Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Unicode version

Theorem mbfsup 19019
 Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, is a function of both and , since it is an -indexed sequence of functions on . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1
mbfsup.2
mbfsup.3
mbfsup.4 MblFn
mbfsup.5
mbfsup.6
Assertion
Ref Expression
mbfsup MblFn
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8
21anassrs 629 . . . . . . 7
32an32s 779 . . . . . 6
4 eqid 2283 . . . . . 6
53, 4fmptd 5684 . . . . 5
6 frn 5395 . . . . 5
75, 6syl 15 . . . 4
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10
9 uzid 10242 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8
1312adantr 451 . . . . . . 7
14 fdm 5393 . . . . . . . 8
155, 14syl 15 . . . . . . 7
1613, 15eleqtrrd 2360 . . . . . 6
17 ne0i 3461 . . . . . 6
1816, 17syl 15 . . . . 5
19 dm0rn0 4895 . . . . . 6
2019necon3bii 2478 . . . . 5
2118, 20sylib 188 . . . 4
22 mbfsup.6 . . . . 5
23 ffn 5389 . . . . . . . . 9
245, 23syl 15 . . . . . . . 8
25 breq1 4026 . . . . . . . . 9
2625ralrn 5668 . . . . . . . 8
2724, 26syl 15 . . . . . . 7
28 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . 11
29 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11
3028, 29nffv 5532 . . . . . . . . . 10
31 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10
32 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 32nfbr 4067 . . . . . . . . 9
34 nfv 1605 . . . . . . . . 9
35 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
3635breq1d 4033 . . . . . . . . 9
3733, 34, 36cbvral 2760 . . . . . . . 8
38 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
394fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . 11
4038, 3, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
4140breq1d 4033 . . . . . . . . 9
4241ralbidva 2559 . . . . . . . 8
4337, 42syl5bb 248 . . . . . . 7
4427, 43bitrd 244 . . . . . 6
4544rexbidv 2564 . . . . 5
4622, 45mpbird 223 . . . 4
47 suprcl 9714 . . . 4
487, 21, 46, 47syl3anc 1182 . . 3
49 mbfsup.2 . . 3
5048, 49fmptd 5684 . 2
51 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13
52 ltso 8903 . . . . . . . . . . . . . 14
5352supex 7214 . . . . . . . . . . . . 13
5449fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . 13
5551, 53, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
5655breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11
577, 21, 463jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
5857adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12
59 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12
60 suprlub 9716 . . . . . . . . . . . 12
6158, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
6224adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13
63 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14
6463rexrn 5667 . . . . . . . . . . . . 13
6562, 64syl 15 . . . . . . . . . . . 12
66 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15
6866, 67, 30nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . 14
69 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14
7035breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14
7168, 69, 70cbvrex 2761 . . . . . . . . . . . . 13
724fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7473fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7574adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7772, 76sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . 14
8079adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13
8171, 80syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12
8265, 81bitrd 244 . . . . . . . . . . 11
8356, 61, 823bitrd 270 . . . . . . . . . 10
8483ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9
85 nfv 1605 . . . . . . . . . 10
86 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12
87 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12
88 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . 14
8949, 88nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . 13
90 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13
9189, 90nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12
9286, 87, 91nfbr 4067 . . . . . . . . . . 11
93 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12
94 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . 14
9594, 90nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13
9686, 87, 95nfbr 4067 . . . . . . . . . . . 12
9793, 96nfrex 2598 . . . . . . . . . . 11
9892, 97nfbi 1772 . . . . . . . . . 10
99 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
10099breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11
101 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13
102101breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12
103102rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11
104100, 103bibi12d 312 . . . . . . . . . 10
10585, 98, 104cbvral 2760 . . . . . . . . 9
10684, 105sylib 188 . . . . . . . 8
107106r19.21bi 2641 . . . . . . 7
108 rexr 8877 . . . . . . . . . 10
109108ad2antlr 707 . . . . . . . . 9
110 elioopnf 10737 . . . . . . . . 9
111109, 110syl 15 . . . . . . . 8
11250adantr 451 . . . . . . . . . 10
113 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10
114112, 113sylan 457 . . . . . . . . 9
115114biantrurd 494 . . . . . . . 8
116111, 115bitr4d 247 . . . . . . 7
117109adantr 451 . . . . . . . . . 10
118 elioopnf 10737 . . . . . . . . . 10
119117, 118syl 15 . . . . . . . . 9
1202, 73fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . 13
121 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13
122120, 121sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
123122biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11
124123an32s 779 . . . . . . . . . 10
125124adantllr 699 . . . . . . . . 9
126119, 125bitr4d 247 . . . . . . . 8
127126rexbidva 2560 . . . . . . 7
128107, 116, 1273bitr4d 276 . . . . . 6
129128pm5.32da 622 . . . . 5
130 ffn 5389 . . . . . . . 8
13150, 130syl 15 . . . . . . 7
132131adantr 451 . . . . . 6
133 elpreima 5645 . . . . . 6
134132, 133syl 15 . . . . 5
135 eliun 3909 . . . . . 6
136 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11
137120, 136syl 15 . . . . . . . . . 10
138 elpreima 5645 . . . . . . . . . 10
139137, 138syl 15 . . . . . . . . 9
140139rexbidva 2560 . . . . . . . 8
141140adantr 451 . . . . . . 7
142 r19.42v 2694 . . . . . . 7
143141, 142syl6bb 252 . . . . . 6
144135, 143syl5bb 248 . . . . 5
145129, 134, 1443bitr4d 276 . . . 4
146145eqrdv 2281 . . 3
147 zex 10033 . . . . . . 7
148 uzssz 10247 . . . . . . 7
149 ssdomg 6907 . . . . . . 7
150147, 148, 149mp2 17 . . . . . 6
15111, 150eqbrtri 4042 . . . . 5
152 znnen 12491 . . . . 5
153 domentr 6920 . . . . 5
154151, 152, 153mp2an 653 . . . 4
155 mbfsup.4 . . . . . . 7 MblFn
156 mbfima 18987 . . . . . . 7 MblFn
157155, 120, 156syl2anc 642 . . . . . 6
158157ralrimiva 2626 . . . . 5
159158adantr 451 . . . 4
160 iunmbl2 18914 . . . 4
161154, 159, 160sylancr 644 . . 3
162146, 161eqeltrd 2357 . 2
16350, 162ismbf3d 19009 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788   wss 3152  c0 3455  ciun 3905   class class class wbr 4023   cmpt 4077   cid 4304  ccnv 4688   cdm 4689   crn 4690  cima 4692   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cen 6860   cdom 6861  csup 7193  cr 8736   cpnf 8864  cxr 8866   clt 8867   cle 8868  cn 9746  cz 10024  cuz 10230  cioo 10656  cvol 18823  MblFncmbf 18969 This theorem is referenced by:  mbfinf  19020  mbflimsup  19021 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
 Copyright terms: Public domain W3C validator