MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblvol Structured version   Unicode version

Theorem mblvol 19426
Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblvol  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )

Proof of Theorem mblvol
StepHypRef Expression
1 volres 19424 . . 3  |-  vol  =  ( vol *  |`  dom  vol )
21fveq1i 5729 . 2  |-  ( vol `  A )  =  ( ( vol *  |`  dom  vol ) `  A )
3 fvres 5745 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( vol *  |`  dom  vol ) `  A )  =  ( vol * `  A ) )
42, 3syl5eq 2480 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   dom cdm 4878    |` cres 4880   ` cfv 5454   vol *covol 19359   volcvol 19360
This theorem is referenced by:  volun  19439  volinun  19440  volfiniun  19441  voliunlem3  19446  volsup  19450  iccvolcl  19461  ovolioo  19462  uniioovol  19471  uniioombllem4  19478  volcn  19498  volivth  19499  vitalilem4  19503  i1fima2  19571  i1fd  19573  i1f0rn  19574  itg1val2  19576  itg1ge0  19578  itg11  19583  i1fadd  19587  i1fmul  19588  itg1addlem2  19589  itg1addlem4  19591  i1fres  19597  itg10a  19602  itg1ge0a  19603  itg1climres  19606  mbfi1fseqlem4  19610  itg2const2  19633  itg2gt0  19652  itg2cnlem2  19654  ftc1a  19921  ftc1lem4  19923  itgulm  20324  areaf  20800  cntnevol  24582  volss  24583  volmeas  24587  mblfinlem3  26245  mblfinlem4  26246  ismblfin  26247  voliunnfl  26250  volsupnfl  26251  itg2addnclem  26256  itg2addnclem2  26257  itg2gt0cn  26260  ftc1cnnclem  26278  ftc1anclem7  26286  areacirc  26297  ioovolcl  27718  volioo  27719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-iota 5418  df-fv 5462  df-vol 19362
  Copyright terms: Public domain W3C validator