Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimsup Unicode version

Theorem mbflimsup 19037
 Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1
mbflimsup.2
mbflimsup.h
mbflimsup.3
mbflimsup.4
mbflimsup.5 MblFn
mbflimsup.6
Assertion
Ref Expression
mbflimsup MblFn
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3
2 mbflimsup.h . . . . . 6
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9
4 fvex 5555 . . . . . . . . 9
53, 4eqeltri 2366 . . . . . . . 8
65mptex 5762 . . . . . . 7
76a1i 10 . . . . . 6
8 uzssz 10263 . . . . . . . . 9
93, 8eqsstri 3221 . . . . . . . 8
10 zssre 10047 . . . . . . . 8
119, 10sstri 3201 . . . . . . 7
1211a1i 10 . . . . . 6
13 mbflimsup.3 . . . . . . . 8
143uzsup 10983 . . . . . . . 8
1513, 14syl 15 . . . . . . 7
1615adantr 451 . . . . . 6
172, 7, 12, 16limsupval2 11970 . . . . 5
18 imassrn 5041 . . . . . . 7
1913adantr 451 . . . . . . . . 9
20 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11
2120anass1rs 782 . . . . . . . . . 10
22 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
2321, 22fmptd 5700 . . . . . . . . 9
24 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10
25 ltpnf 10479 . . . . . . . . . 10
2624, 25syl 15 . . . . . . . . 9
272, 3limsupgre 11971 . . . . . . . . 9
2819, 23, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . . 8
29 frn 5411 . . . . . . . 8
3028, 29syl 15 . . . . . . 7
3118, 30syl5ss 3203 . . . . . 6
32 fdm 5409 . . . . . . . . . . 11
3328, 32syl 15 . . . . . . . . . 10
3433ineq1d 3382 . . . . . . . . 9
35 dfss1 3386 . . . . . . . . . 10
3611, 35mpbi 199 . . . . . . . . 9
3734, 36syl6eq 2344 . . . . . . . 8
38 uzid 10258 . . . . . . . . . . . 12
3913, 38syl 15 . . . . . . . . . . 11
4039, 3syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . 10
4140adantr 451 . . . . . . . . 9
42 ne0i 3474 . . . . . . . . 9
4341, 42syl 15 . . . . . . . 8
4437, 43eqnetrd 2477 . . . . . . 7
45 imadisj 5048 . . . . . . . 8
4645necon3bii 2491 . . . . . . 7
4744, 46sylibr 203 . . . . . 6
4824leidd 9355 . . . . . . . . . 10
4921rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12
5049, 22fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11
5124rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11
522limsuple 11968 . . . . . . . . . . 11
5312, 50, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
5448, 53mpbid 201 . . . . . . . . 9
55 ssralv 3250 . . . . . . . . 9
5611, 54, 55mpsyl 59 . . . . . . . 8
572limsupgf 11965 . . . . . . . . . 10
58 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . 9
60 breq2 4043 . . . . . . . . . 10
6160ralima 5774 . . . . . . . . 9
6259, 12, 61sylancr 644 . . . . . . . 8
6356, 62mpbird 223 . . . . . . 7
64 breq1 4042 . . . . . . . . 9
6564ralbidv 2576 . . . . . . . 8
6665rspcev 2897 . . . . . . 7
6724, 63, 66syl2anc 642 . . . . . 6
68 infmxrre 10670 . . . . . 6
6931, 47, 67, 68syl3anc 1182 . . . . 5
70 df-ima 4718 . . . . . . 7
7128feqmptd 5591 . . . . . . . . . . 11
7271reseq1d 4970 . . . . . . . . . 10
73 resmpt 5016 . . . . . . . . . . 11
7411, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
7572, 74syl6eq 2344 . . . . . . . . 9
76 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
773uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7877adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8076, 78, 79, 20syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8280, 81fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8782, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8988, 3syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
90 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9291adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9687, 95eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
97 dm0rn0 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9897necon3bii 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9996, 98sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
10111sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10328, 101, 102syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10489adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105 uzss 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107106, 3syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108103leidd 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10911a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11050adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
111 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11211, 111sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
113103rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1142limsupgle 11967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
