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Theorem mbfmullem 19619
Description: Lemma for mbfmul 19620. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmul.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmul.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmul.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfmullem  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfmullem
Dummy variables  f 
g  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbfmul.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
31, 2mbfi1flim 19617 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
4 mbfmul.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
5 mbfmul.4 . . 3  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
64, 5mbfi1flim 19617 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
7 eeanv 1938 . . 3  |-  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  <-> 
( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) ) )
81adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
94adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  G  e. MblFn )
102adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  F : A
--> RR )
115adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  G : A
--> RR )
12 simprll 740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  f : NN
--> dom  S.1 )
13 simprlr 741 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )
14 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  n
) `  y )  =  ( ( f `
 n ) `  x ) )
1514mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  y )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) ) )
16 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
f `  n )  =  ( f `  m ) )
1716fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( f `  n
) `  x )  =  ( ( f `
 m ) `  x ) )
1817cbvmptv 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `
 m ) `  x ) )
1915, 18syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  y )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `  m ) `
 x ) ) )
20 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
2119, 20breq12d 4227 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y )  <->  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `
 m ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
2221rspccva 3053 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y )  /\  x  e.  A )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( f `  m ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
2313, 22sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( f `  m
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )
24 simprrl 742 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  g : NN
--> dom  S.1 )
25 simprrr 743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) )
26 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( g `  n
) `  y )  =  ( ( g `
 n ) `  x ) )
2726mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `
 x ) ) )
28 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
2928fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
) `  x )  =  ( ( g `
 m ) `  x ) )
3029cbvmptv 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m ) `  x ) )
3127, 30syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) `
 x ) ) )
32 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( G `  y )  =  ( G `  x ) )
3331, 32breq12d 4227 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y )  <->  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )
3433rspccva 3053 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y )  /\  x  e.  A )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
3525, 34sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) )
368, 9, 10, 11, 12, 23, 24, 35mbfmullem2 19618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G
)  e. MblFn )
3736ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn ) )
3837exlimdvv 1648 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  y )
)  ~~>  ( G `  y ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn ) )
397, 38syl5bir 211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. y  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )  ->  ( F  o F  x.  G
)  e. MblFn ) )
403, 6, 39mp2and 662 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305   RRcr 8991    x. cmul 8997   NNcn 10002    ~~> cli 12280  MblFncmbf 19508   S.1citg1 19509
This theorem is referenced by:  mbfmul  19620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cc 8317  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cmp 17452  df-ovol 19363  df-vol 19364  df-mbf 19514  df-itg1 19515  df-0p 19564
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