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Theorem mcubic 20159
Description: Solutions to a monic cubic equation, a special case of cubic 20161. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mcubic.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mcubic.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mcubic.d  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
mcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
mcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
mcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( ( N  +  G )  /  2 ) )
mcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
mcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) ) )
mcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  C ) ) )
mcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  D
) ) )
mcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
mcubic  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, r    M, r    N, r    ph, r    T, r    X, r
Allowed substitution hints:    C( r)    D( r)    G( r)

Proof of Theorem mcubic
StepHypRef Expression
1 mcubic.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  C ) ) )
2 mcubic.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
32sqcld 11259 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
4 3cn 9834 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
5 mcubic.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
6 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( 3  x.  C
)  e.  CC )
74, 5, 6sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  C
)  e.  CC )
83, 7subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  -  (
3  x.  C ) )  e.  CC )
91, 8eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
104a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
11 3ne0 9847 . . . . . 6  |-  3  =/=  0
1211a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
139, 10, 12divcld 9552 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  e.  CC )
1413negcld 9160 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
3 )  e.  CC )
15 mcubic.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  D
) ) )
16 2cn 9832 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
17 3nn0 9999 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN0
18 expcl 11137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
192, 17, 18sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
20 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( B ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
2116, 19, 20sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
22 9nn 9900 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  NN
2322nncni 9772 . . . . . . . 8  |-  9  e.  CC
242, 5mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  e.  CC )
25 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( 9  e.  CC  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( 9  x.  ( B  x.  C
) )  e.  CC )
2623, 24, 25sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 9  x.  ( B  x.  C )
)  e.  CC )
2721, 26subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  (
9  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
28 2nn0 9998 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
29 7nn 9898 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
3028, 29decnncl 10153 . . . . . . . 8  |- ; 2 7  e.  NN
3130nncni 9772 . . . . . . 7  |- ; 2 7  e.  CC
32 mcubic.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
33 mulcl 8837 . . . . . . 7  |-  ( (; 2
7  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  (; 2 7  x.  D
)  e.  CC )
3431, 32, 33sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (; 2 7  x.  D
)  e.  CC )
3527, 34addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C )
) )  +  (; 2
7  x.  D ) )  e.  CC )
3615, 35eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3731a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  -> ; 2
7  e.  CC )
3830nnne0i 9796 . . . . 5  |- ; 2 7  =/=  0
3938a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  -> ; 2
7  =/=  0 )
4036, 37, 39divcld 9552 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  / ; 2 7 )  e.  CC )
41 mcubic.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
422, 10, 12divcld 9552 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  3
)  e.  CC )
4341, 42addcld 8870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( B  /  3 ) )  e.  CC )
44 mcubic.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
4544, 10, 12divcld 9552 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  /  3
)  e.  CC )
4645negcld 9160 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( T  / 
3 )  e.  CC )
47 3nn 9894 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
4847a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
49 2nn 9893 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
50 1nn0 9997 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
51 1nn 9773 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
5216mulid1i 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
5352oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
54 2p1e3 9863 . . . . . . . 8  |-  ( 2  +  1 )  =  3
5553, 54eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
56 1lt2 9902 . . . . . . 7  |-  1  <  2
5749, 50, 51, 55, 56ndvdsi 12625 . . . . . 6  |-  -.  2  ||  3
5857a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  3
)
59 oexpneg 12606 . . . . 5  |-  ( ( ( T  /  3
)  e.  CC  /\  3  e.  NN  /\  -.  2  ||  3 )  -> 
( -u ( T  / 
3 ) ^ 3 )  =  -u (
( T  /  3
) ^ 3 ) )
6045, 48, 58, 59syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( T  /  3 ) ^
3 )  =  -u ( ( T  / 
3 ) ^ 3 ) )
6117a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
6244, 10, 12, 61expdivd 11275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( T  / 
3 ) ^ 3 )  =  ( ( T ^ 3 )  /  ( 3 ^ 3 ) ) )
63 mcubic.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( ( N  +  G )  /  2 ) )
64 3exp3 13120 . . . . . . . 8  |-  ( 3 ^ 3 )  = ; 2
7
6564a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3 ^ 3 )  = ; 2 7 )
6663, 65oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( T ^
3 )  /  (
3 ^ 3 ) )  =  ( ( ( N  +  G
)  /  2 )  / ; 2 7 ) )
67 mcubic.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
6836, 67addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  G
)  e.  CC )
6916a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
70 2ne0 9845 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
7170a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7268, 69, 37, 71, 39divdiv32d 9577 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
