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Theorem mbfmulc2lem 19399
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2lem.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2 0re 9017 . . 3  |-  0  e.  RR
3 lttri4 9085 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
41, 2, 3sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  <  B ) )
5 remulcl 9001 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
7 fconst6g 5565 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  X.  { B }
) : A --> RR )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } ) : A --> RR )
9 mbfmulc2lem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
10 fdm 5528 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
12 mbfmulc2re.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
13 mbfdm 19380 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
1511, 14eqeltrrd 2455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
16 inidm 3486 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  A )  =  A
176, 8, 9, 15, 15, 16off 6252 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR )
1915adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
20 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
2120rexrd 9060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
22 elioopnf 10923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
2417ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  RR )
2524ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR )
2625biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
279ffvelrnda 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2827ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
2928biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
30 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  z  e.  A )
3115ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  A  e.  dom  vol )
321ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
339ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F : A
--> RR )
34 ffn 5524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  F  Fn  A )
36 eqidd 2381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
3731, 32, 35, 36ofc1 6259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  A ) )  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
3830, 37mpdan 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
3938breq2d 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
4020renegcld 9389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u y  e.  RR )
4132renegcld 9389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  -u B  e.  RR )
42 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  <  0 )
4332lt0neg1d 9521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  <  0  <->  0  <  -u B
) )
4442, 43mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  -u B )
45 ltmuldiv2 9806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  -u y  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u B  x.  ( F `  z )
)  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4628, 40, 41, 44, 45syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B
) ) )
4732recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  CC )
4828recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  CC )
4947, 48mulneg1d 9411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u B  x.  ( F `  z
) )  =  -u ( B  x.  ( F `  z )
) )
5049breq1d 4156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y ) )
5138, 25eqeltrrd 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( B  x.  ( F `  z
) )  e.  RR )
5220, 51ltnegd 9529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( B  x.  ( F `  z )
)  <->  -u ( B  x.  ( F `  z ) )  <  -u y
) )
5350, 52bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u B  x.  ( F `
 z ) )  <  -u y  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5446, 53bitr3d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
5520recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  CC )
5642lt0ne0d 9517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  =/=  0 )
5755, 47, 56div2negd 9730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  /  -u B )  =  ( y  /  B
) )
5857breq2d 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( -u y  /  -u B )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
5939, 54, 583bitr2d 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
6020, 32, 56redivcld 9767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
6160rexrd 9060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
62 elioomnf 10924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
6429, 59, 633bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
6523, 26, 643bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6665anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) )
6766pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
68 ffn 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) : A --> RR  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
6917, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
7069ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
71 elpreima 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) "
( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
739, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
7473ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
75 elpreima 5782 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
7767, 72, 763bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
7877eqrdv 2378 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) )
79 mbfima 19384 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8012, 9, 79syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
(  -oo (,) ( y  /  B ) ) )  e.  dom  vol )
8180ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
8278, 81eqeltrd 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
83 elioomnf 10924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR*  ->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8421, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8525biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
8628biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
8738breq1d 4156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
8849breq2d 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( -u y  <  ( -u B  x.  ( F `  z ) )  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
8957breq1d 4156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
90 ltdivmul 9807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  ( F `  z
)  e.  RR  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <  -u B
) )  ->  (
( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9140, 28, 41, 44, 90syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( -u y  /  -u B
)  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9289, 91bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  -u y  < 
( -u B  x.  ( F `  z )
) ) )
9351, 20ltnegd 9529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  -u y  <  -u ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
9488, 92, 933bitr4d 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( B  x.  ( F `  z
) )  <  y
) )
9587, 94bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
96 elioopnf 10923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  B )  e.  RR*  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
9761, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
9886, 95, 973bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
9984, 85, 983bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
10099anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
101100pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
102 elpreima 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A  ->  ( z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) "
(  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  ( 
-oo (,) y ) ) ) )
10370, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
104 elpreima 5782 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
10574, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
106101, 103, 1053bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
107106eqrdv 2378 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
108 mbfima 19384 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
