958 . . . 4
1954, 194eqeltri 2505 . . 3
196 feq1 5568 . . . 4
197 fveq1 5719 . . . . . . 7
198197breq2d 4216 . . . . . 6
199 fveq1 5719 . . . . . . 7
200197, 199breq12d 4217 . . . . . 6
201198, 200anbi12d 692 . . . . 5
202201ralbidv 2717 . . . 4
203197fveq1d 5722 . . . . . . 7
204203mpteq2dv 4288 . . . . . 6
205204breq1d 4214 . . . . 5
206205ralbidv 2717 . . . 4
207196, 202, 2063anbi123d 1254 . . 3
208195, 207spcev 3035 . 2
2095, 7, 193, 208syl3anc 1184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948  cif 3731   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cdm 4870  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075   cofr 6296  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cpnf 9109   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cico 10910  cicc 10911  cfl 11193  cexp 11374  cabs 12031   cli 12270  MblFncmbf 19498  citg1 19499  c0p 19553 This theorem is referenced by:  mbfi1fseq  19605 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-itg1 19505  df-0p 19554
 Copyright terms: Public domain W3C validator