Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfres2 Structured version   Unicode version

Theorem mbfres2 19529
 Description: Measurability of a piecewise function: if is measurable on subsets and of its domain, and these pieces make up all of , then is measurable on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfres2.1
mbfres2.2 MblFn
mbfres2.3 MblFn
mbfres2.4
Assertion
Ref Expression
mbfres2 MblFn

Proof of Theorem mbfres2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfres2.4 . . . . . . . . . . . 12
21reseq2d 5138 . . . . . . . . . . 11
3 mbfres2.1 . . . . . . . . . . . 12
4 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12
5 fnresdm 5546 . . . . . . . . . . . 12
63, 4, 53syl 19 . . . . . . . . . . 11
72, 6eqtr2d 2468 . . . . . . . . . 10
87adantr 452 . . . . . . . . 9
9 resundi 5152 . . . . . . . . 9
108, 9syl6eq 2483 . . . . . . . 8
1110cnveqd 5040 . . . . . . 7
12 cnvun 5269 . . . . . . 7
1311, 12syl6eq 2483 . . . . . 6
1413imaeq1d 5194 . . . . 5
15 imaundir 5277 . . . . 5
1614, 15syl6eq 2483 . . . 4
17 mbfres2.2 . . . . . . 7 MblFn
18 ssun1 3502 . . . . . . . . . 10
1918, 1syl5sseq 3388 . . . . . . . . 9
20 fssres 5602 . . . . . . . . 9
213, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . 8
22 ismbf 19514 . . . . . . . 8 MblFn
2321, 22syl 16 . . . . . . 7 MblFn
2417, 23mpbid 202 . . . . . 6
2524r19.21bi 2796 . . . . 5
26 mbfres2.3 . . . . . . 7 MblFn
27 ssun2 3503 . . . . . . . . . 10
2827, 1syl5sseq 3388 . . . . . . . . 9
29 fssres 5602 . . . . . . . . 9
303, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . 8
31 ismbf 19514 . . . . . . . 8 MblFn
3230, 31syl 16 . . . . . . 7 MblFn
3326, 32mpbid 202 . . . . . 6
3433r19.21bi 2796 . . . . 5
35 unmbl 19424 . . . . 5
3625, 34, 35syl2anc 643 . . . 4
3716, 36eqeltrd 2509 . . 3
3837ralrimiva 2781 . 2
39 ismbf 19514 . . 3 MblFn
403, 39syl 16 . 2 MblFn
4138, 40mpbird 224 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   cun 3310   wss 3312  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  cr 8981  cioo 10908  cvol 19352  MblFncmbf 19498 This theorem is referenced by:  mbfss  19530  mbfresfi  26243  mbfposadd  26244 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504
 Copyright terms: Public domain W3C validator