Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Structured version   Unicode version

Theorem mbfpos 19544
 Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1
mbfpos.2 MblFn
Assertion
Ref Expression
mbfpos MblFn
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9086 . . . . . . 7
21fvconst2 5948 . . . . . 6
32adantl 454 . . . . 5
4 simpr 449 . . . . . 6
5 mbfpos.1 . . . . . 6
6 eqid 2437 . . . . . . 7
76fvmpt2 5813 . . . . . 6
84, 5, 7syl2anc 644 . . . . 5
93, 8breq12d 4226 . . . 4
109, 8, 3ifbieq12d 3762 . . 3
1110mpteq2dva 4296 . 2
12 0re 9092 . . . . 5
1312fconst6 5634 . . . 4
1413a1i 11 . . 3
15 mbfpos.2 . . . . 5 MblFn
1615, 5mbfdm2 19531 . . . 4
1712a1i 11 . . . . 5
1817recnd 9115 . . . 4
19 mbfconst 19528 . . . 4 MblFn
2016, 18, 19syl2anc 644 . . 3 MblFn
215, 6fmptd 5894 . . 3
22 nfcv 2573 . . . 4
23 nfcv 2573 . . . . . 6
24 nfcv 2573 . . . . . 6
25 nffvmpt1 5737 . . . . . 6
2623, 24, 25nfbr 4257 . . . . 5
2726, 25, 23nfif 3764 . . . 4
28 fveq2 5729 . . . . . 6
29 fveq2 5729 . . . . . 6
3028, 29breq12d 4226 . . . . 5
3130, 29, 28ifbieq12d 3762 . . . 4
3222, 27, 31cbvmpt 4300 . . 3
3314, 20, 21, 15, 32mbfmax 19542 . 2 MblFn
3411, 33eqeltrrd 2512 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cif 3740  csn 3815   class class class wbr 4213   cmpt 4267   cxp 4877   cdm 4879  wf 5451  cfv 5455  cc 8989  cr 8990  cc0 8991   cle 9122  cvol 19361  MblFncmbf 19507 This theorem is referenced by:  mbfposb  19546  mbfi1flimlem  19615  itgreval  19689  ibladdlem  19712  iblabslem  19720  mbfposadd  26255  ibladdnclem  26262  iblabsnclem  26269  itgmulc2nclem2  26273 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xadd 10712  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481  df-xmet 16696  df-met 16697  df-ovol 19362  df-vol 19363  df-mbf 19513
 Copyright terms: Public domain W3C validator