MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2lem Structured version   Unicode version

Theorem mbfmulc2lem 19531
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2lem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 0re 9083 . . 3  |-  0  e.  RR
3 lttri4 9151 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
41, 2, 3sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
5 remulcl 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
7 fconst6g 5624 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  X.  { B }
) : A --> RR )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> RR )
9 mbfmulc2lem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
10 fdm 5587 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
12 mbfmulc2re.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
13 mbfdm 19512 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1511, 14eqeltrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
16 inidm 3542 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  A )  =  A
176, 8, 9, 15, 15, 16off 6312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR )
1915adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
20 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
2120rexrd 9126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
22 elioopnf 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
2417ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  RR )
2524ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR )
2625biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
279ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2827ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2928biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
30 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  z  e.  A )
3115ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  A  e.  dom  vol )
321ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
339ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F : A
--> RR )
34 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F  Fn  A )
36 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
3731, 32, 35, 36ofc1 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
3830, 37mpdan 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
3938breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
4020renegcld 9456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u y  e.  RR )
4132renegcld 9456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u B  e.  RR )
42 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  <  0 )
4332lt0neg1d 9588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  <  0  <->  0  <  -u B
) )
4442, 43mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  -u B )
45 ltmuldiv2 9873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -u y  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u B  x.  ( F `  z )
)  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4628, 40, 41, 44, 45syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4732recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  CC )
4828recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
4947, 48mulneg1d 9478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u B  x.  ( F `  z
) )  =  -u ( B  x.  ( F `  z )
) )
5049breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y ) )
5138, 25eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  x.  ( F `  z
) )  e.  RR )
5220, 51ltnegd 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( B  x.  ( F `  z )
)  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y
) )
5350, 52bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5446, 53bitr3d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5520recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  CC )
5642lt0ne0d 9584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  =/=  0 )
5755, 47, 56div2negd 9797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  /  -u B )  =  ( y  /  B
) )
5857breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
5939, 54, 583bitr2d 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
6020, 32, 56redivcld 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
6160rexrd 9126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
62 elioomnf 10991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6429, 59, 633bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
6523, 26, 643bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6665anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6766pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
68 ffn 5583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
6917, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
7069ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
71 elpreima 5842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
739, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
7473ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
75 elpreima 5842 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7767, 72, 763bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
7877eqrdv 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
79 mbfima 19516 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8012, 9, 79syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) ( y  /  B ) ) )  e.  dom  vol )
8180ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8278, 81eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
83 elioomnf 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8421, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8525biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8628biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
8738breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
8849breq2d 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  <  ( -u B  x.  ( F `  z ) )  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
8957breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
90 ltdivmul 9874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9140, 28, 41, 44, 90syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9289, 91bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9351, 20ltnegd 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
9488, 92, 933bitr4d 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( B  x.  ( F `  z
) )  <  y
) )
9587, 94bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
96 elioopnf 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
9761, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
9886, 95, 973bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
9984, 85, 983bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
10099anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
101100pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
102 elpreima 5842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  ( 
-oo (,) y ) ) ) )
10370, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
104 elpreima 5842 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
10574, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
106101, 103, 1053bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
107106eqrdv 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
108 mbfima 19516 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
10912, 9, 108syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
110109ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
111107, 110eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
11218, 19, 82, 111ismbf2d 19525 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn
)
11315adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  A  e.  dom  vol )
1149adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  F : A --> RR )
115 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  =  0 )
116 0cn 9076 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
117115, 116syl6eqel 2523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
118116a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
119 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  B  =  0 )
120119oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  ( 0  x.  x ) )
121 mul02lem2 9235 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
122121adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  x.  x
)  =  0 )
123120, 122eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  0 )
124113, 114, 117, 118, 123caofid2 6327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  =  ( A  X.  {
0 } ) )
125 mbfconst 19519 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
126113, 116, 125sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
127124, 126eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn
)
12817adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) : A --> RR )
12915adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  A  e.  dom  vol )
130 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
131130rexrd 9126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
132131, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
13324ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR )
134133biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
13527ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
136135biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
137 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
13815, 1, 73, 137ofc1 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
139138ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
140139breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
1411ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
142 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  B )
143 ltdivmul 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
144130, 135, 141, 142, 143syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
145140, 144bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
146141, 142elrpd 10638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR+ )
147130, 146rerpdivcld 10667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
148147rexrd 9126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
149148, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
150136, 145, 1493bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
151132, 134, 1503bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
152151anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
153152pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
15469ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
155154, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
15673ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
157156, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
158153, 155, 1573bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
159158eqrdv 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
160109ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
161159, 160eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
162131, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
163133biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
164 ltmuldiv2 9873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
165135, 130, 141, 142, 164syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
166139breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
167148, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
168135biantrurd 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
169167, 168bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
170165, 166, 1693bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
171162, 163, 1703bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
172171anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
173172pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
174154, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
175156, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
176173, 174, 1753bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
177176eqrdv 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
17880ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
179177, 178eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
180128, 129, 161, 179ismbf2d 19525 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F )  e. MblFn )
181112, 127, 1803jaodan 1250 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
1824, 181mpdan 650 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3806   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    +oocpnf 9109    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112   -ucneg 9284    / cdiv 9669   (,)cioo 10908   volcvol 19352  MblFncmbf 19498
This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  19532
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504
  Copyright terms: Public domain W3C validator