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Theorem mbfmullem2 19079
Description: Lemma for mbfmul 19081. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmul.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
mbfmul.3  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
mbfmul.4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
mbfmul.5  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
mbfmul.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )
mbfmul.7  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
mbfmul.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)
Distinct variable groups:    x, n, A    P, n, x    ph, n, x    Q, n, x    n, F, x    n, G, x

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 ffn 5389 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  F  Fn  A )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4 mbfmul.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
5 ffn 5389 . . . 4  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
7 fdm 5393 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR  ->  dom 
F  =  A )
81, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
9 mbfmul.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
10 mbfdm 18983 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
128, 11eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
13 inidm 3378 . . 3  |-  ( A  i^i  A )  =  A
14 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
15 eqidd 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
163, 6, 12, 12, 13, 14, 15offval 6085 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )
17 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
18 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
1918a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
2018a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  1  e.  ZZ )
21 mbfmul.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )
22 nnex 9752 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
2322mptex 5746 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P `  n
) `  x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) ) )  e. 
_V
2423a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( P `  n ) `  x
)  x.  ( ( Q `  n ) `
 x ) ) )  e.  _V )
25 mbfmul.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) )
26 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
27 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( P `  n )  e.  dom  S.1 )
2826, 27sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( P `
 n )  e. 
dom  S.1 )
29 i1ff 19031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  n ) : RR --> RR )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( P `
 n ) : RR --> RR )
3130adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( P `  n ) : RR --> RR )
32 mblss 18890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3312, 32syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3433sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
3534adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  n
) : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( P `  n ) `  x
)  e.  RR )
3731, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( P `  n
) `  x )  e.  RR )
3837recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( P `  n
) `  x )  e.  CC )
39 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  x ) )
4038, 39fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
41 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) `
 k )  e.  CC )
4240, 41sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
43 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
44 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q : NN --> dom  S.1  /\  n  e.  NN )  ->  ( Q `  n )  e.  dom  S.1 )
4543, 44sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( Q `
 n )  e. 
dom  S.1 )
46 i1ff 19031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  n )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  n ) : RR --> RR )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( Q `
 n ) : RR --> RR )
4847adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( Q `  n ) : RR --> RR )
49 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  n
) : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( Q `  n ) `  x
)  e.  RR )
5048, 35, 49syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( Q `  n
) `  x )  e.  RR )
5150recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( Q `  n
) `  x )  e.  CC )
52 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  x ) )
5351, 52fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
) : NN --> CC )
54 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 x ) ) `
 k )  e.  CC )
5553, 54sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) ) `  k
)  e.  CC )
56 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
5756fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 k ) `  x ) )
58 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( Q `  n )  =  ( Q `  k ) )
5958fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
( Q `  n
) `  x )  =  ( ( Q `
 k ) `  x ) )
6057, 59oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( P `  n ) `  x
)  x.  ( ( Q `  n ) `
 x ) )  =  ( ( ( P `  k ) `
 x )  x.  ( ( Q `  k ) `  x
) ) )
61 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P `  n
) `  x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P `
 n ) `  x )  x.  (
( Q `  n
) `  x )
) )
62 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  k
) `  x )  x.  ( ( Q `  k ) `  x
) )  e.  _V
6360, 61, 62fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P `
 n ) `  x )  x.  (
( Q `  n
) `  x )
) ) `  k
)  =  ( ( ( P `  k
) `  x )  x.  ( ( Q `  k ) `  x
) ) )
6463adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P `
 n ) `  x )  x.  (
( Q `  n
) `  x )
) ) `  k
)  =  ( ( ( P `  k
) `  x )  x.  ( ( Q `  k ) `  x
) ) )
65 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  k ) `
 x )  e. 
_V
6657, 39, 65fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 x ) )
67 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  k ) `
 x )  e. 
_V
6859, 52, 67fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) ) `  k
)  =  ( ( Q `  k ) `
 x ) )
6966, 68oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  x ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) ) `  k
) )  =  ( ( ( P `  k ) `  x
)  x.  ( ( Q `  k ) `
 x ) ) )
7069adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  x ) ) `  k )  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) ) `  k
) )  =  ( ( ( P `  k ) `  x
)  x.  ( ( Q `  k ) `
 x ) ) )
7164, 70eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P `
 n ) `  x )  x.  (
( Q `  n
) `  x )
) ) `  k
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) `  k
)  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
) `  k )
) )
7217, 20, 21, 24, 25, 42, 55, 71climmul 12106 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( P `  n ) `  x
)  x.  ( ( Q `  n ) `
 x ) ) )  ~~>  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )
7333adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
74 resmpt 5000 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( ( ( P `  n ) `  x
)  x.  ( ( Q `  n ) `
 x ) ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( P `  n ) `
 x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) ) ) )
7573, 74syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( ( ( P `  n ) `  x
)  x.  ( ( Q `  n ) `
 x ) ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( ( P `  n ) `
 x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) ) ) )
76 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  n ) : RR --> RR  ->  ( P `  n )  Fn  RR )
7730, 76syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( P `
 n )  Fn  RR )
78 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  n ) : RR --> RR  ->  ( Q `  n )  Fn  RR )
7947, 78syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( Q `
 n )  Fn  RR )
80 reex 8828 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
8180a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
82 inidm 3378 . . . . . . 7  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
83 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  x ) )
84 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( Q `  n
) `  x )  =  ( ( Q `
 n ) `  x ) )
8577, 79, 81, 81, 82, 83, 84offval 6085 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( P `  n )  o F  x.  ( Q `  n )
)  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( ( P `  n
) `  x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) ) ) )
8628, 45i1fmul 19051 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( P `  n )  o F  x.  ( Q `  n )
)  e.  dom  S.1 )
87 i1fmbf 19030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  n
)  o F  x.  ( Q `  n ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  n )  o F  x.  ( Q `  n ) )  e. MblFn
)
8886, 87syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( P `  n )  o F  x.  ( Q `  n )
)  e. MblFn )
8985, 88eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( ( ( P `  n
) `  x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) ) )  e. MblFn
)
9012adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  e. 
dom  vol )
91 mbfres 18999 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  ( ( ( P `
 n ) `  x )  x.  (
( Q `  n
) `  x )
) )  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  ( ( ( P `  n ) `
 x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) ) )  |`  A )  e. MblFn )
9289, 90, 91syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  ( ( ( P `  n ) `  x
)  x.  ( ( Q `  n ) `
 x ) ) )  |`  A )  e. MblFn )
9375, 92eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( ( P `  n
) `  x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) ) )  e. MblFn
)
94 ovex 5883 . . . 4  |-  ( ( ( P `  n
) `  x )  x.  ( ( Q `  n ) `  x
) )  e.  _V
9594a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( ( P `
 n ) `  x )  x.  (
( Q `  n
) `  x )
)  e.  _V )
9617, 19, 72, 93, 95mbflim 19023 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) )  e. MblFn )
9716, 96eqeltrd 2357 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   ZZcz 10024    ~~> cli 11958   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   S.1citg1 18970
This theorem is referenced by:  mbfmullem  19080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976
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