115109, 110, 112, 113, 114syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116108, 115mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118107, 116, 117sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119107adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
120 resmpt 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
121119, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
122121fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
123 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
124123adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
125122, 124eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
126125breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
128127adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
129 biimt 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130128, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131126, 130bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132131ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133118, 132mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
136135ralrn 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13782, 134, 1363syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138133, 137mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140139ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141140rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142103, 138, 141syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143142adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
1449sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14692, 144, 145syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147146biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148147impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149148, 125syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15082adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151150, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153151, 148, 152syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154149, 153eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15
155 suprub 9731 . . . . . . . . . . . . . . 15
15685, 100, 143, 154, 155syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
157156expr 598 . . . . . . . . . . . . 13
158157ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12
159 suprcl 9730 . . . . . . . . . . . . . . 15
16084, 99, 142, 159syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
161160rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . 13
1622limsupgle 11967 . . . . . . . . . . . . 13
163109, 110, 112, 161, 162syl211anc 1188 . . . . . . . . . . . 12
164158, 163mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
165 suprleub 9734 . . . . . . . . . . . . 13
16684, 99, 142, 103, 165syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . 12
167138, 166mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
168103, 160letri3d 8977 . . . . . . . . . . 11
169164, 167, 168mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10
170169mpteq2dva 4122 . . . . . . . . 9
17175, 170eqtrd 2328 . . . . . . . 8
172171rneqd 4922 . . . . . . 7
17370, 172syl5eq 2340 . . . . . 6
174173supeq1d 7215 . . . . 5
17517, 69, 1743eqtrd 2332 . . . 4
176175mpteq2dva 4122 . . 3
1771, 176syl5eq 2340 . 2
178 eqid 2296 . . 3
179 eqid 2296 . . . 4
180 eqid 2296 . . . 4
181 simpll 730 . . . . 5
18277adantll 694 . . . . 5
183 mbflimsup.5 . . . . 5 MblFn
184181, 182, 183syl2anc 642 . . . 4 MblFn
185 simpll 730 . . . . 5
18677ad2ant2lr 728 . . . . 5
187 simprr 733 . . . . 5
188185, 186, 187, 20syl12anc 1180 . . . 4
18980ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
190 breq1 4042 . . . . . . . . 9
19181, 190ralrnmpt 5685 . . . . . . . 8
192189, 191syl 15 . . . . . . 7
193192rexbidv 2577 . . . . . 6
194142, 193mpbid 201 . . . . 5
195194an32s 779 . . . 4
196179, 180, 91, 184, 188, 195mbfsup 19035 . . 3 MblFn
197160an32s 779 . . . 4
198197anasss 628 . . 3
1992limsuple 11968 . . . . . . . 8
20012, 50, 51, 199syl3anc 1182 . . . . . . 7
20148, 200mpbid 201 . . . . . 6
202 ssralv 3250 . . . . . 6
20311, 201, 202mpsyl 59 . . . . 5
204169breq2d 4051 . . . . . 6
205204ralbidva 2572 . . . . 5
206203, 205mpbid 201 . . . 4
207 breq1 4042 . . . . . 6
208207ralbidv 2576 . . . . 5
209208rspcev 2897 . . . 4
21024, 206, 209syl2anc 642 . . 3
2113, 178, 13, 196, 198, 210mbfinf 19036 . 2 MblFn
212177, 211eqeltrd 2370 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  c0 3468   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706   cres 4707  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  csup 7209  cr 8752   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cz 10040  cuz 10246  cico 10674  clsp 11960  MblFncmbf 18985 This theorem is referenced by:  mbflimlem  19038 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991
 Copyright terms: Public domain W3C validator