MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblvol Unicode version

Theorem mblvol 18905
Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblvol  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )

Proof of Theorem mblvol
StepHypRef Expression
1 volres 18903 . . 3  |-  vol  =  ( vol *  |`  dom  vol )
21fveq1i 5542 . 2  |-  ( vol `  A )  =  ( ( vol *  |`  dom  vol ) `  A )
3 fvres 5558 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( vol *  |`  dom  vol ) `  A )  =  ( vol * `  A ) )
42, 3syl5eq 2340 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   dom cdm 4705    |` cres 4707   ` cfv 5271   vol *covol 18838   volcvol 18839
This theorem is referenced by:  volun  18918  volinun  18919  volfiniun  18920  voliunlem3  18925  volsup  18929  iccvolcl  18940  ovolioo  18941  uniioovol  18950  uniioombllem4  18957  volcn  18977  volivth  18978  vitalilem4  18982  i1fima2  19050  i1fd  19052  i1f0rn  19053  itg1val2  19055  itg1ge0  19057  itg11  19062  i1fadd  19066  i1fmul  19067  itg1addlem2  19068  itg1addlem4  19070  i1fres  19076  itg10a  19081  itg1ge0a  19082  itg1climres  19085  mbfi1fseqlem4  19089  itg2const2  19112  itg2gt0  19131  itg2cnlem2  19133  ftc1a  19400  ftc1lem4  19402  itgulm  19800  areaf  20272  cntnevol  23191  itg2addnclem  25003  itg2addnclem2  25004  itg2gt0cn  25006  ftc1cnnclem  25024  areacirc  25034  ioovolcl  27845  volioo  27846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fv 5279  df-vol 18841
  Copyright terms: Public domain W3C validator