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Theorem mbflim 19039
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflim.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
mbflim.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflim.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbflim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x    n, Z, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)    C( x, n)    M( x, n)    V( x, n)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 mbflim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 mbflim.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
4 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
51, 4eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
65mptex 5762 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  e.  _V
76a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  e.  _V )
82adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
9 mbflim.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
1110anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
129, 11mbfmptcl 19008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1312an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
14 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
1513, 14fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> CC )
16 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC )
1715, 16sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC )
18 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
1913recld 11695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
20 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )
2120fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  B ) )
2218, 19, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  B ) )
2314fvmpt2 5624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
2418, 13, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
2524fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Re
`  B ) )
2622, 25eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
2726ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
28 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) )
29 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
k
3028, 29nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )
31 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Re
32 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  B )
3332, 29nffv 5548 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )
3431, 33nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
3530, 34nfeq 2439 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
36 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
37 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n ) )
38 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3938fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
4037, 39eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) ) `
 n )  =  ( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
4135, 36, 40cbvral 2773 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
4227, 41sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
4342r19.21bi 2654 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
441, 3, 7, 8, 17, 43climre 12095 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  ~~>  ( Re `  C ) )
4512ismbfcn2 19010 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
469, 45mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) )
4746simpld 445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn )
4812anasss 628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  CC )
4948recld 11695 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Re `  B
)  e.  RR )
501, 2, 44, 47, 49mbflimlem 19038 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
515mptex 5762 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  e.  _V
5251a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  e.  _V )
5313imcld 11696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
54 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )
5554fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  B ) )
5618, 53, 55syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  B ) )
5724fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Im
`  B ) )
5856, 57eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
5958ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
60 nfmpt1 4125 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) )
6160, 29nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )
62 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Im
6362, 33nffv 5548 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
6461, 63nfeq 2439 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
65 nfv 1609 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
66 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n ) )
6738fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
6866, 67eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) ) `
 n )  =  ( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
6964, 65, 68cbvral 2773 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
7059, 69sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
7170r19.21bi 2654 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
721, 3, 52, 8, 17, 71climim 12096 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  ~~>  ( Im `  C ) )
7346simprd 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn )
7448imcld 11696 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Im `  B
)  e.  RR )
751, 2, 72, 73, 74mbflimlem 19038 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
76 climcl 11989 . . . 4  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C  ->  C  e.  CC )
773, 76syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7877ismbfcn2 19010 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
7950, 75, 78mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271   CCcc 8751   RRcr 8752   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   Recre 11598   Imcim 11599    ~~> cli 11974  MblFncmbf 18985
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  19095  mbfulm  19798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991
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