MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2re Structured version   Unicode version

Theorem mbfmulc2re 19542
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmulc2re.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
mbfmulc2re.3  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2re  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfmulc2re
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmulc2re.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
2 fdm 5597 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
4 mbfmulc2re.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
5 dmexg 5132 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  _V )
73, 6eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
8 mbfmulc2re.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
98adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
101ffvelrnda 5872 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
11 fconstmpt 4923 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { B } )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
131feqmptd 5781 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 x ) ) )
147, 9, 10, 12, 13offval2 6324 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )
159, 10remul2d 12034 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( B  x.  (
Re `  ( F `  x ) ) ) )
1615mpteq2dva 4297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
1710recld 12001 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
18 eqidd 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) ) )
197, 9, 17, 12, 18offval2 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
2016, 19eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) ) )
2113, 4eqeltrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
2210ismbfcn2 19533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  e. MblFn ) ) )
2321, 22mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  e. MblFn ) )
2423simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
25 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )
2617, 25fmptd 5895 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( F `  x )
) ) : A --> RR )
2724, 8, 26mbfmulc2lem 19541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
2820, 27eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
299, 10immul2d 12035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( B  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( B  x.  (
Im `  ( F `  x ) ) ) )
3029mpteq2dva 4297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3110imcld 12002 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
32 eqidd 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) ) )
337, 9, 31, 12, 32offval2 6324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3430, 33eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  =  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) ) )
3523simprd 451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
36 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )
3731, 36fmptd 5895 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( F `  x )
) ) : A --> RR )
3835, 8, 37mbfmulc2lem 19541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
3934, 38eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn )
408recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4140adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4241, 10mulcld 9110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  ( F `  x ) )  e.  CC )
4342ismbfcn2 19533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  ( B  x.  ( F `  x ) ) ) )  e. MblFn ) ) )
4428, 39, 43mpbir2and 890 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  ( F `  x )
) )  e. MblFn )
4514, 44eqeltrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { B } )  o F  x.  F )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   dom cdm 4880   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   CCcc 8990   RRcr 8991    x. cmul 8997   Recre 11904   Imcim 11905  MblFncmbf 19508
This theorem is referenced by:  mbfneg  19544  mbfmulc2  19557  itgmulc2nclem2  26274  itgmulc2nc  26275  itgabsnc  26276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xadd 10713  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-xmet 16697  df-met 16698  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514
  Copyright terms: Public domain W3C validator