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Theorem mbfi1fseqlem6 19075
Description: Lemma for mbfi1fseq 19076. Verify that  G converges pointwise to  F, and wrap up the existence quantifier. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem6  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, m, n, x, y, F    g, G, n, x    m, J    ph, m, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( g)    G( y, m)    J( x, y, g, n)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem6
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbfi1fseq.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
3 mbfi1fseq.3 . . 3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
4 mbfi1fseq.4 . . 3  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
51, 2, 3, 4mbfi1fseqlem4 19073 . 2  |-  ( ph  ->  G : NN --> dom  S.1 )
61, 2, 3, 4mbfi1fseqlem5 19074 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( G `  n
)  /\  ( G `  n )  o R  <_  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
76ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  o R  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
8 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
98recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
109abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
11 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
122, 11sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
13 elrege0 10746 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
1412, 13sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
1514simpld 445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
1610, 15readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  e.  RR )
17 arch 9962 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
1816, 17syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
19 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  k )  =  (
ZZ>= `  k )
20 nnz 10045 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
2120ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  k  e.  ZZ )
22 nnuz 10263 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 1z 10053 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2423a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
25 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
26 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
2827recni 8849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
2928a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 1  /  2 )  e.  CC )
30 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
31 halfgt0 9932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  ( 1  /  2
)
3230, 27, 31ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
33 absid 11781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
3427, 32, 33mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  2 )
35 halflt1 9933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3634, 35eqbrtri 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
3736a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
)
3829, 37expcnv 12322 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  ~~>  0 )
3915recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  CC )
40 nnex 9752 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  _V
4140mptex 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  e.  _V
4241a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  e.  _V )
43 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN0 )
45 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) )
46 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
47 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ j )  e. 
_V
4845, 46, 47fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )
4944, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  j
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ j ) )
50 expcl 11121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  CC )
5128, 44, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1  /  2
) ^ j )  e.  CC )
5249, 51eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  j
)  e.  CC )
5345oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
( F `  x
)  -  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) ) )
54 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )
55 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) )  e. 
_V
5653, 54, 55fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) ) )
5756adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
j ) ) )
5849oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  -  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j ) )  =  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) ) )
5957, 58eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) ) `  j
)  =  ( ( F `  x )  -  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 j ) ) )
6022, 24, 38, 39, 42, 52, 59climsubc2 12112 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( ( F `  x )  -  0 ) )
6139subid1d 9146 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  -  0 )  =  ( F `  x
) )
6260, 61breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( F `  x
) )
6362adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
6440mptex 5746 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  e.  _V
6564a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  e. 
_V )
66 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  k  e.  NN )
6722uztrn2 10245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  k ) )  -> 
j  e.  NN )
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  NN )
6968, 56syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  =  ( ( F `  x )  -  (
( 1  /  2
) ^ j ) ) )
7015ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7168, 43syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  NN0 )
72 reexpcl 11120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ j
)  e.  RR )
7327, 71, 72sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
j )  e.  RR )
7470, 73resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  e.  RR )
7569, 74eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  e.  RR )
76 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( G `  n )  =  ( G `  j ) )
7776fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( G `  n
) `  x )  =  ( ( G `
 j ) `  x ) )
78 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )
79 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  j ) `
 x )  e. 
_V
8077, 78, 79fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `  x
) ) `  j
)  =  ( ( G `  j ) `
 x ) )
8168, 80syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  ( ( G `  j ) `  x
) )
825ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  G : NN --> dom  S.1 )
83 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\  j  e.  NN )  ->  ( G `  j )  e.  dom  S.1 )
8482, 68, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j )  e.  dom  S.1 )
85 i1ff 19031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  j )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  j ) : RR --> RR )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j ) : RR --> RR )
878ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  RR )
88 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  j
) : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  j ) `  x
)  e.  RR )
8986, 87, 88syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  x )  e.  RR )
9081, 89eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  e.  RR )
9139ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
92 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
93 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ j
)  e.  NN )
9492, 71, 93sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  NN )
9594nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  RR )
9695recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  e.  CC )
9794nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 2 ^ j )  =/=  0
)
9891, 96, 97divcan4d 9542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  / 
( 2 ^ j
) )  =  ( F `  x ) )
9998eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
100 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
101100a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  e.  CC )
102 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
103102a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  2  =/=  0
)
104 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  j  e.  ZZ )
105104adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  ZZ )
106101, 103, 105exprecd 11253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) ^
j )  =  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) )
10799, 106oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  /  (
2 ^ j ) )  -  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
10870, 95remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  e.  RR )
109108recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  e.  CC )
110 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
111110a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  1  e.  CC )
112109, 111, 96, 97divsubdird 9575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  /  (
2 ^ j ) )  -  ( 1  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
113107, 112eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  -  1 )  /  ( 2 ^ j ) ) )
114 fllep1 10933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  <_  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  +  1 ) )
115108, 114syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  +  1 ) )
11625a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  1  e.  RR )
117 reflcl 10928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  e.  RR )
118108, 117syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  e.  RR )
119108, 116, 118lesubaddd 9369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  +  1 ) ) )
120115, 119mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  - 
1 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) ) )
121 peano2rem 9113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) )  -  1 )  e.  RR )
122108, 121syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) )  - 
1 )  e.  RR )
12394nngt0d 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <  (
2 ^ j ) )
124 lediv1 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) )  -  1 )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ j
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
125122, 118, 95, 123, 124syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  <->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) ) )
126120, 125mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  -  1 )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
127113, 126eqbrtrd 4043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  -  ( ( 1  / 
2 ) ^ j
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
1281, 2, 3, 4mbfi1fseqlem2 19071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  ( G `  j )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) )
12968, 128syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( G `  j )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) )
130129fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( G `
 j ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `
 x ) )
131 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j J x )  e. 
