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Theorem mbfmulc2lem 19002
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2lem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 0re 8838 . . 3  |-  0  e.  RR
3 lttri4 8906 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
41, 2, 3sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
5 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
65adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
7 fconst6g 5430 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  X.  { B }
) : A --> RR )
81, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> RR )
9 mbfmulc2lem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
10 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
12 mbfmulc2re.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
13 mbfdm 18983 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1511, 14eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
16 inidm 3378 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  A )  =  A
176, 8, 9, 15, 15, 16off 6093 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR )
1817adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR )
1915adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
20 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
2120rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
22 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
24 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR  /\  z  e.  A )  ->  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  RR )
2517, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  RR )
2625ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR )
2726biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
28 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> RR  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
299, 28sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
3029ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
3130biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
32 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  z  e.  A )
3315ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  A  e.  dom  vol )
341ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
359ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F : A
--> RR )
36 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F  Fn  A )
38 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
3933, 34, 37, 38ofc1 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
4032, 39mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
4140breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
4220renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u y  e.  RR )
4334renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u B  e.  RR )
44 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  <  0 )
4534lt0neg1d 9342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  <  0  <->  0  <  -u B
) )
4644, 45mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  -u B )
47 ltmuldiv2 9627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -u y  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u B  x.  ( F `  z )
)  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4830, 42, 43, 46, 47syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4934recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  CC )
5030recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
5149, 50mulneg1d 9232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u B  x.  ( F `  z
) )  =  -u ( B  x.  ( F `  z )
) )
5251breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y ) )
5340, 26eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  x.  ( F `  z
) )  e.  RR )
5420, 53ltnegd 9350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( B  x.  ( F `  z )
)  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y
) )
5552, 54bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5648, 55bitr3d 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5720recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  CC )
5834, 44ltned 8955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  =/=  0 )
5957, 49, 58div2negd 9551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  /  -u B )  =  ( y  /  B
) )
6059breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
6141, 56, 603bitr2d 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
6220, 34, 58redivcld 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
6362rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
64 elioomnf 10738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6631, 61, 653bitr4d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
6723, 27, 663bitr2d 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6867anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6968pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
70 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
7117, 70syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
7271ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
73 elpreima 5645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
7472, 73syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
759, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
7675ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
77 elpreima 5645 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7969, 74, 783bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
8079eqrdv 2281 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
81 mbfima 18987 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8212, 9, 81syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) ( y  /  B ) ) )  e.  dom  vol )
8382ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8480, 83eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
85 elioomnf 10738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8621, 85syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8726biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8830biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
8940breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
9051breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  <  ( -u B  x.  ( F `  z ) )  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
9159breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
92 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9342, 30, 43, 46, 92syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9491, 93bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9553, 20ltnegd 9350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
9690, 94, 953bitr4d 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( B  x.  ( F `  z
) )  <  y
) )
9789, 96bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
98 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
9963, 98syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
10088, 97, 993bitr4d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
10186, 87, 1003bitr2d 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
102101anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
103102pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
104 elpreima 5645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  ( 
-oo (,) y ) ) ) )
10572, 104syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
106 elpreima 5645 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
10776, 106syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
108103, 105, 1073bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
109108eqrdv 2281 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
110 mbfima 18987 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
11112, 9, 110syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
112111ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
113109, 112eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
11418, 19, 84, 113ismbf2d 18996 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn
)
11515adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  A  e.  dom  vol )
1169adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  F : A --> RR )
117 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  =  0 )
118 0cn 8831 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
119117, 118syl6eqel 2371 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
120118a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
121 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  B  =  0 )
122121oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  ( 0  x.  x ) )
123 mul02lem2 8989 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
124123adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  x.  x
)  =  0 )
125122, 124eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  0 )
126115, 116, 119, 120, 125caofid2 6108 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  =  ( A  X.  {
0 } ) )
127 mbfconst 18990 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
128115, 118, 127sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
129126, 128eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn
)
13017adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) : A --> RR )
13115adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  A  e.  dom  vol )
132 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
133132rexrd 8881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
134133, 22syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
13525ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR )
136135biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
13729ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
138137biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
139 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
14015, 1, 75, 139ofc1 6100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
141140ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
142141breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
1431ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
144 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  B )
145 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
146132, 137, 143, 144, 145syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
147142, 146bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
148143, 144elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR+ )
149132, 148rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
150149rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
151150, 98syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
152138, 147, 1513bitr4d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
153134, 136, 1523bitr2d 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
154153anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
155154pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
15671ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
157156, 73syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
15875ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
159158, 106syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
160155, 157, 1593bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
161160eqrdv 2281 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
162111ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
163161, 162eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
164133, 85syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
165135biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
166 ltmuldiv2 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
167137, 132, 143, 144, 166syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
168141breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
169150, 64syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
170137biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
171169, 170bitr4d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
172167, 168, 1713bitr4d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
173164, 165, 1723bitr2d 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
174173anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
175174pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
176156, 104syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
177158, 77syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
178175, 176, 1773bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
179178eqrdv 2281 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
18082ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
181179, 180eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
182130, 131, 163, 181ismbf2d 18996 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F )  e. MblFn )
183114, 129, 1823jaodan 1248 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
1844, 183mpdan 649 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867   -ucneg 9038    / cdiv 9423   (,)cioo 10656   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  19003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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