Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2re Structured version   Unicode version

Theorem mbfmulc2re 19542
 Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1 MblFn
mbfmulc2re.2
mbfmulc2re.3
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re MblFn

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5
2 fdm 5597 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 mbfmulc2re.1 . . . . 5 MblFn
5 dmexg 5132 . . . . 5 MblFn
64, 5syl 16 . . . 4
73, 6eqeltrrd 2513 . . 3
8 mbfmulc2re.2 . . . 4
101ffvelrnda 5872 . . 3
11 fconstmpt 4923 . . . 4
1211a1i 11 . . 3
131feqmptd 5781 . . 3
147, 9, 10, 12, 13offval2 6324 . 2
159, 10remul2d 12034 . . . . . 6
1615mpteq2dva 4297 . . . . 5
1710recld 12001 . . . . . 6
18 eqidd 2439 . . . . . 6
197, 9, 17, 12, 18offval2 6324 . . . . 5
2016, 19eqtr4d 2473 . . . 4
2113, 4eqeltrrd 2513 . . . . . . 7 MblFn
2210ismbfcn2 19533 . . . . . . 7 MblFn MblFn MblFn
2321, 22mpbid 203 . . . . . 6 MblFn MblFn
2423simpld 447 . . . . 5 MblFn
25 eqid 2438 . . . . . 6
2617, 25fmptd 5895 . . . . 5
2724, 8, 26mbfmulc2lem 19541 . . . 4 MblFn
2820, 27eqeltrd 2512 . . 3 MblFn
299, 10immul2d 12035 . . . . . 6
3029mpteq2dva 4297 . . . . 5
3110imcld 12002 . . . . . 6
32 eqidd 2439 . . . . . 6
337, 9, 31, 12, 32offval2 6324 . . . . 5
3430, 33eqtr4d 2473 . . . 4
3523simprd 451 . . . . 5 MblFn
36 eqid 2438 . . . . . 6
3731, 36fmptd 5895 . . . . 5
3835, 8, 37mbfmulc2lem 19541 . . . 4 MblFn
3934, 38eqeltrd 2512 . . 3 MblFn
408recnd 9116 . . . . . 6
4140adantr 453 . . . . 5
4241, 10mulcld 9110 . . . 4
4342ismbfcn2 19533 . . 3 MblFn MblFn MblFn
4428, 39, 43mpbir2and 890 . 2 MblFn
4514, 44eqeltrd 2512 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  csn 3816   cmpt 4268   cxp 4878   cdm 4880  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cof 6305  cc 8990  cr 8991   cmul 8997  cre 11904  cim 11905  MblFncmbf 19508 This theorem is referenced by:  mbfneg  19544  mbfmulc2  19557  itgmulc2nclem2  26274  itgmulc2nc  26275  itgabsnc  26276 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514
 Copyright terms: Public domain W3C validator