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Theorem mbfimaopnlem 19500
Description: Lemma for mbfimaopn 19501. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn.2  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
mbfimaopn.3  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
mbfimaopn.4  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    x, G, y    x, J, y
Allowed substitution hints:    A( y)    K( x, y)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables  t 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
41, 2, 3cnrehmeo 18931 . . . . . . 7  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Homeo  J )
5 hmeocn 17745 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Homeo  J )  ->  G  e.  ( (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )
7 cnima 17283 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  A  e.  J
)  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
86, 7mpan 652 . . . . 5  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
109fveq2i 5690 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
1110tgqioo 18784 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  B )
1211, 11oveq12i 6052 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)
13 qtopbas 18746 . . . . . . . 8  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
149, 13eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  B  e.  TopBases
15 txbasval 17591 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( ( topGen `
 B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B ) )
1614, 14, 15mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B )
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
1817txval 17549 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( B  tX  B )  =  (
topGen `  K ) )
1914, 14, 18mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( B 
tX  B )  =  ( topGen `  K )
2012, 16, 193eqtri 2428 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( topGen `  K )
218, 20syl6eleq 2494 . . . 4  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
) )
2217txbas 17552 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  K  e.  TopBases )
2314, 14, 22mp2an 654 . . . . 5  |-  K  e.  TopBases
24 eltg3 16982 . . . . 5  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2621, 25sylib 189 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2726adantl 453 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
281cnref1o 10563 . . . . . . . 8  |-  G :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
29 f1ofo 5640 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC
31 elssuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
323cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . 10  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3332toponunii 16952 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  U. J
3431, 33syl6sseqr 3355 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_  CC )
3534ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  C_  CC )
36 foimacnv 5651 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( RR 
X.  RR ) -onto-> CC 
/\  A  C_  CC )  ->  ( G "
( `' G " A ) )  =  A )
3730, 35, 36sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  A )
38 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' G " A )  = 
U. t )
3938imaeq2d 5162 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  ( G " U. t ) )
40 imauni 5952 . . . . . . 7  |-  ( G
" U. t )  =  U_ w  e.  t  ( G "
w )
4139, 40syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  = 
U_ w  e.  t  ( G " w
) )
4237, 41eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  =  U_ w  e.  t  ( G " w ) )
4342imaeq2d 5162 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  =  ( `' F " U_ w  e.  t 
( G " w
) ) )
44 imaiun 5951 . . . 4  |-  ( `' F " U_ w  e.  t  ( G " w ) )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) )
4543, 44syl6eq 2452 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) ) )
46 ssdomg 7112 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( t  C_  K  ->  t  ~<_  K ) )
4723, 46ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  K )
48 omelon 7557 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
49 nnenom 11274 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  ~~  om
5049ensymi 7116 . . . . . . . . . . 11  |-  om  ~~  NN
51 isnumi 7789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
5248, 50, 51mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  dom  card
53 qnnen 12768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  QQ  ~~  NN
54 xpen 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
5553, 53, 54mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
56 xpnnen 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
5755, 56entri 7120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
5857, 49entr2i 7121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
59 isnumi 7789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
6048, 58, 59mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
61 ioof 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
62 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  (,)
64 qssre 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  QQ  C_  RR
65 ressxr 9085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  RR*
6664, 65sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  QQ  C_  RR*
67 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6866, 66, 67mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6961fdmi 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
7068, 69sseqtr4i 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
71 fores 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7263, 70, 71mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
73 fodomnum 7894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
759, 74eqbrtri 4191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )
76 domentr 7125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  B  ~<_  NN )
7775, 57, 76mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  ~<_  NN
7814elexi 2925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  e. 
_V
7978xpdom1 7166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  B ) )
8077, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  B )
81 nnex 9962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
8281xpdom2 7162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8377, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
84 domtr 7119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  B )  /\  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8580, 83, 84mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
86 domentr 7125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  NN )
8785, 56, 86mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  B )  ~<_  NN
88 numdom 7875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  ( B  X.  B
)  ~<_  NN )  -> 
( B  X.  B
)  e.  dom  card )
8952, 87, 88mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( B  X.  B )  e. 
