Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflim Structured version   Unicode version

Theorem mbflim 19589
 Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1
mbflim.2
mbflim.4
mbflim.5 MblFn
mbflim.6
Assertion
Ref Expression
mbflim MblFn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3
2 mbflim.2 . . 3
3 mbflim.4 . . . 4
4 fvex 5771 . . . . . . 7
51, 4eqeltri 2512 . . . . . 6
65mptex 5995 . . . . 5
76a1i 11 . . . 4
82adantr 453 . . . 4
9 mbflim.5 . . . . . . . 8 MblFn
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9
1110anassrs 631 . . . . . . . 8
129, 11mbfmptcl 19558 . . . . . . 7
1312an32s 781 . . . . . 6
14 eqid 2442 . . . . . 6
1513, 14fmptd 5922 . . . . 5
1615ffvelrnda 5899 . . . 4
17 simpr 449 . . . . . . . . 9
1813recld 12030 . . . . . . . . 9
19 eqid 2442 . . . . . . . . . 10
2019fvmpt2 5841 . . . . . . . . 9
2117, 18, 20syl2anc 644 . . . . . . . 8
2214fvmpt2 5841 . . . . . . . . . 10
2317, 13, 22syl2anc 644 . . . . . . . . 9
2423fveq2d 5761 . . . . . . . 8
2521, 24eqtr4d 2477 . . . . . . 7
2625ralrimiva 2795 . . . . . 6
27 nffvmpt1 5765 . . . . . . . 8
28 nfcv 2578 . . . . . . . . 9
29 nffvmpt1 5765 . . . . . . . . 9
3028, 29nffv 5764 . . . . . . . 8
3127, 30nfeq 2585 . . . . . . 7
32 nfv 1630 . . . . . . 7
33 fveq2 5757 . . . . . . . 8
34 fveq2 5757 . . . . . . . . 9
3534fveq2d 5761 . . . . . . . 8
3633, 35eqeq12d 2456 . . . . . . 7
3731, 32, 36cbvral 2934 . . . . . 6
3826, 37sylibr 205 . . . . 5
3938r19.21bi 2810 . . . 4
401, 3, 7, 8, 16, 39climre 12430 . . 3
4112ismbfcn2 19560 . . . . 5 MblFn MblFn MblFn
429, 41mpbid 203 . . . 4 MblFn MblFn
4342simpld 447 . . 3 MblFn
4412anasss 630 . . . 4
4544recld 12030 . . 3
461, 2, 40, 43, 45mbflimlem 19588 . 2 MblFn
475mptex 5995 . . . . 5
4847a1i 11 . . . 4
4913imcld 12031 . . . . . . . . 9
50 eqid 2442 . . . . . . . . . 10
5150fvmpt2 5841 . . . . . . . . 9
5217, 49, 51syl2anc 644 . . . . . . . 8
5323fveq2d 5761 . . . . . . . 8
5452, 53eqtr4d 2477 . . . . . . 7
5554ralrimiva 2795 . . . . . 6
56 nffvmpt1 5765 . . . . . . . 8
57 nfcv 2578 . . . . . . . . 9
5857, 29nffv 5764 . . . . . . . 8
5956, 58nfeq 2585 . . . . . . 7
60 nfv 1630 . . . . . . 7
61 fveq2 5757 . . . . . . . 8
6234fveq2d 5761 . . . . . . . 8
6361, 62eqeq12d 2456 . . . . . . 7
6459, 60, 63cbvral 2934 . . . . . 6
6555, 64sylibr 205 . . . . 5
6665r19.21bi 2810 . . . 4
671, 3, 48, 8, 16, 66climim 12431 . . 3
6842simprd 451 . . 3 MblFn
6944imcld 12031 . . 3
701, 2, 67, 68, 69mbflimlem 19588 . 2 MblFn
71 climcl 12324 . . . 4
723, 71syl 16 . . 3
7372ismbfcn2 19560 . 2 MblFn MblFn MblFn
7446, 70, 73mpbir2and 890 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  cvv 2962   class class class wbr 4237   cmpt 4291  cfv 5483  cc 9019  cr 9020  cz 10313  cuz 10519  cre 11933  cim 11934   cli 12309  MblFncmbf 19537 This theorem is referenced by:  mbfmullem2  19645  mbfulm  20353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cc 8346  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-disj 4208  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-acn 7860  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xadd 10742  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-xmet 16726  df-met 16727  df-ovol 19392  df-vol 19393  df-mbf 19542
 Copyright terms: Public domain W3C validator