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Theorem mbfmax 19020
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmax.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmax.3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
mbfmax.4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmax.5  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfmax  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
2 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( G : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  RR )
31, 2sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
4 mbfmax.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
5 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
64, 5sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7 ifcl 3614 . . . 4  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
83, 6, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
9 mbfmax.5 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
108, 9fmptd 5700 . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> RR )
114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F : A
--> RR )
12 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> RR  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
1311, 12sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1413rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
151adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G : A
--> RR )
16 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : A --> RR  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z
)  e.  RR )
1715, 16sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
1817rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR* )
19 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
20 xrmaxle 10528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
2114, 18, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
2221notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )
) )
23 ianor 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) )
2422, 23syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) ) )
25 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +oo  e.  RR*
26 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
) )
2719, 25, 26sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
) )
28 3anan12 947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <  +oo ) ) )
2927, 28syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
) ) )
30 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
31 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
3230, 31breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( F `  z )  <_  ( G `  z )
) )
3332, 31, 30ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  =  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )
34 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
35 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
3634, 35ifex 3636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e. 
_V
3733, 9, 36fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3938eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,)  +oo ) ) )
40 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
4117, 13, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
42 ltpnf 10479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
4441, 43jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
)
4544biantrud 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
) ) )
4629, 39, 453bitr4d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) ) )
4741rexrd 8897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )
48 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )  ->  ( y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_ 
y ) )
4919, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
5046, 49bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
51 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  <  +oo ) ) )
5219, 25, 51sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  <  +oo ) ) )
53 3anan12 947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  <  +oo ) ) )
5452, 53syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  <  +oo ) ) ) )
55 ltpnf 10479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  <  +oo )
5613, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  <  +oo )
5713, 56jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  <  +oo ) )
5857biantrud 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  <  +oo ) ) ) )
5954, 58bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  y  <  ( F `  z ) ) )
60 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( F `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
6119, 14, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
6259, 61bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
63 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  <  +oo ) ) )
6419, 25, 63sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  <  +oo ) ) )
65 3anan12 947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  <  +oo ) ) )
6664, 65syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  <  +oo ) ) ) )
67 ltpnf 10479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  ->  ( G `  z )  <  +oo )
6817, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  <  +oo )
6917, 68jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  <  +oo ) )
7069biantrud 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  <  +oo ) ) ) )
7166, 70bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  y  <  ( G `  z ) ) )
72 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
7319, 18, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
7471, 73bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
7562, 74orbi12d 690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y ) ) )
7624, 50, 753bitr4d 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo )  \/  ( G `  z )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
7776pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  \/  ( G `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) ) )
78 andi 837 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) ) ) )
7977, 78syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) )  \/  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) ) )
80 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A --> RR  ->  H  Fn  A )
8110, 80syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  A )
8281adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  H  Fn  A )
83 elpreima 5661 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
8482, 83syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
85 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
8611, 85syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F  Fn  A )
87 elpreima 5661 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
8886, 87syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
89 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
9015, 89syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G  Fn  A )
91 elpreima 5661 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
9290, 91syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
9388, 92orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) ) ) ) )
9479, 84, 933bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) ) ) )
95 elun 3329 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) ) )
9694, 95syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,)  +oo ) )  <->  z  e.  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) ) ) ) )
9796eqrdv 2294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) ) ) )
98 mbfmax.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
99 mbfima 19003 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
10098, 4, 99syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
101 mbfmax.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
102 mbfima 19003 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
103101, 1, 102syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
104 unmbl 18911 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
105100, 103, 104syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
106105adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10797, 106eqeltrd 2370 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
108 xrmaxlt 10526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
10914, 18, 19, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
110 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  e.  RR*
111 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
112110, 19, 111sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
113 df-3an 936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y )  <-> 
( ( if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) )
114112, 113syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
11538eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  (  -oo (,) y
) ) )
116 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  ->  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
11741, 116syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )
11841, 117jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) ) )
119118biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
120114, 115, 1193bitr4d 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < 
y ) )
121 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
122110, 19, 121sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
123 df-3an 936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) )
124122, 123syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
125 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  -oo  <  ( F `  z ) )
12613, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  ( F `  z ) )
12713, 126jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z ) ) )
128127biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  <  y  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
129124, 128bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( F `  z )  <  y
) )
130 elioo2 10713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
131110, 19, 130sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
132 df-3an 936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) )
133131, 132syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
134 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  ->  -oo  <  ( G `  z ) )
13517, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  ( G `  z ) )
13617, 135jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z ) ) )
137136biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  <  y  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
138133, 137bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( G `  z )  <  y
) )
139129, 138anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
140109, 120, 1393bitr4d 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) y
)  /\  ( G `  z )  e.  ( 
-oo (,) y ) ) ) )
141140pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) ) )
142 anandi 801 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y ) ) ) )
143141, 142syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) ) ) ) )
144 elpreima 5661 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
14582, 144syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
146 elpreima 5661 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
14786, 146syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
148 elpreima 5661 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
14990, 148syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
150147, 149anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G " (  -oo (,) y ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y ) ) ) ) )
151143, 145, 1503bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) ) ) )
152 elin 3371 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " (  -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) ) )
153151, 152syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
(  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G " (  -oo (,) y ) ) ) ) )
154153eqrdv 2294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " (  -oo (,) y ) )  =  ( ( `' F " (  -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " (  -oo (,) y ) ) ) )
155 mbfima 19003 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
15698, 4, 155syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
157 mbfima 19003 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
158101, 1, 157syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
159 inmbl 18915 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol  /\  ( `' G "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " (  -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
160156, 158, 159syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " (  -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " (  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
161160adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " (  -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
162154, 161eqeltrd 2370 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
16310, 107, 162ismbfd 19011 1  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    i^i cin 3164   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   volcvol 18839  MblFncmbf 18985
This theorem is referenced by:  mbfpos  19022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991
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