MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmptcl Unicode version

Theorem mbfmptcl 19045
Description: Lemma for the MblFn predicate applied to a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfmptcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbfmptcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfmptcl
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 mbff 19035 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC )
4 mbfmptcl.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
54ralrimiva 2660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 dmmptg 5207 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
87feq2d 5417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) : dom  ( x  e.  A  |->  B ) --> CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC ) )
93, 8mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
10 eqid 2316 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1110fmpt 5719 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
129, 11sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
1312r19.21bi 2675 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    e. cmpt 4114   dom cdm 4726   -->wf 5288   CCcc 8780  MblFncmbf 19022
This theorem is referenced by:  mbfss  19054  mbfneg  19058  mbfmulc2  19071  mbflim  19076  itgcnlem  19197  itgcnval  19207  itgre  19208  itgim  19209  iblneg  19210  itgneg  19211  iblss  19212  iblss2  19213  ibladd  19228  iblsub  19229  itgadd  19232  itgsub  19233  itgfsum  19234  iblabs  19236  iblabsr  19237  iblmulc2  19238  itgmulc2  19241  itgabs  19242  itgsplit  19243  bddmulibl  19246  itgcn  19250  ditgswap  19262  ditgsplitlem  19263  ftc1a  19437  ibladdnc  25322  itgaddnc  25325  iblsubnc  25326  itgsubnc  25327  iblabsnc  25329  iblmulc2nc  25330  itgmulc2nc  25333  itgabsnc  25334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-pm 6818  df-mbf 19028
  Copyright terms: Public domain W3C validator