MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfulm Structured version   Unicode version

Theorem mbfulm 20314
Description: A uniform limit of measurable functions is measurable. (This is just a corollary of the fact that a pointwise limit of measurable functions is measurable, see mbflim 19552.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfulm.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfulm.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfulm.f  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
mbfulm.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
mbfulm  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )

Proof of Theorem mbfulm
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfulm.u . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmcl 20289 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
43feqmptd 5771 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( z  e.  S  |->  ( G `
 z ) ) )
5 mbfulm.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
6 mbfulm.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  M  e.  ZZ )
8 mbfulm.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z -->MblFn )
9 ffn 5583 . . . . . . 7  |-  ( F : Z -->MblFn  ->  F  Fn  Z )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  Z )
11 ulmf2 20292 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
1210, 1, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
14 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
15 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
165, 15eqeltri 2505 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
1716mptex 5958 . . . . 5  |-  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) )  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e.  _V )
19 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
2019fveq1d 5722 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 n ) `  z ) )
21 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) )
22 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n ) `
 z )  e. 
_V
2320, 21, 22fvmpt 5798 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `  z
) ) `  n
)  =  ( ( F `  n ) `
 z ) )
2423eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) ) `
 n ) )
2524adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( k  e.  Z  |->  ( ( F `  k ) `
 z ) ) `
 n ) )
261adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  F
( ~~> u `  S
) G )
275, 7, 13, 14, 18, 25, 26ulmclm 20295 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
2812ffvelrnda 5862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
29 elmapi 7030 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
3130feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
328ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e. MblFn )
3331, 32eqeltrrd 2510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  e. MblFn )
3430ffvelrnda 5862 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
3534anasss 629 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  e.  CC )
365, 6, 27, 33, 35mbflim 19552 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  S  |->  ( G `  z
) )  e. MblFn )
374, 36eqeltrd 2509 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   CCcc 8980   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480  MblFncmbf 19498   ~~> uculm 20284
This theorem is referenced by:  iblulm  20315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504  df-ulm 20285
  Copyright terms: Public domain W3C validator