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Theorem mbfres 19497
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 11880 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
3 ismbf1 19479 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
43simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
6 pmresg 7008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A ) )
72, 5, 6syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A
) )
8 cnex 9035 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9 elpm2g 7000 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) ) )
108, 2, 9sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A )  C_  A ) ) )
117, 10mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) )
1211simpld 446 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )
13 fco 5567 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
141, 12, 13sylancr 645 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
15 dmres 5134 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
16 id 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
17 mbfdm 19481 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
18 inmbl 19397 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
dom  F  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e. 
dom  vol )
1916, 17, 18syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e.  dom  vol )
2015, 19syl5eqel 2496 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  dom  ( F  |`  A )  e.  dom  vol )
21 resco 5341 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re  o.  F )  |`  A )  =  ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2221cnveqi 5014 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Re  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2322imaeq1i 5167 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )
24 cnvresima 5326 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
2523, 24eqtr3i 2434 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
26 mbff 19480 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
27 ismbfcn 19484 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
2928ibi 233 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
3029simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
31 fco 5567 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
321, 26, 31sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
33 mbfima 19485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
3430, 32, 33syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
35 inmbl 19397 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " (
x (,)  +oo ) )  i^i  A )  e. 
dom  vol )
3634, 35sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
3725, 36syl5eqel 2496 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3837adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
3922imaeq1i 5167 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )
40 cnvresima 5326 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
4139, 40eqtr3i 2434 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
42 mbfima 19485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4330, 32, 42syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
44 inmbl 19397 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F
) " (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
4543, 44sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
4641, 45syl5eqel 2496 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4746adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
4814, 20, 38, 47ismbf2d 19494 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
49 imf 11881 . . . 4  |-  Im : CC
--> RR
50 fco 5567 . . . 4  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
5149, 12, 50sylancr 645 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
52 resco 5341 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im  o.  F )  |`  A )  =  ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5352cnveqi 5014 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Im  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5453imaeq1i 5167 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )
55 cnvresima 5326 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
5654, 55eqtr3i 2434 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
5729simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
58 fco 5567 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
5949, 26, 58sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
60 mbfima 19485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
6157, 59, 60syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
62 inmbl 19397 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F ) " (
x (,)  +oo ) )  i^i  A )  e. 
dom  vol )
6361, 62sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
6456, 63syl5eqel 2496 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
6564adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
6653imaeq1i 5167 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )
67 cnvresima 5326 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
6866, 67eqtr3i 2434 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
69 mbfima 19485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7057, 59, 69syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
71 inmbl 19397 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F
) " (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
7270, 71sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
7368, 72syl5eqel 2496 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7473adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
7551, 20, 65, 74ismbf2d 19494 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
76 ismbfcn 19484 . . 3  |-  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  ->  ( ( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7712, 76syl 16 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7848, 75, 77mpbir2and 889 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924    i^i cin 3287    C_ wss 3288   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848    o. ccom 4849   -->wf 5417  (class class class)co 6048    ^pm cpm 6986   CCcc 8952   RRcr 8953    +oocpnf 9081    -oocmnf 9082   (,)cioo 10880   Recre 11865   Imcim 11866   volcvol 19321  MblFncmbf 19467
This theorem is referenced by:  mbfadd  19514  mbfsub  19515  mbfmullem2  19577  mbfmul  19579  itg2cnlem1  19614  iblss  19657  mbfposadd  26161  ftc1cnnclem  26185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xadd 10675  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-xmet 16658  df-met 16659  df-ovol 19322  df-vol 19323  df-mbf 19473
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