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Theorem mbflim 19023
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflim.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
mbflim.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflim.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbflim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x    n, Z, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)    C( x, n)    M( x, n)    V( x, n)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 mbflim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 mbflim.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
4 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
51, 4eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
65mptex 5746 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  e.  _V
76a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  e.  _V )
82adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
9 mbflim.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
1110anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
129, 11mbfmptcl 18992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1312an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
14 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
1513, 14fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> CC )
16 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC )
1715, 16sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC )
18 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
1913recld 11679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
20 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )
2120fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  B ) )
2218, 19, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  B ) )
2314fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
2418, 13, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
2524fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Re
`  B ) )
2622, 25eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
2726ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
28 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) )
29 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
k
3028, 29nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )
31 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Re
32 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  B )
3332, 29nffv 5532 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )
3431, 33nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
3530, 34nfeq 2426 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
36 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
37 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n ) )
38 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3938fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
4037, 39eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) ) `
 n )  =  ( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
4135, 36, 40cbvral 2760 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
4227, 41sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
4342r19.21bi 2641 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
441, 3, 7, 8, 17, 43climre 12079 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  ~~>  ( Re `  C ) )
4512ismbfcn2 18994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
469, 45mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) )
4746simpld 445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn )
4812anasss 628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  CC )
4948recld 11679 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Re `  B
)  e.  RR )
501, 2, 44, 47, 49mbflimlem 19022 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
515mptex 5746 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  e.  _V
5251a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  e.  _V )
5313imcld 11680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
54 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )
5554fvmpt2 5608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  B ) )
5618, 53, 55syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  B ) )
5724fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Im
`  B ) )
5856, 57eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
5958ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
60 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) )
6160, 29nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )
62 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Im
6362, 33nffv 5532 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
6461, 63nfeq 2426 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
65 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
66 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n ) )
6738fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
6866, 67eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) ) `
 n )  =  ( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
6964, 65, 68cbvral 2760 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
7059, 69sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
7170r19.21bi 2641 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
721, 3, 52, 8, 17, 71climim 12080 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  ~~>  ( Im `  C ) )
7346simprd 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn )
7448imcld 11680 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Im `  B
)  e.  RR )
751, 2, 72, 73, 74mbflimlem 19022 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
76 climcl 11973 . . . 4  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C  ->  C  e.  CC )
773, 76syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7877ismbfcn2 18994 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
7950, 75, 78mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255   CCcc 8735   RRcr 8736   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   Recre 11582   Imcim 11583    ~~> cli 11958  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  19079  mbfulm  19782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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