2 )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( N  +  G )  / ; 2 7 )  /  2 ) )
7336, 67addcomd 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  G
)  =  ( G  +  N ) )
7473oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  G )  / ; 2 7 )  =  ( ( G  +  N )  / ; 2 7 ) )
7567, 36, 37, 39divdird 9590 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G  +  N )  / ; 2 7 )  =  ( ( G  / ; 2 7 )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )
7674, 75eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  G )  / ; 2 7 )  =  ( ( G  / ; 2 7 )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )
7776oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / ; 2 7 )  /  2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  /  2 ) )
7867, 37, 39divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  / ; 2 7 )  e.  CC )
7978, 40, 69, 71divdird 9590 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  / ; 2 7 )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  /  2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8072, 77, 793eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  +  G )  / 
2 )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8162, 66, 803eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T  / 
3 ) ^ 3 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8281negeqd 9062 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( T  /  3 ) ^
3 )  =  -u ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8378halfcld 9972 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  / ; 2 7 )  /  2 )  e.  CC )
8440halfcld 9972 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 )  e.  CC )
8583, 84negdi2d 9187 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  +  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) )  =  ( -u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  -  (
( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8660, 82, 853eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u ( T  /  3 ) ^
3 )  =  (
-u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  -  (
( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ) )
8783negcld 9160 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  e.  CC )
88 sqneg 11180 . . . . 5  |-  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 )  e.  CC  ->  ( -u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 ) )
8983, 88syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 ) )
9078, 69, 71sqdivd 11274 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( G  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
9140, 69, 71sqdivd 11274 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
9236, 37, 39sqdivd 11274 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  / ; 2 7 ) ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) )
9392oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
9491, 93eqtr2d 2329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N ^ 2 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 ) )
95 4cn 9836 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  CC
9695a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  4  e.  CC )
97 expcl 11137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
989, 17, 97sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
9931sqcli 11200 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 7 ^ 2 )  e.  CC
10099a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (; 2 7 ^ 2 )  e.  CC )
101 sqne0 11186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 7  e.  CC  ->  ( (; 2 7 ^ 2 )  =/=  0  <-> ; 2 7  =/=  0
) )
10237, 101syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (; 2 7 ^ 2 )  =/=  0  <-> ; 2 7  =/=  0
) )
10339, 102mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (; 2 7 ^ 2 )  =/=  0 )
10496, 98, 100, 103divassd 9587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M ^
3 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) ) )
10523a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  9  e.  CC )
10622nnne0i 9796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  9  =/=  0
107106a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  9  =/=  0 )
1089, 105, 107, 61expdivd 11275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( 9 ^ 3 ) ) )
10916, 4mulcomi 8859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  x.  2 )
110109oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 3 ^ (
3  x.  2 ) )
111 expmul 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^
3 ) )
1124, 28, 17, 111mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 3 ^ 2 ) ^ 3 )
113 expmul 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
3 ^ ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^
2 ) )
1144, 17, 28, 113mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3 ^ ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 2 )
115110, 112, 1143eqtr3i 2324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ^ 2 ) ^ 3 )  =  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 2 )
116 sq3 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
117116oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ^ 2 ) ^ 3 )  =  ( 9 ^ 3 )
11864oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3 ^ 3 ) ^ 2 )  =  (; 2 7 ^ 2 )
119115, 117, 1183eqtr3i 2324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9 ^ 3 )  =  (; 2 7 ^ 2 )
120119oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M ^ 3 )  /  ( 9 ^ 3 ) )  =  ( ( M ^
3 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )
121108, 120syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) )
122121oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  (
( M  /  9
) ^ 3 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M ^ 3 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) ) )
123104, 122eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) ) )
124123oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
125 sq2 11215 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
126125oveq2i 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  x.  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) )  /  4
)
1279, 105, 107divcld 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  /  9
)  e.  CC )
128 expcl 11137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  /  9
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( M  / 
9 ) ^ 3 )  e.  CC )
129127, 17, 128sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 )  e.  CC )
130 4nn 9895 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN
