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Theorem mbfmulc2 19416
Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mbfmulc2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
mbfmulc2.3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfmulc2
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
2 mbfmulc2.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
31, 2mbfdm2 19391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
4 mbfmulc2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
54recld 11920 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  C
)  e.  RR )
65adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
76recnd 9041 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  C )  e.  CC )
81, 2mbfmptcl 19390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
98recld 11920 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
109recnd 9041 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
117, 10mulcld 9035 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
12 ovex 6039 . . . . . 6  |-  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) )  e. 
_V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  _V )
14 fconstmpt 4855 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  C ) )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Re `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) ) )
16 eqidd 2382 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )
173, 6, 9, 15, 16offval2 6255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
184imcld 11921 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  C
)  e.  RR )
1918renegcld 9390 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  C )  e.  RR )
2019adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
Im `  C )  e.  RR )
218imcld 11921 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
22 fconstmpt 4855 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { -u (
Im `  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  -u ( Im `  C ) )
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { -u ( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u ( Im `  C ) ) )
24 eqidd 2382 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )
253, 20, 21, 23, 24offval2 6255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )
263, 11, 13, 17, 25offval2 6255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( -u (
Im `  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) ) )
2718adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
2827recnd 9041 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  C )  e.  CC )
2921recnd 9041 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
3028, 29mulcld 9035 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  CC )
3111, 30negsubd 9343 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  -u (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
3228, 29mulneg1d 9412 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  =  -u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) )
3332oveq2d 6030 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  C )  x.  ( Re `  B ) )  + 
-u ( ( Im
`  C )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
344adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3534, 8remuld 11944 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
3631, 33, 353eqtr4d 2423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( Re `  C )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( -u ( Im `  C )  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( Re `  ( C  x.  B
) ) )
3736mpteq2dva 4230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Re `  B
) )  +  (
-u ( Im `  C )  x.  (
Im `  B )
) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) ) )
3826, 37eqtrd 2413 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( C  x.  B ) ) ) )
398ismbfcn2 19392 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
401, 39mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
)
4140simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn )
42 eqid 2381 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )
4310, 42fmptd 5826 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) : A --> CC )
4441, 5, 43mbfmulc2re 19401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
4540simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e. MblFn )
46 eqid 2381 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )
4729, 46fmptd 5826 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) : A --> CC )
4845, 19, 47mbfmulc2re 19401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
4944, 48mbfadd 19414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { -u ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) ) )  e. MblFn )
5038, 49eqeltrrd 2456 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn )
51 ovex 6039 . . . . . 6  |-  ( ( Re `  C )  x.  ( Im `  B ) )  e. 
_V
5251a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  e.  _V )
53 ovex 6039 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) )  e. 
_V
5453a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) )  e.  _V )
553, 6, 21, 15, 24offval2 6255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) ) ) )
56 fconstmpt 4855 . . . . . . 7  |-  ( A  X.  { ( Im
`  C ) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  C ) )
5756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( Im `  C
) } )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) ) )
583, 27, 9, 57, 16offval2 6255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
593, 52, 54, 55, 58offval2 6255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  C )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) )
6034, 8immuld 11945 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( C  x.  B ) )  =  ( ( ( Re
`  C )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  C
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
6160mpteq2dva 4230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( Re `  C )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  C )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) )
6259, 61eqtr4d 2416 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( C  x.  B ) ) ) )
6345, 5, 47mbfmulc2re 19401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Re `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) ) )  e. MblFn )
6441, 18, 43mbfmulc2re 19401 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) )  e. MblFn )
6563, 64mbfadd 19414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  X.  { ( Re
`  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) ) )  o F  +  ( ( A  X.  { ( Im `  C ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) ) ) )  e. MblFn )
6662, 65eqeltrrd 2456 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn )
6734, 8mulcld 9035 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
6867ismbfcn2 19392 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( C  x.  B )
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( C  x.  B ) ) )  e. MblFn ) ) )
6950, 66, 68mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2893   {csn 3751    e. cmpt 4201    X. cxp 4810   dom cdm 4812   ` cfv 5388  (class class class)co 6014    o Fcof 6236   CCcc 8915   RRcr 8916    + caddc 8920    x. cmul 8922    - cmin 9217   -ucneg 9218   Recre 11823   Imcim 11824   volcvol 19221  MblFncmbf 19367
This theorem is referenced by:  iblmulc2  19583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-inf2 7523  ax-cc 8242  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-disj 4118  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-2o 6655  df-oadd 6658  df-omul 6659  df-er 6835  df-map 6950  df-pm 6951  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-sup 7375  df-oi 7406  df-card 7753  df-acn 7756  df-cda 7975  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-q 10501  df-rp 10539  df-xadd 10637  df-ioo 10846  df-ioc 10847  df-ico 10848  df-icc 10849  df-fz 10970  df-fzo 11060  df-fl 11123  df-seq 11245  df-exp 11304  df-hash 11540  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-sqr 11961  df-abs 11962  df-clim 12203  df-rlim 12204  df-sum 12401  df-xmet 16613  df-met 16614  df-ovol 19222  df-vol 19223  df-mbf 19373
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