MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimlem Structured version   Unicode version

Theorem mbflimlem 19551
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflim.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
mbflim.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflimlem.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbflimlem  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x    n, Z, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)    C( x, n)    M( x, n)

Proof of Theorem mbflimlem
Dummy variables  j 
k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 mbflimlem.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
32anass1rs 783 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 mbflim.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
8 mbflim.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
9 climrel 12278 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~~>
109releldmi 5098 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )
118, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )
121climcau 12456 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. y  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k ) ( abs `  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 j )  -  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )  <  y )
137, 11, 12syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  RR+  E. k  e.  Z  A. j  e.  ( ZZ>= `  k )
( abs `  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  j )  -  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) ) )  < 
y )
141, 5, 13caurcvg 12462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
15 climuni 12338 . . . 4  |-  ( ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  /\  ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )  ->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  =  C )
1614, 8, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  C )
1716mpteq2dva 4287 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
18 eqid 2435 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
19 eqid 2435 . . 3  |-  ( m  e.  RR  |->  sup (
( ( ( n  e.  Z  |->  B )
" ( m [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( m  e.  RR  |->  sup (
( ( ( n  e.  Z  |->  B )
" ( m [,) 
+oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
205ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  RR )
211, 7, 14, 20climrecl 12369 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
22 mbflim.5 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
231, 18, 19, 6, 21, 22, 2mbflimsup 19550 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  e. MblFn )
2417, 23eqeltrrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   "cima 4873   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    - cmin 9283   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   [,)cico 10910   abscabs 12031   limsupclsp 12256    ~~> cli 12270  MblFncmbf 19498
This theorem is referenced by:  mbflim  19552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504
  Copyright terms: Public domain W3C validator