MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimlem Unicode version

Theorem mbflimlem 19428
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflim.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
mbflim.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflimlem.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbflimlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x    n, Z, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)    C( x, n)    M( x, n)

Proof of Theorem mbflimlem
Dummy variables  j 
k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 mbflimlem.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
32anass1rs 783 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5834 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 mbflim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
8 mbflim.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
9 climrel 12215 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~>
109releldmi 5048 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )
118, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )
121climcau 12393 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 j )  -  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )  <  y )
137, 11, 12syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  j )  -  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) ) )  < 
y )
141, 5, 13caurcvg 12399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
15 climuni 12275 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  /\  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )  ->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  =  C )
1614, 8, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  C )
1716mpteq2dva 4238 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
18 eqid 2389 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
19 eqid 2389 . . 3  |-  ( m  e.  RR  |->  sup (
( ( ( n  e.  Z  |->  B )
" ( m [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( m  e.  RR  |->  sup (
( ( ( n  e.  Z  |->  B )
" ( m [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
205ffvelrnda 5811 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  RR )
211, 7, 14, 20climrecl 12306 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
22 mbflim.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
231, 18, 19, 6, 21, 22, 2mbflimsup 19427 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  e. MblFn )
2417, 23eqeltrrd 2464 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    i^i cin 3264   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   dom cdm 4820   "cima 4823   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   supcsup 7382   RRcr 8924    +oocpnf 9052   RR*cxr 9054    < clt 9055    - cmin 9225   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   RR+crp 10546   [,)cico 10852   abscabs 11968   limsupclsp 12193    ~~> cli 12207  MblFncmbf 19375
This theorem is referenced by:  mbflim  19429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cc 8250  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-disj 4126  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xadd 10645  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-xmet 16621  df-met 16622  df-ovol 19230  df-vol 19231  df-mbf 19381
  Copyright terms: Public domain W3C validator