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Theorem mbfmulc2re 19003
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2re.3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 fdm 5393 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
4 mbfmulc2re.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
5 dmexg 4939 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  _V )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  _V )
73, 6eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8 mbfmulc2re.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
10 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  CC )
111, 10sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
12 fconstmpt 4732 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
141feqmptd 5575 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
157, 9, 11, 13, 14offval2 6095 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )
169, 11remul2d 11712 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( B  x.  (
Re `  ( F `  x ) ) ) )
1716mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
1811recld 11679 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
19 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) ) )
207, 9, 18, 13, 19offval2 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
2117, 20eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
2214, 4eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
2311ismbfcn2 18994 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  e. MblFn ) ) )
2422, 23mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  e. MblFn ) )
2524simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
26 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )
2718, 26fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) ) : A --> RR )
2825, 8, 27mbfmulc2lem 19002 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
2921, 28eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
309, 11immul2d 11713 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( B  x.  (
Im `  ( F `  x ) ) ) )
3130mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3211imcld 11680 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
33 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) ) )
347, 9, 32, 13, 33offval2 6095 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3531, 34eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3624simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
37 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )
3832, 37fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) ) : A --> RR )
3936, 8, 38mbfmulc2lem 19002 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
4035, 39eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
418recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4241adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4342, 11mulcld 8855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  ( F `  x ) )  e.  CC )
4443ismbfcn2 18994 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn ) ) )
4529, 40, 44mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
4615, 45eqeltrd 2357 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736    x. cmul 8742   Recre 11582   Imcim 11583  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfneg  19005  mbfmulc2  19018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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