MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfpos Unicode version

Theorem mbfpos 19059
Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
mbfpos.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfpos  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfpos
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 8877 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
21fvconst2 5768 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  0 )
4 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5 mbfpos.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
6 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
76fvmpt2 5646 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
84, 5, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
93, 8breq12d 4073 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  B ) )
109, 8, 3ifbieq12d 3621 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
1110mpteq2dva 4143 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
12 0re 8883 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1312fconst6 5469 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } ) : A --> RR
1413a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } ) : A --> RR )
15 mbfpos.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1615, 5mbfdm2 19046 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
1712a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1817recnd 8906 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
19 mbfconst 19043 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  X.  { 0 } )  e. MblFn )
2016, 18, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
215, 6fmptd 5722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
22 nfcv 2452 . . . 4  |-  F/_ y if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )
23 nfcv 2452 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( A  X.  { 0 } ) `
 y )
24 nfcv 2452 . . . . . 6  |-  F/_ x  <_
25 nfmpt1 4146 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
26 nfcv 2452 . . . . . . 7  |-  F/_ x
y
2725, 26nffv 5570 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
2823, 24, 27nfbr 4104 . . . . 5  |-  F/ x
( ( A  X.  { 0 } ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
2928, 27, 23nfif 3623 . . . 4  |-  F/_ x if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  y ) )
30 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  X.  {
0 } ) `  x )  =  ( ( A  X.  {
0 } ) `  y ) )
31 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )
3230, 31breq12d 4073 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( ( A  X.  { 0 } ) `  y )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ) )
3332, 31, 30ifbieq12d 3621 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x )  <_  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( A  X.  {
0 } ) `  x ) )  =  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )
3422, 29, 33cbvmpt 4147 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x )  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 y ) ) )
3514, 20, 21, 15, 34mbfmax 19057 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( ( ( A  X.  { 0 } ) `  x
)  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  ( ( A  X.  { 0 } ) `
 x ) ) )  e. MblFn )
3611, 35eqeltrrd 2391 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   ifcif 3599   {csn 3674   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   dom cdm 4726   -->wf 5288   ` cfv 5292   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782    <_ cle 8913   volcvol 18876  MblFncmbf 19022
This theorem is referenced by:  mbfposb  19061  mbfi1flimlem  19130  itgreval  19204  ibladdlem  19227  iblabslem  19235  ibladdnclem  25321  iblabsnclem  25328  itgmulc2nclem2  25332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xadd 10500  df-ioo 10707  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-xmet 16425  df-met 16426  df-ovol 18877  df-vol 18878  df-mbf 19028
  Copyright terms: Public domain W3C validator