131130nnne0i 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =/=  0
132131a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  4  =/=  0 )
133129, 96, 132divcan3d 9557 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) )  /  4
)  =  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )
134126, 133syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )
135124, 134eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) )
13694, 135oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  -  ( ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( M  /  9 ) ^ 3 ) ) )
13736sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
138137, 100, 103divcld 9552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N ^
2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  e.  CC )
139 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( M ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
14095, 98, 139sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
141140, 100, 103divcld 9552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  e.  CC )
14216sqcli 11200 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 2 )  e.  CC
143142a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  e.  CC )
144125, 131eqnetri 2476 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 2 )  =/=  0
145144a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 2 )  =/=  0 )
146138, 141, 143, 145divsubdird 9591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  (
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) )  / 
( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N ^ 2 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) )  -  ( ( ( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) ) )
14784sqcld 11259 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
148147, 129negsubd 9179 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  +  -u (
( M  /  9
) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 ) ^ 2 )  -  ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) ) )
149136, 146, 1483eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  (
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) )  / 
( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  +  -u (
( M  /  9
) ^ 3 ) ) )
15067, 37, 39sqdivd 11274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G  / ; 2 7 ) ^ 2 )  =  ( ( G ^ 2 )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) )
151 mcubic.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) ) )
152151oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G ^
2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) )
153137, 140, 100, 103divsubdird 9591 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( M ^ 3 ) ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  =  ( ( ( N ^
2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) ) )
154150, 152, 1533eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G  / ; 2 7 ) ^ 2 )  =  ( ( ( N ^ 2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  (
( 4  x.  ( M ^ 3 ) )  /  (; 2 7 ^ 2 ) ) ) )
155154oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N ^
2 )  /  (; 2 7 ^ 2 ) )  -  ( ( 4  x.  ( M ^
3 ) )  / 
(; 2 7 ^ 2 ) ) )  / 
( 2 ^ 2 ) ) )
156 oexpneg 12606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  /  9
)  e.  CC  /\  3  e.  NN  /\  -.  2  ||  3 )  -> 
( -u ( M  / 
9 ) ^ 3 )  =  -u (
( M  /  9
) ^ 3 ) )
157127, 48, 58, 156syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  9 ) ^
3 )  =  -u ( ( M  / 
9 ) ^ 3 ) )
158157oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( -u ( M  /  9
) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 ) ^ 2 )  + 
-u ( ( M  /  9 ) ^
3 ) ) )
159149, 155, 1583eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( G  / ; 2 7 ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 ) ^ 2 )  +  ( -u ( M  /  9 ) ^
3 ) ) )
16089, 90, 1593eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( G  / ; 2 7 )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 ) ^ 2 )  +  ( -u ( M  /  9 ) ^
3 ) ) )
1619, 10, 10, 12, 12divdiv1d 9583 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  /  3
)  =  ( M  /  ( 3  x.  3 ) ) )
162 3t3e9 9889 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  3 )  =  9
163162oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( M  /  ( 3  x.  3 ) )  =  ( M  /  9
)
164161, 163syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  /  3
)  =  ( M  /  9 ) )
165164negeqd 9062 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M  /  3 )  / 
3 )  =  -u ( M  /  9
) )
16613, 10, 12divnegd 9565 . . . 4  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M  /  3 )  / 
3 )  =  (
-u ( M  / 
3 )  /  3
) )
167165, 166eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
9 )  =  (
-u ( M  / 
3 )  /  3
) )
168 eqidd 2297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  / ; 2 7 )  /  2 )  =  ( ( N  / ; 2 7 )  / 
2 ) )
169 mcubic.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
17044, 10, 169, 12divne0d 9568 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  /  3
)  =/=  0 )
17145, 170negne0d 9171 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u ( T  / 
3 )  =/=  0
)
17214, 40, 43, 46, 86, 87, 160, 167, 168, 171dcubic 20158 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( B  /  3 ) ) ^ 3 )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  ( X  +  ( B  /  3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) ) ) )
173 binom3 11238 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( B  /  3
)  e.  CC )  ->  ( ( X  +  ( B  / 
3 ) ) ^
3 )  =  ( ( ( X ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B  / 
3 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) ) )
17441, 42, 173syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( B  /  3
) ) ^ 3 )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B  /  3
) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) ) ) )
17541sqcld 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
17610, 175, 42mul12d 9037 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( B  /  3 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( 3  x.  ( B  /  3
) ) ) )
1772, 10, 12divcan2d 9554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( B  /  3 ) )  =  B )
178177oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  (
3  x.  ( B  /  3 ) ) )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  B ) )
179175, 2mulcomd 8872 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  x.  B
)  =  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )
