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Theorem mbfimaopnlem 19114
Description: Lemma for mbfimaopn 19115. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn.2  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
mbfimaopn.3  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
mbfimaopn.4  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    x, G, y    x, J, y
Allowed substitution hints:    A( y)    K( x, y)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables  t 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
41, 2, 3cnrehmeo 18555 . . . . . . 7  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Homeo  J )
5 hmeocn 17557 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Homeo  J )  ->  G  e.  ( (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )
7 cnima 17100 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  A  e.  J
)  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
86, 7mpan 651 . . . . 5  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
109fveq2i 5611 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
1110tgqioo 18408 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  B )
1211, 11oveq12i 5957 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)
13 qtopbas 18370 . . . . . . . 8  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
149, 13eqeltri 2428 . . . . . . 7  |-  B  e.  TopBases
15 txbasval 17407 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( ( topGen `
 B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B ) )
1614, 14, 15mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B )
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
1817txval 17365 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( B  tX  B )  =  (
topGen `  K ) )
1914, 14, 18mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( B 
tX  B )  =  ( topGen `  K )
2012, 16, 193eqtri 2382 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( topGen `  K )
218, 20syl6eleq 2448 . . . 4  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
) )
2217txbas 17368 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  K  e.  TopBases )
2314, 14, 22mp2an 653 . . . . 5  |-  K  e.  TopBases
24 eltg3 16806 . . . . 5  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2621, 25sylib 188 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2726adantl 452 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
281cnref1o 10441 . . . . . . . . . 10  |-  G :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
29 f1ofo 5562 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC
31 elssuni 3936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
323cnfldtopon 18394 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3332toponunii 16776 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. J
3431, 33syl6sseqr 3301 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_  CC )
3534ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  C_  CC )
36 foimacnv 5573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : ( RR 
X.  RR ) -onto-> CC 
/\  A  C_  CC )  ->  ( G "
( `' G " A ) )  =  A )
3730, 35, 36sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  A )
38 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' G " A )  = 
U. t )
3938imaeq2d 5094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  ( G " U. t ) )
40 imauni 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( G
" U. t )  =  U_ w  e.  t  ( G "
w )
4139, 40syl6eq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  = 
U_ w  e.  t  ( G " w
) )
4237, 41eqtr3d 2392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  =  U_ w  e.  t  ( G " w ) )
4342imaeq2d 5094 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  =  ( `' F " U_ w  e.  t 
( G " w
) ) )
44 imaiun 5858 . . . . . 6  |-  ( `' F " U_ w  e.  t  ( G " w ) )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) )
4543, 44syl6eq 2406 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) ) )
46 ssdomg 6995 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( t  C_  K  ->  t  ~<_  K ) )
4723, 46ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  K )
48 omelon 7437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  e.  On
49 nnenom 11134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  ~~  om
5049ensymi 6999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  ~~  NN
51 isnumi 7669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
5248, 50, 51mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  dom  card
53 qnnen 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  QQ  ~~  NN
54 xpen 7112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
5553, 53, 54mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
56 xpnnen 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
5755, 56entri 7003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
5857, 49entr2i 7004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
59 isnumi 7669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
6048, 58, 59mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
61 ioof 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
62 ffun 5474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Fun  (,)
64 qssre 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  QQ  C_  RR
65 ressxr 8966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  RR  C_  RR*
6664, 65sstri 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  QQ  C_  RR*
67 xpss12 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6866, 66, 67mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6961fdmi 5477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
7068, 69sseqtr4i 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
71 fores 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7263, 70, 71mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
73 fodomnum 7774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
7460, 72, 73mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
759, 74eqbrtri 4123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )
76 domentr 7008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  B  ~<_  NN )
7775, 57, 76mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  ~<_  NN
7814elexi 2873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  e. 
_V
7978xpdom1 7049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  B ) )
8077, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  B )
81 nnex 9842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
8281xpdom2 7045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8377, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
84 domtr 7002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  B )  /\  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8580, 83, 84mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
86 domentr 7008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  NN )
8785, 56, 86mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  X.  B )  ~<_  NN
88 numdom 7755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  ( B  X.  B
)  ~<_  NN )  -> 
( B  X.  B
)  e.  dom  card )
8952, 87, 88mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  X.  B )  e. 
