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Theorem mbfres 19539
Description: The restriction of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
mbfres  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ref 11922 . . . 4  |-  Re : CC
--> RR
2 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
3 ismbf1 19521 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
43simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR )
)
54adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
6 pmresg 7044 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )  -> 
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A ) )
72, 5, 6syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A
) )
8 cnex 9076 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9 elpm2g 7036 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) ) )
108, 2, 9sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e.  ( CC  ^pm  A )  <->  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A )  C_  A ) ) )
117, 10mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  /\  dom  ( F  |`  A ) 
C_  A ) )
1211simpld 447 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )
13 fco 5603 . . . 4  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
141, 12, 13sylancr 646 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
15 dmres 5170 . . . 4  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
16 id 21 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
17 mbfdm 19523 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
18 inmbl 19441 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
dom  F  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e. 
dom  vol )
1916, 17, 18syl2anr 466 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( A  i^i  dom  F )  e.  dom  vol )
2015, 19syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  dom  ( F  |`  A )  e.  dom  vol )
21 resco 5377 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re  o.  F )  |`  A )  =  ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2221cnveqi 5050 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Re  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
2322imaeq1i 5203 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )
24 cnvresima 5362 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
2523, 24eqtr3i 2460 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
26 mbff 19522 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
27 ismbfcn 19526 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn ) ) )
2928ibi 234 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
3029simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F )  e. MblFn )
31 fco 5603 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
321, 26, 31sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Re  o.  F ) : dom  F --> RR )
33 mbfima 19527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
3430, 32, 33syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
35 inmbl 19441 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F ) " (
x (,)  +oo ) )  i^i  A )  e. 
dom  vol )
3634, 35sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
3725, 36syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3837adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
3922imaeq1i 5203 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )
40 cnvresima 5362 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Re  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
4139, 40eqtr3i 2460 . . . . 5  |-  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
42 mbfima 19527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Re  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4330, 32, 42syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Re  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
44 inmbl 19441 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Re  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F
) " (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
4543, 44sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Re  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
4641, 45syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
4746adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Re  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
4814, 20, 38, 47ismbf2d 19536 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
49 imf 11923 . . . 4  |-  Im : CC
--> RR
50 fco 5603 . . . 4  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC )  ->  ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
5149, 12, 50sylancr 646 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) ) : dom  ( F  |`  A ) --> RR )
52 resco 5377 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im  o.  F )  |`  A )  =  ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5352cnveqi 5050 . . . . . . 7  |-  `' ( ( Im  o.  F
)  |`  A )  =  `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
5453imaeq1i 5203 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )
55 cnvresima 5362 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
5654, 55eqtr3i 2460 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" ( x (,) 
+oo ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  i^i 
A )
5729simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
58 fco 5603 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : dom  F --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
5949, 26, 58sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( Im  o.  F ) : dom  F --> RR )
60 mbfima 19527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
6157, 59, 60syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
62 inmbl 19441 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F ) " (
x (,)  +oo ) )  i^i  A )  e. 
dom  vol )
6361, 62sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
( x (,)  +oo ) )  i^i  A
)  e.  dom  vol )
6456, 63syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
6564adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
6653imaeq1i 5203 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )
67 cnvresima 5362 . . . . . 6  |-  ( `' ( ( Im  o.  F )  |`  A )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
6866, 67eqtr3i 2460 . . . . 5  |-  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) )
" (  -oo (,) x ) )  =  ( ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )
69 mbfima 19527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F ) : dom  F --> RR )  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7057, 59, 69syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( `' ( Im  o.  F )
" (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
71 inmbl 19441 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' ( Im  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' ( Im  o.  F
) " (  -oo (,) x ) )  i^i 
A )  e.  dom  vol )
7270, 71sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( `' ( Im  o.  F ) "
(  -oo (,) x ) )  i^i  A )  e.  dom  vol )
7368, 72syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
7473adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  A  e.  dom  vol )  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' ( Im  o.  ( F  |`  A ) ) "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol )
7551, 20, 65, 74ismbf2d 19536 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
)
76 ismbfcn 19526 . . 3  |-  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> CC  ->  ( ( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7712, 76syl 16 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  (
( F  |`  A )  e. MblFn 
<->  ( ( Re  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  ( F  |`  A ) )  e. MblFn
) ) )
7848, 75, 77mpbir2and 890 1  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  A  e. 
dom  vol )  ->  ( F  |`  A )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882    |` cres 4883   "cima 4884    o. ccom 4885   -->wf 5453  (class class class)co 6084    ^pm cpm 7022   CCcc 8993   RRcr 8994    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   (,)cioo 10921   Recre 11907   Imcim 11908   volcvol 19365  MblFncmbf 19511
This theorem is referenced by:  mbfadd  19556  mbfsub  19557  mbfmullem2  19619  mbfmul  19621  itg2cnlem1  19656  iblss  19699  mbfposadd  26266  ftc1cnnclem  26292  ftc1anclem8  26301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516
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