dom  card
90 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
91 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
92 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
9391, 92xpex 4949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
9490, 93fnmpt2i 6379 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )
95 dffn4 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B
) -onto-> ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) )
9694, 95mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B ) -onto-> ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
97 fodomnum 7894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  X.  B )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) : ( B  X.  B )
-onto->
ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) )  ~<_  ( B  X.  B ) ) )
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )
99 domtr 7119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )  /\  ( B  X.  B )  ~<_  NN )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN )
10098, 87, 99mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN
10117, 100eqbrtri 4191 . . . . . 6  |-  K  ~<_  NN
102 domtr 7119 . . . . . 6  |-  ( ( t  ~<_  K  /\  K  ~<_  NN )  ->  t  ~<_  NN )
10347, 101, 102sylancl 644 . . . . 5  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  NN )
104103ad2antrl 709 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  t  ~<_  NN )
10517eleq2i 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) )
10690, 93elrnmpt2 6142 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y ) )
107105, 106bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  K  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y
) )
108 elin 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F )
" y ) )  <-> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) ) )
109 mbff 19472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  F : dom  F --> CC )
111 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Re  o.  F ) `  z )  =  ( Re `  ( F `
 z ) ) )
112110, 111sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Re  o.  F
) `  z )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
113112eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  <->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  x
) )
114 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Im  o.  F ) `  z )  =  ( Im `  ( F `
 z ) ) )
115110, 114sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Im  o.  F
) `  z )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
116115eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y  <->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  y ) )
117113, 116anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y ) ) )
118110ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
119 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
120 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Im `  w )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
121119, 120opeq12d 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  <. (
Re `  w ) ,  ( Im `  w ) >.  =  <. ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) >. )
1221cnrecnv 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  `' G  =  ( w  e.  CC  |->  <. ( Re `  w ) ,  ( Im `  w )
>. )
123 opex 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  _V
124121, 122, 123fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  z )  e.  CC  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
125118, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
126125eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  <. ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  ( x  X.  y ) ) )
127118biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
128126, 127bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( <. ( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
129 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( Re
`  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im
`  ( F `  z ) )  e.  y ) )
130 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
131 f1ofn 5634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' G  Fn  CC )
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  `' G  Fn  CC
133 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' G  Fn  CC  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <-> 
( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
134132, 133ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) )
135 imacnvcnv 5293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  =  ( G "
( x  X.  y
) )
136135eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
137134, 136bitr3i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
138128, 129, 1373bitr3g 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) )
139117, 138bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( F `  z
)  e.  ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
140139pm5.32da 623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
141 ref 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Re : CC
--> RR
142 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
143141, 109, 142sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
144 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Re  o.  F )  Fn  dom  F )
145 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
146143, 144, 1453syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
147 imf 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Im : CC
--> RR
148 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
149147, 109, 148sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
150 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Im  o.  F )  Fn  dom  F )
151 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
152149, 150, 1513syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
153146, 152anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) ) )
154 anandi 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
155153, 154syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
156155adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
157 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
158 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) )  <-> 
( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) ) )
159109, 157, 1583syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
160159adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
161140, 156, 1603bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
162108, 161syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) "
y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
163162eqrdv 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  =  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
164 ismbfcn 19476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
165109, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
166165ibi 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
167166simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
168 ismbf 19475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
169143, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) )
170167, 169mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
172 imassrn 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
1739, 172eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  C_  ran  (,)
174 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
175173, 174sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ran  (,) )
176 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
177171, 175, 176sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
178166simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
179 ismbf 19475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
180149, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Im  o.  F )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol ) )
181178, 180mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol )
182181adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F
) " y )  e.  dom  vol )
183 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
184173, 183sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  ran  (,) )
185 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
186182, 184, 185sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' ( Im  o.  F
) " y )  e.  dom  vol )
187 inmbl 19389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" y )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  e.  dom  vol )
188177, 186, 187syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  e.  dom  vol )
189163, 188eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
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( x  X.  y
) ) )  e. 
dom  vol )
190 imaeq2 5158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  ( G " w )  =  ( G " (
x  X.  y ) ) )
191190imaeq2d 5162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  ( `' F " ( G
" w ) )  =  ( `' F " ( G " (
x  X.  y ) ) ) )
192191eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  X.  y )  ->  (
( `' F "
( G " w
) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) )  e.  dom  vol )
)
193189, 192syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
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" w ) )  e.  dom  vol )
)
194193rexlimdvva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y
)  ->  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol ) )
195107, 194syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( w  e.  K  ->  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol ) )
196195ralrimiv 2748 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. w  e.  K  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol )
197 ssralv 3367 . . . . . 6  |-  ( t 
C_  K  ->  ( A. w  e.  K  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol  ->  A. w  e.  t  ( `' F " ( G
" w ) )  e.  dom  vol )
)
198196, 197mpan9 456 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  t  C_  K )  ->  A. w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
dom  vol )
199198ad2ant2r 728 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
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dom  vol )
200 iunmbl2 19404 . . . 4  |-  ( ( t  ~<_  NN  /\  A. w  e.  t  ( `' F " ( G "
w ) )  e. 
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dom  vol )
201104, 199, 200syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
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) )  e.  dom  vol )
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dom  vol )
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   cardccrd 7778   CCcc 8944   RRcr 8945   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075   NNcn 9956   QQcq 10530   (,)cioo 10872   Recre 11857   Imcim 11858   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658   TopBasesctb 16917    Cn ccn 17242    tX ctx 17545    Homeo chmeo 17738   volcvol 19313  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  19501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
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