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Theorem mbfmax 19543
Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmax.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmax.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmax.3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
mbfmax.4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmax.5  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfmax  |-  ( ph  ->  H  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem mbfmax
Dummy variables  z 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmax.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
21ffvelrnda 5872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  e.  RR )
3 mbfmax.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43ffvelrnda 5872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
5 ifcl 3777 . . . 4  |-  ( ( ( G `  x
)  e.  RR  /\  ( F `  x )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
62, 4, 5syl2anc 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  e.  RR )
7 mbfmax.5 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  if ( ( F `
 x )  <_ 
( G `  x
) ,  ( G `
 x ) ,  ( F `  x
) ) )
86, 7fmptd 5895 . 2  |-  ( ph  ->  H : A --> RR )
93adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F : A
--> RR )
109ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
1110rexrd 9136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR* )
121adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G : A
--> RR )
1312ffvelrnda 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
1413rexrd 9136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR* )
15 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
16 xrmaxle 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y  <->  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `
 z )  <_ 
y ) ) )
1817notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )
) )
19 ianor 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( F `  z )  <_  y  /\  ( G `  z
)  <_  y )  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) )
2018, 19syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <_  y  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y
) ) )
21 pnfxr 10715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +oo  e.  RR*
22 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
) )
2315, 21, 22sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
) )
24 3anan12 950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  <  +oo ) ) )
2523, 24syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
) ) )
26 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
27 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
2826, 27breq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( F `  z )  <_  ( G `  z )
) )
2928, 27, 26ifbieq12d 3763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  if ( ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ,  ( G `  x ) ,  ( F `  x ) )  =  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )
30 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 z )  e. 
_V
31 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
3230, 31ifex 3799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e. 
_V
3329, 7, 32fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3433adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
3534eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  ( y (,)  +oo ) ) )
36 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
3713, 10, 36syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR )
38 ltpnf 10723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
4037, 39jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
)
4140biantrud 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  ( y  <  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  +oo )
) ) )
4225, 35, 413bitr4d 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) ) )
4337rexrd 9136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )
44 xrltnle 9146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR* )  ->  ( y  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_ 
y ) )
4515, 43, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
4642, 45bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  -.  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <_  y )
)
47 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  <  +oo ) ) )
4815, 21, 47sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( F `  z
)  /\  ( F `  z )  <  +oo ) ) )
49 3anan12 950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  <  +oo ) ) )
5048, 49syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  <  +oo ) ) ) )
51 ltpnf 10723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  <  +oo )
5210, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  <  +oo )
5310, 52jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  <  +oo ) )
5453biantrud 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  ( y  <  ( F `  z
)  /\  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  <  +oo ) ) ) )
55 xrltnle 9146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( F `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5615, 11, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( F `  z )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
5750, 54, 563bitr2d 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  -.  ( F `  z )  <_  y ) )
58 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  <  +oo ) ) )
5915, 21, 58sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  y  < 
( G `  z
)  /\  ( G `  z )  <  +oo ) ) )
60 3anan12 950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  y  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  <  +oo ) ) )
6159, 60syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  <  +oo ) ) ) )
62 ltpnf 10723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  ->  ( G `  z )  <  +oo )
6313, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  <  +oo )
6413, 63jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  <  +oo ) )
6564biantrud 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  ( y  <  ( G `  z
)  /\  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  ( G `
 z )  <  +oo ) ) ) )
66 xrltnle 9146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR* )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6715, 14, 66syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
y  <  ( G `  z )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6861, 65, 673bitr2d 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  -.  ( G `  z )  <_  y ) )
6957, 68orbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( -.  ( F `  z )  <_  y  \/  -.  ( G `  z )  <_  y ) ) )
7020, 46, 693bitr4d 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo )  \/  ( G `  z )  e.  ( y (,)  +oo )
) ) )
7170pm5.32da 624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  ( y (,)  +oo )  \/  ( G `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) ) )
72 andi 839 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo )  \/  ( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) ) ) )
7371, 72syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) )  \/  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) ) )
74 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A --> RR  ->  H  Fn  A )
758, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  Fn  A )
7675adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  H  Fn  A )
77 elpreima 5852 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
79 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
809, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  F  Fn  A )
81 elpreima 5852 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
83 ffn 5593 . . . . . . . . 9  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
8412, 83syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  G  Fn  A )
85 elpreima 5852 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
8684, 85syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
8782, 86orbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) )  \/  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( y (,) 
+oo ) ) ) ) )
8873, 78, 873bitr4d 278 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) ) ) )
89 elun 3490 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  \/  z  e.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) ) )
9088, 89syl6bbr 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
