MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblsplit Structured version   Unicode version

Theorem mblsplit 19420
Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblsplit  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  B )  =  ( ( vol * `  ( B  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( B  \  A ) ) ) )

Proof of Theorem mblsplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9073 . . . 4  |-  RR  e.  _V
21elpw2 4356 . . 3  |-  ( B  e.  ~P RR  <->  B  C_  RR )
3 ismbl 19414 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( vol * `  x
)  =  ( ( vol * `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) ) ) )
43simprbi 451 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) ) )
5 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( vol * `  x )  =  ( vol * `  B ) )
65eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( vol * `  x )  e.  RR  <->  ( vol * `  B
)  e.  RR ) )
7 ineq1 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
x  i^i  A )  =  ( B  i^i  A ) )
87fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  =  ( vol * `  ( B  i^i  A
) ) )
9 difeq1 3450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
x  \  A )  =  ( B  \  A ) )
109fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( vol * `  ( x 
\  A ) )  =  ( vol * `  ( B  \  A
) ) )
118, 10oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) )  =  ( ( vol
* `  ( B  i^i  A ) )  +  ( vol * `  ( B  \  A ) ) ) )
125, 11eqeq12d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) )  <-> 
( vol * `  B )  =  ( ( vol * `  ( B  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( B  \  A ) ) ) ) )
136, 12imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) )  <->  ( ( vol
* `  B )  e.  RR  ->  ( vol * `
 B )  =  ( ( vol * `  ( B  i^i  A
) )  +  ( vol * `  ( B  \  A ) ) ) ) ) )
1413rspccv 3041 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x )  e.  RR  ->  ( vol * `  x )  =  ( ( vol * `  ( x  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) )  ->  ( B  e.  ~P RR  ->  (
( vol * `  B )  e.  RR  ->  ( vol * `  B )  =  ( ( vol * `  ( B  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( B  \  A ) ) ) ) ) )
154, 14syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( B  e.  ~P RR  ->  ( ( vol * `  B )  e.  RR  ->  ( vol * `  B )  =  ( ( vol * `  ( B  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( B  \  A ) ) ) ) ) )
162, 15syl5bir 210 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( B  C_  RR  ->  ( ( vol * `  B )  e.  RR  ->  ( vol * `  B )  =  ( ( vol * `  ( B  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( B  \  A ) ) ) ) ) )
17163imp 1147 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  B )  =  ( ( vol * `  ( B  i^i  A ) )  +  ( vol
* `  ( B  \  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981    + caddc 8985   vol *covol 19351   volcvol 19352
This theorem is referenced by:  cmmbl  19421  nulmbl2  19423  unmbl  19424  shftmbl  19425  volun  19431  voliunlem1  19436  uniioombllem4  19470  uniioombllem5  19471  mblfinlem2  26235  mblfinlem3  26236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-ovol 19353  df-vol 19354
  Copyright terms: Public domain W3C validator