MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblvol Unicode version

Theorem mblvol 18889
Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblvol  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )

Proof of Theorem mblvol
StepHypRef Expression
1 volres 18887 . . 3  |-  vol  =  ( vol *  |`  dom  vol )
21fveq1i 5526 . 2  |-  ( vol `  A )  =  ( ( vol *  |`  dom  vol ) `  A )
3 fvres 5542 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( vol *  |`  dom  vol ) `  A )  =  ( vol * `  A ) )
42, 3syl5eq 2327 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   dom cdm 4689    |` cres 4691   ` cfv 5255   vol *covol 18822   volcvol 18823
This theorem is referenced by:  volun  18902  volinun  18903  volfiniun  18904  voliunlem3  18909  volsup  18913  iccvolcl  18924  ovolioo  18925  uniioovol  18934  uniioombllem4  18941  volcn  18961  volivth  18962  vitalilem4  18966  i1fima2  19034  i1fd  19036  i1f0rn  19037  itg1val2  19039  itg1ge0  19041  itg11  19046  i1fadd  19050  i1fmul  19051  itg1addlem2  19052  itg1addlem4  19054  i1fres  19060  itg10a  19065  itg1ge0a  19066  itg1climres  19069  mbfi1fseqlem4  19073  itg2const2  19096  itg2gt0  19115  itg2cnlem2  19117  ftc1a  19384  ftc1lem4  19386  itgulm  19784  areaf  20256  cntnevol  23175  areacirc  24931  ioovolcl  27742  volioo  27743
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fv 5263  df-vol 18825
  Copyright terms: Public domain W3C validator