MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfposb Unicode version

Theorem mbfposb 19008
Description: A function is measurable iff its positive and negative parts are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mbfpos.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbfposb  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem mbfposb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
0
2 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  <_
3 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
4 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
y
53, 4nffv 5532 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
61, 2, 5nfbr 4067 . . . . . . . 8  |-  F/ x
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y )
76, 5, 1nfif 3589 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 )
8 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
109breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
11 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  0  =  0 )
1210, 9, 11ifbieq12d 3587 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 )  =  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )
137, 8, 12cbvmpt 4110 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )
14 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
15 mbfpos.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1716fvmpt2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1814, 15, 17syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  B )
1918breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  B )
)
20 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  =  0 )
2119, 18, 20ifbieq12d 3587 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
2221mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
2313, 22syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
2423adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) ) )
2515, 16fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
2625adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
27 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y )  e.  RR )
2826, 27sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  e.  RR )
29 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )
305, 29, 9cbvmpt 4110 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
3118mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3230, 31syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
3332eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) )  e. MblFn 
<->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
)
3433biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )  e. MblFn )
3528, 34mbfpos 19006 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
3624, 35eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
375nfneg 9048 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
381, 2, 37nfbr 4067 . . . . . . . 8  |-  F/ x
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
3938, 37, 1nfif 3589 . . . . . . 7  |-  F/_ x if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 )
40 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ y if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 )
419negeqd 9046 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )
4241breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
4342, 41, 11ifbieq12d 3587 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) , 
-u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ,  0 ) )
4439, 40, 43cbvmpt 4110 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 ) )
4518negeqd 9046 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  -u B
)
4645breq2d 4035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  0  <_  -u B ) )
4746, 45, 20ifbieq12d 3587 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
4847mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
4944, 48syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
5049adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
5128renegcld 9210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  /\  y  e.  A )  -> 
-u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y )  e.  RR )
5228, 34mbfneg 19005 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  e. MblFn
)
5351, 52mbfpos 19006 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  -u (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
) ,  0 ) )  e. MblFn )
5450, 53eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
5536, 54jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )  ->  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) )
5632adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
5725, 27sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  e.  RR )
5857adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  e.  RR )
5923adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) ) )
60 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
6159, 60eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
6249adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) ) )
63 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
6462, 63eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) ,  -u ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
6558, 61, 64mbfposr 19007 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y ) )  e. MblFn )
6656, 65eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn )
)  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6755, 66impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e. MblFn ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255   RRcr 8736   0cc0 8737    <_ cle 8868   -ucneg 9038  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  iblre  19148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
  Copyright terms: Public domain W3C validator