MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimlem Unicode version

Theorem mbflimlem 19022
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflim.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
mbflim.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflimlem.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbflimlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x    n, Z, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)    C( x, n)    M( x, n)

Proof of Theorem mbflimlem
Dummy variables  j 
k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 mbflimlem.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
32anass1rs 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 mbflim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
8 mbflim.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
9 climrel 11966 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~>
109releldmi 4915 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )
118, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )
121climcau 12144 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 j )  -  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )  <  y )
137, 11, 12syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  j )  -  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) ) )  < 
y )
141, 5, 13caurcvg 12149 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
15 climuni 12026 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  /\  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )  ->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  =  C )
1614, 8, 15syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  C )
1716mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
18 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
19 eqid 2283 . . 3  |-  ( m  e.  RR  |->  sup (
( ( ( n  e.  Z  |->  B )
" ( m [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( m  e.  RR  |->  sup (
( ( ( n  e.  Z  |->  B )
" ( m [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
20 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  RR )
215, 20sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  RR )
221, 7, 14, 21climrecl 12057 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
23 mbflim.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
241, 18, 19, 6, 22, 23, 2mbflimsup 19021 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  e. MblFn )
2517, 24eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   [,)cico 10658   abscabs 11719   limsupclsp 11944    ~~> cli 11958  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbflim  19023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
  Copyright terms: Public domain W3C validator