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Theorem mbfimaopnlem 19010
Description: Lemma for mbfimaopn 19011. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn.2  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
mbfimaopn.3  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
mbfimaopn.4  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  ( `' F " A )  e.  dom  vol )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, F, y    x, G, y    x, J, y
Allowed substitution hints:    A( y)    K( x, y)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables  t 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
2 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
41, 2, 3cnrehmeo 18451 . . . . . . 7  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Homeo  J )
5 hmeocn 17451 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Homeo  J )  ->  G  e.  ( (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J ) )
64, 5ax-mp 8 . . . . . 6  |-  G  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )
7 cnima 16994 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  A  e.  J
)  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
86, 7mpan 651 . . . . 5  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
109fveq2i 5528 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  B )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
1110tgqioo 18306 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  B )
1211, 11oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)
13 qtopbas 18268 . . . . . . . 8  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
149, 13eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  B  e.  TopBases
15 txbasval 17301 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( ( topGen `
 B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B ) )
1614, 14, 15mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  B )  tX  ( topGen `  B )
)  =  ( B 
tX  B )
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8  |-  K  =  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
1817txval 17259 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  ( B  tX  B )  =  (
topGen `  K ) )
1914, 14, 18mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( B 
tX  B )  =  ( topGen `  K )
2012, 16, 193eqtri 2307 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( topGen `  K )
218, 20syl6eleq 2373 . . . 4  |-  ( A  e.  J  ->  ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
) )
2217txbas 17262 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  TopBases  /\  B  e. 
TopBases )  ->  K  e.  TopBases )
2314, 14, 22mp2an 653 . . . . 5  |-  K  e.  TopBases
24 eltg3 16700 . . . . 5  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( `' G " A )  e.  ( topGen `  K
)  <->  E. t ( t 
C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2621, 25sylib 188 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
2726adantl 452 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  ->  E. t
( t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )
281cnref1o 10349 . . . . . . . . . 10  |-  G :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
29 f1ofo 5479 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  G :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC
31 elssuni 3855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
323cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3332toponunii 16670 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. J
3431, 33syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_  CC )
3534ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  C_  CC )
36 foimacnv 5490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : ( RR 
X.  RR ) -onto-> CC 
/\  A  C_  CC )  ->  ( G "
( `' G " A ) )  =  A )
3730, 35, 36sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  A )
38 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' G " A )  = 
U. t )
3938imaeq2d 5012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  =  ( G " U. t ) )
40 imauni 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( G
" U. t )  =  U_ w  e.  t  ( G "
w )
4139, 40syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( G " ( `' G " A ) )  = 
U_ w  e.  t  ( G " w
) )
4237, 41eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  A  =  U_ w  e.  t  ( G " w ) )
4342imaeq2d 5012 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  =  ( `' F " U_ w  e.  t 
( G " w
) ) )
44 imaiun 5771 . . . . . 6  |-  ( `' F " U_ w  e.  t  ( G " w ) )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) )
4543, 44syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  ( `' F " A )  = 
U_ w  e.  t  ( `' F "
( G " w
) ) )
46 ssdomg 6907 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  TopBases  ->  ( t  C_  K  ->  t  ~<_  K ) )
4723, 46ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  K )
48 omelon 7347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  e.  On
49 nnenom 11042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  ~~  om
5049ensymi 6911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  ~~  NN
51 isnumi 7579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  NN )  ->  NN  e.  dom  card )
5248, 50, 51mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  e.  dom  card
53 qnnen 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  QQ  ~~  NN
54 xpen 7024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
5553, 53, 54mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
56 xpnnen 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
5755, 56entri 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
5857, 49entr2i 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
59 isnumi 7579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
6048, 58, 59mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
61 ioof 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
62 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Fun  (,)
64 qssre 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  QQ  C_  RR
65 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  RR  C_  RR*
6664, 65sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  QQ  C_  RR*
67 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
6866, 66, 67mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
6961fdmi 5394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
7068, 69sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
71 fores 5460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
7263, 70, 71mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
73 fodomnum 7684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
7460, 72, 73mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
759, 74eqbrtri 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )
76 domentr 6920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  NN )  ->  B  ~<_  NN )
7775, 57, 76mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  ~<_  NN
7814elexi 2797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  e. 
