MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Unicode version

Theorem mbfid 18991
Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 5162 . . . . 5  |-  ( `' (  _I  |`  A )
" x )  =  ( ( `'  _I  " x )  i^i  A
)
2 cnvi 5085 . . . . . . . 8  |-  `'  _I  =  _I
32imaeq1i 5009 . . . . . . 7  |-  ( `'  _I  " x )  =  (  _I  "
x )
4 imai 5027 . . . . . . 7  |-  (  _I  " x )  =  x
53, 4eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( `'  _I  " x )  =  x
65ineq1i 3366 . . . . 5  |-  ( ( `'  _I  " x )  i^i  A )  =  ( x  i^i  A
)
71, 6eqtri 2303 . . . 4  |-  ( `' (  _I  |`  A )
" x )  =  ( x  i^i  A
)
8 ioof 10741 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
10 ovelrn 5996 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( x  e. 
ran  (,)  <->  E. y  e.  RR*  E. z  e.  RR*  x  =  ( y (,) z ) ) )
118, 9, 10mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  (,)  <->  E. y  e.  RR*  E. z  e. 
RR*  x  =  ( y (,) z ) )
12 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (,) z )  ->  x  =  ( y (,) z ) )
13 ioombl 18922 . . . . . . . . 9  |-  ( y (,) z )  e. 
dom  vol
1412, 13syl6eqel 2371 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
1514a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
)
1615rexlimivv 2672 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  RR*  E. z  e.  RR*  x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
1711, 16sylbi 187 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  x  e.  dom  vol )
18 id 19 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
19 inmbl 18899 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
2017, 18, 19syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
217, 20syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' (  _I  |`  A ) " x )  e. 
dom  vol )
2221ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A )
" x )  e. 
dom  vol )
23 f1oi 5511 . . . . 5  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
24 f1of 5472 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
26 mblss 18890 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
27 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  RR )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> RR )
2825, 26, 27sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A ) : A --> RR )
29 ismbf 18985 . . 3  |-  ( (  _I  |`  A ) : A --> RR  ->  (
(  _I  |`  A )  e. MblFn 
<-> 
A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A ) " x
)  e.  dom  vol ) )
3028, 29syl 15 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( (  _I  |`  A )  e. MblFn 
<-> 
A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A ) " x
)  e.  dom  vol ) )
3122, 30mpbird 223 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   RRcr 8736   RR*cxr 8866   (,)cioo 10656   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
  Copyright terms: Public domain W3C validator