( y (,)  +oo ) )  <->  z  e.  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) ) ) ) )
9190eqrdv 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) ) ) )
92 mbfmax.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
93 mbfima 19526 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
9492, 3, 93syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
95 mbfmax.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
96 mbfima 19526 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " ( y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
9795, 1, 96syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
98 unmbl 19434 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' G " ( y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
9994, 97, 98syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G " ( y (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
10099adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " ( y (,)  +oo ) )  u.  ( `' G "
( y (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
10191, 100eqeltrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " ( y (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
102 xrmaxlt 10771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR*  /\  ( G `  z )  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
10311, 14, 15, 102syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
104 mnfxr 10716 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  e.  RR*
105 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
106104, 15, 105sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
107 df-3an 939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y )  <-> 
( ( if ( ( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) )
108106, 107syl6bb 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
10934eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  (  -oo (,) y
) ) )
110 mnflt 10724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  ->  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )
11137, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) ) )
11237, 111jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) ) )
113112biantrurd 496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( ( if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  e.  RR  /\  -oo 
<  if ( ( F `
 z )  <_ 
( G `  z
) ,  ( G `
 z ) ,  ( F `  z
) ) )  /\  if ( ( F `  z )  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  <  y ) ) )
114108, 109, 1133bitr4d 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  if (
( F `  z
)  <_  ( G `  z ) ,  ( G `  z ) ,  ( F `  z ) )  < 
y ) )
115 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
116104, 15, 115sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  -oo  <  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y
) ) )
117 df-3an 939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z )  /\  ( F `  z )  <  y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) )
118116, 117syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
119 mnflt 10724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  -oo  <  ( F `  z ) )
12010, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  ( F `  z ) )
12110, 120jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z ) ) )
122121biantrurd 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  <  y  <->  ( (
( F `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( F `  z ) )  /\  ( F `  z )  <  y ) ) )
123118, 122bitr4d 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( F `  z )  <  y
) )
124 elioo2 10959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
125104, 15, 124sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  -oo  <  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y
) ) )
126 df-3an 939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z )  /\  ( G `  z )  <  y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) )
127125, 126syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
128 mnflt 10724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  z )  e.  RR  ->  -oo  <  ( G `  z ) )
12913, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  -oo  <  ( G `  z ) )
13013, 129jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z ) ) )
131130biantrurd 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  <  y  <->  ( (
( G `  z
)  e.  RR  /\  -oo 
<  ( G `  z ) )  /\  ( G `  z )  <  y ) ) )
132127, 131bitr4d 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( G `  z )  <  y
) )
133123, 132anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( ( F `  z )  <  y  /\  ( G `
 z )  < 
y ) ) )
134103, 114, 1333bitr4d 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  <->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) y
)  /\  ( G `  z )  e.  ( 
-oo (,) y ) ) ) )
135134pm5.32da 624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( F `  z
)  e.  (  -oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) ) )
136 anandi 803 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) y )  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y ) ) ) )
137135, 136syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( (
z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) y ) )  /\  ( z  e.  A  /\  ( G `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) ) ) ) )
138 elpreima 5852 . . . . . . 7  |-  ( H  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' H " (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `  z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
13976, 138syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( H `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
140 elpreima 5852 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
14180, 140syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
142 elpreima 5852 . . . . . . . 8  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
14384, 142syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' G "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
144141, 143anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G " (  -oo (,) y ) ) )  <-> 
( ( z  e.  A  /\  ( F `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) )  /\  (
z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  (  -oo (,) y ) ) ) ) )
145137, 139, 1443bitr4d 278 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) ) ) )
146 elin 3532 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( `' F " (  -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) )  <->  ( z  e.  ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  /\  z  e.  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) ) )
147145, 146syl6bbr 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( `' H "
(  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G " (  -oo (,) y ) ) ) ) )
148147eqrdv 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " (  -oo (,) y ) )  =  ( ( `' F " (  -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " (  -oo (,) y ) ) ) )
149 mbfima 19526 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
15092, 3, 149syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
151 mbfima 19526 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. MblFn  /\  G : A
--> RR )  ->  ( `' G " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
15295, 1, 151syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' G "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
153 inmbl 19438 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol  /\  ( `' G "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " (  -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
154150, 152, 153syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' F " (  -oo (,) y
) )  i^i  ( `' G " (  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
155154adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( `' F " (  -oo (,) y ) )  i^i  ( `' G "
(  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
156148, 155eqeltrd 2512 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' H " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    i^i cin 3321   ifcif 3741   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   dom cdm 4880   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991    +oocpnf 9119    -oocmnf 9120   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   (,)cioo 10918   volcvol 19362  MblFncmbf 19508
This theorem is referenced by:  mbfpos  19545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514
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