Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2 Structured version   Unicode version

Theorem mbfmulc2 19547
 Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1
mbfmulc2.2
mbfmulc2.3 MblFn
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2 MblFn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6 MblFn
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6
31, 2mbfdm2 19522 . . . . 5
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9
54recld 11991 . . . . . . . 8
65adantr 452 . . . . . . 7
76recnd 9106 . . . . . 6
81, 2mbfmptcl 19521 . . . . . . . 8
98recld 11991 . . . . . . 7
109recnd 9106 . . . . . 6
117, 10mulcld 9100 . . . . 5
12 ovex 6098 . . . . . 6
1312a1i 11 . . . . 5
14 fconstmpt 4913 . . . . . . 7
1514a1i 11 . . . . . 6
16 eqidd 2436 . . . . . 6
173, 6, 9, 15, 16offval2 6314 . . . . 5
184imcld 11992 . . . . . . . 8
1918renegcld 9456 . . . . . . 7
2019adantr 452 . . . . . 6
218imcld 11992 . . . . . 6
22 fconstmpt 4913 . . . . . . 7
2322a1i 11 . . . . . 6
24 eqidd 2436 . . . . . 6
253, 20, 21, 23, 24offval2 6314 . . . . 5
263, 11, 13, 17, 25offval2 6314 . . . 4
2718adantr 452 . . . . . . . . 9
2827recnd 9106 . . . . . . . 8
2921recnd 9106 . . . . . . . 8
3028, 29mulcld 9100 . . . . . . 7
3111, 30negsubd 9409 . . . . . 6
3228, 29mulneg1d 9478 . . . . . . 7
3332oveq2d 6089 . . . . . 6
344adantr 452 . . . . . . 7
3534, 8remuld 12015 . . . . . 6
3631, 33, 353eqtr4d 2477 . . . . 5
3736mpteq2dva 4287 . . . 4
3826, 37eqtrd 2467 . . 3
398ismbfcn2 19523 . . . . . . 7 MblFn MblFn MblFn
401, 39mpbid 202 . . . . . 6 MblFn MblFn
4140simpld 446 . . . . 5 MblFn
42 eqid 2435 . . . . . 6
4310, 42fmptd 5885 . . . . 5
4441, 5, 43mbfmulc2re 19532 . . . 4 MblFn
4540simprd 450 . . . . 5 MblFn
46 eqid 2435 . . . . . 6
4729, 46fmptd 5885 . . . . 5
4845, 19, 47mbfmulc2re 19532 . . . 4 MblFn
4944, 48mbfadd 19545 . . 3 MblFn
5038, 49eqeltrrd 2510 . 2 MblFn
51 ovex 6098 . . . . . 6
5251a1i 11 . . . . 5
53 ovex 6098 . . . . . 6
5453a1i 11 . . . . 5
553, 6, 21, 15, 24offval2 6314 . . . . 5
56 fconstmpt 4913 . . . . . . 7
5756a1i 11 . . . . . 6
583, 27, 9, 57, 16offval2 6314 . . . . 5
593, 52, 54, 55, 58offval2 6314 . . . 4
6034, 8immuld 12016 . . . . 5
6160mpteq2dva 4287 . . . 4
6259, 61eqtr4d 2470 . . 3
6345, 5, 47mbfmulc2re 19532 . . . 4 MblFn
6441, 18, 43mbfmulc2re 19532 . . . 4 MblFn
6563, 64mbfadd 19545 . . 3 MblFn
6662, 65eqeltrrd 2510 . 2 MblFn
6734, 8mulcld 9100 . . 3
6867ismbfcn2 19523 . 2 MblFn MblFn MblFn
6950, 66, 68mpbir2and 889 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  csn 3806   cmpt 4258   cxp 4868   cdm 4870  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cc 8980  cr 8981   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283  cneg 9284  cre 11894  cim 11895  cvol 19352  MblFncmbf 19498 This theorem is referenced by:  iblmulc2  19714 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504
 Copyright terms: Public domain W3C validator