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Theorem mbflimsup 19021
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflimsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
mbflimsup.h  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
mbflimsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflimsup.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
mbflimsup.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflimsup.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbflimsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, m    ph, n, x    m, M    m, n, x, Z
Allowed substitution hints:    ph( m)    A( m)    B( x, n)    G( x, m, n)    H( x, m, n)    M( x, n)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables  i 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
2 mbflimsup.h . . . . . 6  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
53, 4eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  Z  e. 
_V
65mptex 5746 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V
76a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
8 uzssz 10247 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
93, 8eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
10 zssre 10031 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3188 . . . . . . 7  |-  Z  C_  RR
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  C_  RR )
13 mbflimsup.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
143uzsup 10967 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
172, 7, 12, 16limsupval2 11954 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  sup ( ( H " Z ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
18 imassrn 5025 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  C_  ran  H
1913adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
20 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
2120anass1rs 782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
2321, 22fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
24 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
25 ltpnf 10463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <  +oo )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <  +oo )
272, 3limsupgre 11955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  /\  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <  +oo )  ->  H : RR --> RR )
2819, 23, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : RR --> RR )
29 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( H : RR --> RR  ->  ran 
H  C_  RR )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  H 
C_  RR )
3118, 30syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  C_  RR )
32 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : RR --> RR  ->  dom 
H  =  RR )
3328, 32syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  H  =  RR )
3433ineq1d 3369 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  ( RR  i^i  Z ) )
35 dfss1 3373 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z 
C_  RR  <->  ( RR  i^i  Z )  =  Z )
3611, 35mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  Z )  =  Z
3734, 36syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  Z )
38 uzid 10242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3913, 38syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4039, 3syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
4140adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
42 ne0i 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  Z  ->  Z  =/=  (/) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  =/=  (/) )
4437, 43eqnetrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
45 imadisj 5032 . . . . . . . 8  |-  ( ( H " Z )  =  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =  (/) )
4645necon3bii 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( H " Z )  =/=  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
4744, 46sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =/=  (/) )
4824leidd 9339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
4921rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR* )
5049, 22fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
5124rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )
522limsuple 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5312, 50, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5448, 53mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
)
55 ssralv 3237 . . . . . . . . 9  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
5611, 54, 55mpsyl 59 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) )
572limsupgf 11949 . . . . . . . . . 10  |-  H : RR
--> RR*
58 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : RR --> RR*  ->  H  Fn  RR )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  H  Fn  RR
60 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  y )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6160ralima 5758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  RR  /\  Z  C_  RR )  -> 
( A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y ) ) )
6259, 12, 61sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6356, 62mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
)
64 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
z ) )
6564ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
) )
6665rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( H
" Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H
" Z ) y  <_  z )
6724, 63, 66syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)
68 infmxrre 10654 . . . . . 6  |-  ( ( ( H " Z
)  C_  RR  /\  ( H " Z )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)  ->  sup (
( H " Z
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup (
( H " Z
) ,  RR ,  `'  <  ) )
6931, 47, 67, 68syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ( H " Z ) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ( H " Z ) ,  RR ,  `'  <  ) )
70 df-ima 4702 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  =  ran  ( H  |`  Z )
7128feqmptd 5575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H  =  ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) ) )
7271reseq1d 4954 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z ) )
73 resmpt 5000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) ) )
7411, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )
7572, 74syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i
) ) )
76 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
773uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i ) )  ->  n  e.  Z )
7877adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
79 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  x  e.  A )
8076, 78, 79, 20syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  B  e.  RR )
81 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )
8280, 81fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR )
83 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR )
86 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =  ( ZZ>= `  i ) )
8782, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =  ( ZZ>= `  i ) )
88 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
8988, 3syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
90 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
9291adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
93 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  ( ZZ>= `  i )
)
94 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( ZZ>= `  i )  =/=  (/) )
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  =/=  (/) )
9687, 95eqnetrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
97 dm0rn0 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  (/) )
9897necon3bii 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/) )
9996, 98sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/) )
10111sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  RR )
102 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H : RR --> RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( H `  i
)  e.  RR )
10328, 101, 102syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR )
10489adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
105 uzss 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
107106, 3syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  Z )
108103leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  ( H `  i
) )
10911a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  Z  C_  RR )
11050adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
111 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
11211, 111sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
113103rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR* )
1142limsupgle 11951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  ( H `
 i )  e. 
RR* )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
115109, 110, 112, 113, 114syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
116108, 115mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
117 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ZZ>= `  i )  C_  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
118107, 116, 117sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) )
119107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  Z
)
120 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ZZ>= `  i )  C_  Z  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>= `  i )
)  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) )
121119, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>= `  i ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) )
122121fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
) )
123 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
124123adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
125122, 124eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
126125breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
127 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  k )
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  i  <_  k )
129 biimt 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  <_  k  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
130128, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
131126, 130bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
132131ralbidva 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) ) )
133118, 132mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) )
134 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
) )
135 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) `  k )  ->  (
z  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
136135ralrn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) )
13782, 134, 1363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i ) ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
138133, 137mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
( H `  i
) )
139 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( H `  i ) ) )
140139ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) ) )
141140rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( H `  i
)  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
142103, 138, 141syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )
143142adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
1449sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
145 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
14692, 144, 145syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
147146biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  i
) ) )
148147impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  i ) )
149148, 125syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
15082adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i ) --> RR )
151150, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i ) )
152 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
153151, 148, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
154149, 153eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) )
155 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
15685, 100, 143, 154, 155syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
157156expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
158157ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
159 suprcl 9714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
16084, 99, 142, 159syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
161160rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
1622limsupgle 11951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( H `  i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
163109, 110, 112, 161, 162syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
164158, 163mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
165 suprleub 9718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  ( H `  i )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
16684, 99, 142, 103, 165syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
167138, 166mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i )
)
168103, 160letri3d 8961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  =  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( ( H `
 i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  /\  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i ) ) ) )
169164, 167, 168mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  =  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
170169mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
17175, 170eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
172171rneqd 4906 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( H  |`  Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
17370, 172syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
174173supeq1d 7199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ( H " Z ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )
17517, 69, 1743eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
176175mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
1771, 176syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
178 eqid 2283 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )
179 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  i )  =  (
ZZ>= `  i )
180 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
181 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
18277adantll 694 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
183 mbflimsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
184181, 182, 183syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
185 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  ph )
18677ad2ant2lr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  n  e.  Z )
187 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
188185, 186, 187, 20syl12anc 1180 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
18980ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR )
190 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  y  <->  B  <_  y ) )
19181, 190ralrnmpt 5669 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
192189, 191syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_ 
y ) )
193192rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
194142, 193mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
195194an32s 779 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
196179, 180, 91, 184, 188, 195mbfsup 19019 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)  e. MblFn )
197160an32s 779 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
198197anasss 628 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1992limsuple 11952 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
20012, 50, 51, 199syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
20148, 200mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
)
202 ssralv 3237 . . . . . 6  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. i  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) ) )
20311, 201, 202mpsyl 59 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) )
204169breq2d 4035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
205204ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
206203, 205mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
207 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
208207ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
209208rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. i  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
21024, 206, 209syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
2113, 178, 13, 196, 198, 210mbfinf 19020 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )  e. MblFn
)
212177, 211eqeltrd 2357 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   [,)cico 10658   limsupclsp 11944  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbflimlem  19022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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