_V
132 vex 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
133131, 132ifex 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j )  e.  _V
134 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
135133, 134ifex 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 )  e.  _V
136 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
137136fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 )  e. 
_V )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u j [,] j
) ,  if ( ( j J x )  <_  j , 
( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
13887, 135, 137sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_ 
j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
13981, 130, 1383eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 ) )
14010ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
14116ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  e.  RR )
14268nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  j  e.  RR )
14312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
144143, 13sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
145144simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
146140, 70addge01d 9360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x
) ) ) )
147145, 146mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x
) ) )
14866adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  NN )
149148nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  e.  RR )
150 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <  k )
151141, 149, 150ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <_  k )
152 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  k
)  ->  k  <_  j )
153152adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  k  <_  j
)
154141, 149, 142, 151, 153letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( F `  x ) )  <_  j )
155140, 141, 142, 147, 154letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( abs `  x
)  <_  j )
15687, 142absled 11913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( abs `  x )  <_  j  <->  (
-u j  <_  x  /\  x  <_  j ) ) )
157155, 156mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) )
158157simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  -u j  <_  x
)
159157simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  <_  j
)
160142renegcld 9210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  -u j  e.  RR )
161 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u j  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( -u j [,] j )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) ) )
162160, 142, 161syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( x  e.  ( -u j [,] j )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u j  <_  x  /\  x  <_ 
j ) ) )
16387, 158, 159, 162mpbir3and 1135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  (
-u j [,] j
) )
164 iftrue 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u j [,] j )  ->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 )  =  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) )
165163, 164syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( x  e.  ( -u j [,] j ) ,  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) ,  0 )  =  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j ) )
166 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
167166fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
168 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  m  =  j )
169168oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ j ) )
170167, 169oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )
171170fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) ) )
172171, 169oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  j  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
173 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  e. 
_V
174172, 3, 173ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( j J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
17568, 87, 174syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( j J x )  =  ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) ) )
176118, 94nndivred 9794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  e.  RR )
177 flle 10931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )
178108, 177syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )
179 ledivmul2 9633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) )  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ j
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ j ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  <_ 
( F `  x
)  <->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) ) )
180118, 70, 95, 123, 179syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ j ) ) )  /  ( 2 ^ j ) )  <_ 
( F `  x
)  <->  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  <_  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ j ) ) ) )
181178, 180mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  ( F `  x )
)
1829ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  x  e.  CC )
183182absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
18470, 140addge02d 9361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( 0  <_ 
( abs `  x
)  <->  ( F `  x )  <_  (
( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) ) ) )
185183, 184mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  <_  (
( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) ) )
18670, 141, 142, 185, 154letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( F `  x )  <_  j
)
187176, 70, 142, 181, 186letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ j
) ) )  / 
( 2 ^ j
) )  <_  j
)
188175, 187eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( j J x )  <_  j
)
189 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j J x )  <_  j  ->  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j )  =  ( j J x ) )
190188, 189syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j )  =  ( j J x ) )
191190, 175eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  if ( ( j J x )  <_  j ,  ( j J x ) ,  j )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  /  (
2 ^ j ) ) )
192139, 165, 1913eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ j ) ) )  /  (
2 ^ j ) ) )
193127, 69, 1923brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  x )  -  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) `
 j )  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) ) `  j ) )
194192, 181eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  k ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) `
 j )  <_ 
( F `  x
) )
19519, 21, 63, 65, 75, 90, 193, 194climsqz 12114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
k  e.  NN  /\  ( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
196195expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
197196rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. k  e.  NN  (
( abs `  x
)  +  ( F `
 x ) )  <  k  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( G `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) )
19818, 197mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) )  ~~>  ( F `  x
) )
199198ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
20040mptex 5746 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u m [,] m ) ,  if ( ( m J x )  <_  m ,  ( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )  e. 
_V
2014, 200eqeltri 2353 . . 3  |-  G  e. 
_V
202 feq1 5375 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
g : NN --> dom  S.1  <->  G : NN --> dom  S.1 ) )
203 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  n )  =  ( G `  n ) )
204203breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
0 p  o R  <_  ( g `  n )  <->  0 p  o R  <_  ( G `
 n ) ) )
205 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  ( n  +  1 ) )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
206203, 205breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
)  o R  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) )  <->  ( G `  n )  o R  <_  ( G `  ( n  +  1
) ) ) )
207204, 206anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0 p  o R  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  o R  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
208207ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  <->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  o R  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
209203fveq1d 5527 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( G `
 n ) `  x ) )
210209mpteq2dv 4107 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `  n ) `
 x ) ) )
211210breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
212211ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
213202, 208, 2123anbi123d 1252 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  o R  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  <->  ( G : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  o R  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
214201, 213spcev 2875 . 2  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( G `  n )  /\  ( G `  n )  o R  <_  ( G `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( G `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
2155, 7, 199, 214syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  o R  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    o Rcofr 6077   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   [,)cico 10658   [,]cicc 10659   |_cfl 10924   ^cexp 11104   abscabs 11719    ~~> cli 11958  MblFncmbf 18969   S.1citg1 18970   0 pc0p 19024
This theorem is referenced by:  mbfi1fseq  19076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-0p 19025
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