_V
7978xpdom1 6961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  B ) )
8077, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  B )
81 nnex 9752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
8281xpdom2 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  ~<_  NN  ->  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8377, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
84 domtr 6914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  B )  /\  ( NN  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN 
X.  NN ) )
8580, 83, 84mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  X.  B )  ~<_  ( NN  X.  NN )
86 domentr 6920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  X.  B
)  ~<_  ( NN  X.  NN )  /\  ( NN  X.  NN )  ~~  NN )  ->  ( B  X.  B )  ~<_  NN )
8785, 56, 86mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  X.  B )  ~<_  NN
88 numdom 7665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( NN  e.  dom  card  /\  ( B  X.  B
)  ~<_  NN )  -> 
( B  X.  B
)  e.  dom  card )
8952, 87, 88mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  X.  B )  e. 
dom  card
90 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
91 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
92 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
9391, 92xpex 4801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
9490, 93fnmpt2i 6193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )
95 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B
) -onto-> ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) )
9694, 95mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) ) : ( B  X.  B ) -onto-> ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )
97 fodomnum 7684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  X.  B )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) : ( B  X.  B )
-onto->
ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) )  ~<_  ( B  X.  B ) ) )
9889, 96, 97mp2 17 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )
99 domtr 6914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  ( B  X.  B )  /\  ( B  X.  B )  ~<_  NN )  ->  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN )
10098, 87, 99mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  ~<_  NN
10117, 100eqbrtri 4042 . . . . . . . 8  |-  K  ~<_  NN
102 domtr 6914 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  ~<_  K  /\  K  ~<_  NN )  ->  t  ~<_  NN )
10347, 101, 102sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( t 
C_  K  ->  t  ~<_  NN )
104103ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  J )  /\  (
t  C_  K  /\  ( `' G " A )  =  U. t ) )  ->  t  ~<_  NN )
10517eleq2i 2347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  K  <->  w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y
) ) )
10690, 93elrnmpt2 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  X.  y ) )  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y ) )
107105, 106bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  K  <->  E. x  e.  B  E. y  e.  B  w  =  ( x  X.  y
) )
108 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F )
" y ) )  <-> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) ) )
109 mbff 18982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  F : dom  F --> CC )
111 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Re  o.  F ) `  z )  =  ( Re `  ( F `
 z ) ) )
112110, 111sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Re  o.  F
) `  z )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
113112eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  <->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  x
) )
114 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( (
Im  o.  F ) `  z )  =  ( Im `  ( F `
 z ) ) )
115110, 114sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( Im  o.  F
) `  z )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
116115eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y  <->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  y ) )
117113, 116anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y ) ) )
118 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
119110, 118sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
120 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Re `  w )  =  ( Re `  ( F `  z ) ) )
121 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
Im `  w )  =  ( Im `  ( F `  z ) ) )
122120, 121opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  <. (
Re `  w ) ,  ( Im `  w ) >.  =  <. ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) >. )
1231cnrecnv 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  `' G  =  ( w  e.  CC  |->  <. ( Re `  w ) ,  ( Im `  w )
>. )
124 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  <. (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  _V
125122, 123, 124fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  z )  e.  CC  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
126119, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( `' G `  ( F `
 z ) )  =  <. ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.
