MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfima Structured version   Unicode version

Theorem mbfima 19514
Description: Definitional property of a measurable function: the preimage of an open right-unbounded interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfima  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf 19512 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol ) )
21biimpac 473 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' F " x )  e.  dom  vol )
3 ioof 10992 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 8 . . . 4  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 fnovrn 6213 . . . 4  |-  ( ( (,)  Fn  ( RR*  X. 
RR* )  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B (,) C )  e. 
ran  (,) )
75, 6mp3an1 1266 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C )  e. 
ran  (,) )
8 imaeq2 5191 . . . . 5  |-  ( x  =  ( B (,) C )  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " ( B (,) C
) ) )
98eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( x  =  ( B (,) C )  ->  (
( `' F "
x )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )
)
109rspccva 3043 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ran  (,) ( `' F "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( B (,) C )  e.  ran  (,) )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e. 
dom  vol )
112, 7, 10syl2an 464 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> RR )  /\  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* ) )  -> 
( `' F "
( B (,) C
) )  e.  dom  vol )
12 ndmioo 10933 . . . . . 6  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B (,) C
)  =  (/) )
1312imaeq2d 5195 . . . . 5  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  =  ( `' F " (/) ) )
14 ima0 5213 . . . . 5  |-  ( `' F " (/) )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2483 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  =  (/) )
16 0mbl 19424 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
1715, 16syl6eqel 2523 . . 3  |-  ( -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( `' F "
( B (,) C
) )  e.  dom  vol )
1817adantl 453 . 2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> RR )  /\  -.  ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e. 
dom  vol )
1911, 18pm2.61dan 767 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( B (,) C ) )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442  (class class class)co 6073   RRcr 8979   RR*cxr 9109   (,)cioo 10906   volcvol 19350  MblFncmbf 19496
This theorem is referenced by:  mbfimaicc  19515  mbfres  19526  mbfmulc2lem  19529  mbfmax  19531  mbfposr  19534  mbfaddlem  19542  mbfsup  19546  mbfi1fseqlem4  19600  itg2monolem1  19632  itg2gt0  19642  itg2cnlem1  19643  itg2cnlem2  19644  mbfposadd  26217  itg2addnclem2  26220  iblabsnclem  26231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xadd 10701  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470  df-xmet 16685  df-met 16686  df-ovol 19351  df-vol 19352  df-mbf 19502
  Copyright terms: Public domain W3C validator