10912, 9, 108syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
110109ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
111107, 110eqeltrd 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  <  0 )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
11218, 19, 82, 111ismbf2d 19393 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  <  0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn
)
11315adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  A  e.  dom  vol )
1149adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  F : A --> RR )
115 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  =  0 )
116 0cn 9010 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
117115, 116syl6eqel 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  B  e.  CC )
118116a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  0  e.  CC )
119 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  B  =  0 )
120119oveq1d 6028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  ( 0  x.  x ) )
121 mul02lem2 9168 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  x.  x )  =  0 )
122121adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  x.  x
)  =  0 )
123120, 122eqtrd 2412 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  0 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B  x.  x
)  =  0 )
124113, 114, 117, 118, 123caofid2 6267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  =  ( A  X.  {
0 } ) )
125 mbfconst 19387 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
126113, 116, 125sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
127124, 126eqeltrd 2454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  = 
0 )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn
)
12817adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) : A --> RR )
12915adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  A  e.  dom  vol )
130 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR )
131130rexrd 9060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  y  e.  RR* )
132131, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
13324ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR )
134133biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  y  <  ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z ) ) ) )
13527ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( F `  z )  e.  RR )
136135biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B )  < 
( F `  z
) ) ) )
137 eqidd 2381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
13815, 1, 73, 137ofc1 6259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  =  ( B  x.  ( F `  z )
) )
139138ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  =  ( B  x.  ( F `
 z ) ) )
140139breq2d 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
1411ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR )
142 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  0  <  B )
143 ltdivmul 9807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `  z ) ) ) )
144130, 135, 141, 142, 143syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
y  /  B )  <  ( F `  z )  <->  y  <  ( B  x.  ( F `
 z ) ) ) )
145140, 144bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( y  /  B )  <  ( F `  z )
) )
146141, 142elrpd 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  B  e.  RR+ )
147130, 146rerpdivcld 10600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR )
148147rexrd 9060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  /  B )  e.  RR* )
149148, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) 
<->  ( ( F `  z )  e.  RR  /\  ( y  /  B
)  <  ( F `  z ) ) ) )
150136, 145, 1493bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y  <  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <->  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B
) (,)  +oo ) ) )
151132, 134, 1503bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
152151anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) 
<->  ( F `  z
)  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
153152pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  ( y (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
15469ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  Fn  A )
155154, 71syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  ( y (,)  +oo ) ) ) )
15673ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  A )
157156, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
158153, 155, 1573bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" ( y (,) 
+oo ) )  <->  z  e.  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) ) )
159158eqrdv 2378 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) ) )
160109ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( ( y  /  B ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
161159, 160eqeltrd 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (
y (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
162131, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
163133biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( ( ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `  z )  e.  RR  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  <  y )
) )
164 ltmuldiv2 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
165135, 130, 141, 142, 164syl112anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( B  x.  ( F `  z ) )  < 
y  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
166139breq1d 4156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( B  x.  ( F `  z ) )  <  y ) )
167148, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
168135biantrurd 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  <  ( y  /  B
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  < 
( y  /  B
) ) ) )
169167, 168bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) )  <->  ( F `  z )  <  (
y  /  B ) ) )
170165, 166, 1693bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  < 
y  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
171162, 163, 1703bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
172171anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
)  <->  ( F `  z )  e.  ( 
-oo (,) ( y  /  B ) ) ) )
173172pm5.32da 623 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  e.  A  /\  ( ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) `  z
)  e.  (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
174154, 102syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )
" (  -oo (,) y ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F ) `
 z )  e.  (  -oo (,) y
) ) ) )
175156, 75syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  (  -oo (,) (
y  /  B ) ) ) ) )
176173, 174, 1753bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  (
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" (  -oo (,) y ) )  <->  z  e.  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) ) ) )
177176eqrdv 2378 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
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y  /  B ) ) ) )
17880ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) ( y  /  B
) ) )  e. 
dom  vol )
179177, 178eqeltrd 2454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  B )  /\  y  e.  RR )  ->  ( `' ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F ) " (  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
180128, 129, 161, 179ismbf2d 19393 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  B )  ->  ( ( A  X.  { B }
)  o F  x.  F )  e. MblFn )
181112, 127, 1803jaodan 1250 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( B  <  0  \/  B  =  0  \/  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
1824, 181mpdan 650 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3750   class class class wbr 4146    X. cxp 4809   `'ccnv 4810   dom cdm 4811   "cima 4814    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916    x. cmul 8921    +oocpnf 9043    -oocmnf 9044   RR*cxr 9045    < clt 9046   -ucneg 9217    / cdiv 9602   (,)cioo 10841   volcvol 19220  MblFncmbf 19366
This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  19400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xadd 10636  df-ioo 10845  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400  df-xmet 16612  df-met 16613  df-ovol 19221  df-vol 19222  df-mbf 19372
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