)
127126eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  <. ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) >.  e.  ( x  X.  y ) ) )
128119biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
129127, 128bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( <. ( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
130 opelxp 4719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) >.  e.  ( x  X.  y
)  <->  ( ( Re
`  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im
`  ( F `  z ) )  e.  y ) )
131 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( G : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
132 f1ofn 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( `' G : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' G  Fn  CC )
13328, 131, 132mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  `' G  Fn  CC
134 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( `' G  Fn  CC  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <-> 
( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `  z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) ) )
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( ( F `  z )  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) ) )
136 imacnvcnv 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  =  ( G "
( x  X.  y
) )
137136eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  z )  e.  ( `' `' G " ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
138135, 137bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( `' G `  ( F `
 z ) )  e.  ( x  X.  y ) )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) )
139129, 130, 1383bitr3g 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( Re `  ( F `  z ) )  e.  x  /\  ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  y )  <->  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) )
140117, 139bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  z  e.  dom  F )  ->  (
( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y )  <-> 
( F `  z
)  e.  ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
141140pm5.32da 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
142 ref 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Re : CC
--> RR
143 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
144142, 109, 143sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
145 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Re  o.  F )  Fn  dom  F )
146 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
147144, 145, 1463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Re  o.  F
) `  z )  e.  x ) ) )
148 imf 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Im : CC
--> RR
149 fco 5398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
150148, 109, 149sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
151 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( Im  o.  F )  Fn  dom  F )
152 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im  o.  F )  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
153150, 151, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
154147, 153anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) ) )
155 anandi 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( ( Re  o.  F ) `  z )  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) )  <->  ( ( z  e.  dom  F  /\  ( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x )  /\  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( Im  o.  F
) `  z )  e.  y ) ) )
156154, 155syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( z  e.  ( `' ( Re  o.  F )
" x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  <->  ( z  e. 
dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
157156adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  (
( ( Re  o.  F ) `  z
)  e.  x  /\  ( ( Im  o.  F ) `  z
)  e.  y ) ) ) )
158 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
159 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) )  <-> 
( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " ( x  X.  y ) ) ) ) )
160109, 158, 1593syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
161160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
( G " (
x  X.  y ) ) )  <->  ( z  e.  dom  F  /\  ( F `  z )  e.  ( G " (
x  X.  y ) ) ) ) )
162141, 157, 1613bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
z  e.  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  /\  z  e.  ( `' ( Im  o.  F ) " y
) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
163108, 162syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( z  e.  ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) "
y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) ) )
164163eqrdv 2281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  =  ( `' F " ( G
" ( x  X.  y ) ) ) )
165 ismbfcn 18986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
166109, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
167166ibi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
168167simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
169 ismbf 18985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
170144, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) )
171168, 170mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
172171adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
173 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
1749, 173eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  ran  (,)
175 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
176174, 175sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  ran  (,) )
177 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  ->  ( x  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
178172, 176, 177sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
179167simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
180 ismbf 18985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR  ->  ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
181150, 180syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Im  o.  F )  e. MblFn  <->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol ) )
182179, 181mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e. MblFn  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol )
183182adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F
) " y )  e.  dom  vol )
184 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
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185174, 184sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
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186 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) " y
)  e.  dom  vol  ->  ( y  e.  ran  (,) 
->  ( `' ( Im  o.  F ) "
y )  e.  dom  vol ) )
187183, 185, 186sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
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x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" y )  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  i^i  ( `' ( Im  o.  F ) " y
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x  e.  B  /\  y  e.  B )
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)  i^i  ( `' ( Im  o.  F
) " y ) )  e.  dom  vol )
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( x  X.  y
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dom  vol )
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x  X.  y ) ) )
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" w ) )  =  ( `' F " ( G " (
x  X.  y ) ) ) )
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( `' F "
( G " w
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" ( x  X.  y ) ) )  e.  dom  vol )
)
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w ) )  e. 
dom  vol ) )
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C_  K  ->  ( A. w  e.  K  ( `' F " ( G
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   omcom 4656    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   cardccrd 7568   CCcc 8735   RRcr 8736   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866   NNcn 9746   QQcq 10316   (,)cioo 10656   Recre 11582   Imcim 11583   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377   TopBasesctb 16635    Cn ccn 16954    tX ctx 17255    Homeo chmeo 17444   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  19011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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