MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfid Structured version   Unicode version

Theorem mbfid 19529
Description: The identity function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfid  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfid
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvresima 5360 . . . . 5  |-  ( `' (  _I  |`  A )
" x )  =  ( ( `'  _I  " x )  i^i  A
)
2 cnvi 5277 . . . . . . . 8  |-  `'  _I  =  _I
32imaeq1i 5201 . . . . . . 7  |-  ( `'  _I  " x )  =  (  _I  "
x )
4 imai 5219 . . . . . . 7  |-  (  _I  " x )  =  x
53, 4eqtri 2457 . . . . . 6  |-  ( `'  _I  " x )  =  x
65ineq1i 3539 . . . . 5  |-  ( ( `'  _I  " x )  i^i  A )  =  ( x  i^i  A
)
71, 6eqtri 2457 . . . 4  |-  ( `' (  _I  |`  A )
" x )  =  ( x  i^i  A
)
8 ioof 11003 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
9 ffn 5592 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
10 ovelrn 6223 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( x  e. 
ran  (,)  <->  E. y  e.  RR*  E. z  e.  RR*  x  =  ( y (,) z ) ) )
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  (,)  <->  E. y  e.  RR*  E. z  e. 
RR*  x  =  ( y (,) z ) )
12 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y (,) z )  ->  x  =  ( y (,) z ) )
13 ioombl 19460 . . . . . . . . 9  |-  ( y (,) z )  e. 
dom  vol
1412, 13syl6eqel 2525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
)
1615rexlimivv 2836 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  RR*  E. z  e.  RR*  x  =  ( y (,) z )  ->  x  e.  dom  vol )
1711, 16sylbi 189 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  x  e.  dom  vol )
18 id 21 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
19 inmbl 19437 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
2017, 18, 19syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  dom  vol )
217, 20syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' (  _I  |`  A ) " x )  e. 
dom  vol )
2221ralrimiva 2790 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A )
" x )  e. 
dom  vol )
23 f1oi 5714 . . . . 5  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
24 f1of 5675 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
26 mblss 19428 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
27 fss 5600 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  RR )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> RR )
2825, 26, 27sylancr 646 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A ) : A --> RR )
29 ismbf 19523 . . 3  |-  ( (  _I  |`  A ) : A --> RR  ->  (
(  _I  |`  A )  e. MblFn 
<-> 
A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A ) " x
)  e.  dom  vol ) )
3028, 29syl 16 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( (  _I  |`  A )  e. MblFn 
<-> 
A. x  e.  ran  (,) ( `' (  _I  |`  A ) " x
)  e.  dom  vol ) )
3122, 30mpbird 225 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  (  _I  |`  A )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707    i^i cin 3320    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800    _I cid 4494    X. cxp 4877   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   ran crn 4880    |` cres 4881   "cima 4882    Fn wfn 5450   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454  (class class class)co 6082   RRcr 8990   RR*cxr 9120   (,)cioo 10917   volcvol 19361  MblFncmbf 19507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xadd 10712  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-xmet 16696  df-met 16697  df-ovol 19362  df-vol 19363  df-mbf 19513
  Copyright terms: Public domain W3C validator