dom  card
90 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
91 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
92 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
9391, 92xpex 4883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
9490, 93fnmpt2i 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )
95 dffn4 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B
) -onto-> ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) )
9694, 95mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B ) -onto-> ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
97 fodomnum 7774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  X.  B )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) : ( B  X.  B )
-onto->
ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) )  ~<_  ( B  X.  B ) ) )
9889, 96, 97mp2 17 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )
99 domtr 7002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )  /\  ( B  X.  B )  ~<_  NN )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN )
10098, 87, 99mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN
10117, 100eqbrtri 4123 . . . . . . . 8  |-  K  ~<_  NN
102 domtr 7002 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  ~<_  K  /\  K  ~<_  NN )  ->  t  ~<_  NN )
10347, 101, 102sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  NN )
104103ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  t  ~<_  NN )
10517eleq2i 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) )
10690, 93elrnmpt2 6044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y ) )
107105, 106bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  K  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y
) )
108 elin 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F )
" y ) )  <-> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) ) )
109 mbff 19086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  F : dom  F --> CC )
111 fvco3 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Re  o.  F ) `  z )  =  ( Re `  ( F `
 z ) ) )
112110, 111sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Re  o.  F
) `  z )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
113112eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  <->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  x
) )
114 fvco3 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Im  o.  F ) `  z )  =  ( Im `  ( F `
 z ) ) )
115110, 114sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Im  o.  F
) `  z )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
116115eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y  <->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  y ) )
117113, 116anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y ) ) )
118 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
119110, 118sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
120 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
121 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Im `  w )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
122120, 121opeq12d 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  <. (
Re `  w ) ,  ( Im `  w ) >.  =  <. ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) >. )
1231cnrecnv 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  `' G  =  ( w  e.  CC  |->  <. ( Re `  w ) ,  ( Im `  w )
>. )
124 opex 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  <. (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  _V
125122, 123, 124fvmpt 5685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  z )  e.  CC  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
126119, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
127126eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  <. ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  ( x  X.  y ) ) )
128119biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
129127, 128bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( <. ( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
130 opelxp 4801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( Re
`  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im
`  ( F `  z ) )  e.  y ) )
131 f1ocnv 5568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
132 f1ofn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' G  Fn  CC )
13328, 131, 132mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  `' G  Fn  CC
134 elpreima 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( `' G  Fn  CC  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <-> 
( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) )
136 imacnvcnv 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  =  ( G "
( x  X.  y
) )
137136eleq2i 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
138135, 137bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
139129, 130, 1383bitr3g 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) )
140117, 139bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( F `  z
)  e.  ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
141140pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
142 ref 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Re : CC
--> RR
143 fco 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
144142, 109, 143sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
145 ffn 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Re  o.  F )  Fn  dom  F )
146 elpreima 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
147144, 145, 1463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
148 imf 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Im : CC
--> RR
149 fco 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
150148, 109, 149sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
151 ffn 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Im  o.  F )  Fn  dom  F )
152 elpreima 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
153150, 151, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
154147, 153anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) ) )
155 anandi 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
156154, 155syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
157156adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
158 ffn 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
159 elpreima 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) )  <-> 
( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) ) )
160109, 158, 1593syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
162141, 157, 1613bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
163108, 162syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) "
y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
164163eqrdv 2356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  =  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
165 ismbfcn 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
166109, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
167166ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
168167simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
169 ismbf 19089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
170144, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) )
171168, 170mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
172171adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
173 imassrn 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
1749, 173eqsstri 3284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  ran  (,)
175 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
176174, 175sseldi 3254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ran  (,) )
177 rsp 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
178172, 176, 177sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
179167simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
180 ismbf 19089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
181150, 180syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Im  o.  F )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol ) )
182179, 181mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol )
183182adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F
) " y )  e.  dom  vol )
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x  e.  B  /\  y  e.  B )
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186 rsp 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
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x  e.  B  /\  y  e.  B )
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x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
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dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) " y
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x  e.  B  /\  y  e.  B )
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( x  X.  y
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dom  vol )
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x  X.  y ) ) )
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" w ) )  =  ( `' F " ( G " (
x  X.  y ) ) ) )
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( `' F "
( G " w
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" ( x  X.  y ) ) )  e.  dom  vol )
)
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w ) )  e. 
dom  vol ) )
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C_  K  ->  ( A. w  e.  K  ( `' F " ( G
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   <.cop 3719   U.cuni 3908   U_ciun 3986   class class class wbr 4104   Oncon0 4474   omcom 4738    X. cxp 4769   `'ccnv 4770   dom cdm 4771   ran crn 4772    |` cres 4773   "cima 4774    o. ccom 4775   Fun wfun 5331    Fn wfn 5332   -->wf 5333   -onto->wfo 5335   -1-1-onto->wf1o 5336   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    e. cmpt2 5947    ~~ cen 6948    ~<_ cdom 6949   cardccrd 7658   CCcc 8825   RRcr 8826   _ici 8829    + caddc 8830    x. cmul 8832   RR*cxr 8956   NNcn 9836   QQcq 10408   (,)cioo 10748   Recre 11678   Imcim 11679   TopOpenctopn 13425   topGenctg 13441  ℂfldccnfld 16482   TopBasesctb 16741    Cn ccn 17060    tX ctx 17361    Homeo chmeo 17550   volcvol 18927  MblFncmbf 19073
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  19115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cc 8151  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-disj 4075  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-ovol 18928  df-vol 18929  df-mbf 19079
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