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Theorem mbfres 18999
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 11597 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
3 ismbf1 18981 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
43simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
54adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
6 pmresg 6795 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A ) )
72, 5, 6syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A
) )
8 cnex 8818 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9 elpm2g 6787 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) ) )
108, 2, 9sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A )  C_  A ) ) )
117, 10mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) )
1211simpld 445 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )
13 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
141, 12, 13sylancr 644 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
15 dmres 4976 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
16 id 19 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
17 mbfdm 18983 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
18 inmbl 18899 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
dom  F  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e. 
dom  vol )
1916, 17, 18syl2anr 464 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e.  dom  vol )
2015, 19syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  dom  ( F  |`  A )  e.  dom  vol )
21 resco 5177 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re  o.  F )  |`  A )  =  ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2221cnveqi 4856 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Re  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2322imaeq1i 5009 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )
24 cnvresima 5162 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
2523, 24eqtr3i 2305 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
26 mbff 18982 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
27 ismbfcn 18986 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
2928ibi 232 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
3029simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
31 fco 5398 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
321, 26, 31sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
33 mbfima 18987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
35 inmbl 18899 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " (
x (,)  +oo ) )  i^i  A )  e. 
dom  vol )
3634, 35sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
3725, 36syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3837adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
3922imaeq1i 5009 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )
40 cnvresima 5162 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
4139, 40eqtr3i 2305 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
42 mbfima 18987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4330, 32, 42syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
44 inmbl 18899 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F
) " (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
4543, 44sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
4641, 45syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4746adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
4814, 20, 38, 47ismbf2d 18996 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
49 imf 11598 . . . 4  |-  Im : CC
--> RR
50 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
5149, 12, 50sylancr 644 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
52 resco 5177 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im  o.  F )  |`  A )  =  ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5352cnveqi 4856 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Im  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5453imaeq1i 5009 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )
55 cnvresima 5162 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
5654, 55eqtr3i 2305 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
5729simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
58 fco 5398 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
5949, 26, 58sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
60 mbfima 18987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
6157, 59, 60syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
62 inmbl 18899 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F ) " (
x (,)  +oo ) )  i^i  A )  e. 
dom  vol )
6361, 62sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
6456, 63syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
6564adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
6653imaeq1i 5009 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )
67 cnvresima 5162 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
6866, 67eqtr3i 2305 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
69 mbfima 18987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7057, 59, 69syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
71 inmbl 18899 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F
) " (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
7270, 71sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
7368, 72syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7473adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
7551, 20, 65, 74ismbf2d 18996 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
76 ismbfcn 18986 . . 3  |-  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  ->  ( ( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7712, 76syl 15 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7848, 75, 77mpbir2and 888 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   RRcr 8736    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   (,)cioo 10656   Recre 11582   Imcim 11583   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfadd  19016  mbfsub  19017  mbfmullem2  19079  mbfmul  19081  itg2cnlem1  19116  iblss  19159
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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