180176, 178, 1793eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( B  /  3 ) ) )  =  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )
181180oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B  / 
3 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) ) )
182181oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( X ^ 2 )  x.  ( B  /  3 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) ) )
183174, 182eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( B  /  3
) ) ^ 3 )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) ) ) )
184183oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( B  / 
3 ) ) ^
3 )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( ( X ^
3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( -u ( M  /  3
)  x.  ( X  +  ( B  / 
3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) ) )
185 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
18641, 17, 185sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
1872, 175mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
188186, 187addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  e.  CC )
18942sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 )  e.  CC )
19041, 189mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) )  e.  CC )
19110, 190mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
192 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  3
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( B  / 
3 ) ^ 3 )  e.  CC )
19342, 17, 192sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 )  e.  CC )
194191, 193addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  /  3
) ^ 3 ) )  e.  CC )
19514, 43mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  e.  CC )
196195, 40addcld 8870 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  e.  CC )
197188, 194, 196addassd 8873 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) )  +  ( ( -u ( M  /  3
)  x.  ( X  +  ( B  / 
3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) ) ) )
19814, 41, 42adddid 8875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  =  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  +  (
-u ( M  / 
3 )  x.  ( B  /  3 ) ) ) )
199198oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( (
-u ( M  / 
3 )  x.  X
)  +  ( -u ( M  /  3
)  x.  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )
20014, 41mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  e.  CC )
20114, 42mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  e.  CC )
202200, 201, 40addassd 8873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( -u ( M  /  3
)  x.  X )  +  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( -u ( M  /  3
)  x.  X )  +  ( ( -u ( M  /  3
)  x.  ( B  /  3 ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) ) )
2031oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  =  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  C ) )  /  3 ) )
2043, 7, 10, 12divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  -  ( 3  x.  C
) )  /  3
)  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  -  ( ( 3  x.  C )  / 
3 ) ) )
2055, 10, 12divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  C )  /  3
)  =  C )
206205oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  -  (
( 3  x.  C
)  /  3 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  -  C ) )
207203, 204, 2063eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  -  C ) )
208207negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
3 )  =  -u ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  -  C
) )
2093, 10, 12divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  /  3
)  e.  CC )
210209, 5negsubdi2d 9189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  -  C )  =  ( C  -  ( ( B ^ 2 )  /  3 ) ) )
211208, 210eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( M  / 
3 )  =  ( C  -  ( ( B ^ 2 )  /  3 ) ) )
212211oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  =  ( ( C  -  (
( B ^ 2 )  /  3 ) )  x.  X ) )
2135, 209, 41subdird 9252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( B ^
2 )  /  3
) )  x.  X
)  =  ( ( C  x.  X )  -  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  x.  X ) ) )
214209, 41mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  X
)  =  ( X  x.  ( ( B ^ 2 )  / 
3 ) ) )
2154sqvali 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3 ^ 2 )  =  ( 3  x.  3 )
216215oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B ^ 2 )  /  ( 3 ^ 2 ) )  =  ( ( B ^
2 )  /  (
3  x.  3 ) )
2172, 10, 12sqdivd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  /  ( 3 ^ 2 ) ) )
2183, 10, 10, 12, 12divdiv1d 9583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  /  3
)  =  ( ( B ^ 2 )  /  ( 3  x.  3 ) ) )
219216, 217, 2183eqtr4a 2354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  /  3 ) )
220219oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) )  =  ( 3  x.  ( ( ( B ^ 2 )  /  3 )  / 
3 ) ) )
221209, 10, 12divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( ( B ^
2 )  /  3
)  /  3 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  /  3 ) )
222220, 221eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  /  3 ) )
223222oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
3  x.  ( ( B  /  3 ) ^ 2 ) ) )  =  ( X  x.  ( ( B ^ 2 )  / 
3 ) ) )
22441, 10, 189mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  (
3  x.  ( ( B  /  3 ) ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )
225214, 223, 2243eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  X
)  =  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )
226225oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  -  (
( ( B ^
2 )  /  3
)  x.  X ) )  =  ( ( C  x.  X )  -  ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) ) ) )
227212, 213, 2263eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) ) )
228211oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  =  ( ( C  -  (
( B ^ 2 )  /  3 ) )  x.  ( B  /  3 ) ) )
2295, 209, 42subdird 9252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  ( ( B ^
2 )  /  3
) )  x.  ( B  /  3 ) )  =  ( ( C  x.  ( B  / 
3 ) )  -  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( B  /  3 ) ) ) )
2305, 2, 10, 12divassd 9587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  /  3
)  =  ( C  x.  ( B  / 
3 ) ) )
2315, 2mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
232231oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  /  3
)  =  ( ( B  x.  C )  /  3 ) )
233230, 232eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( B  /  3 ) )  =  ( ( B  x.  C )  / 
3 ) )
2343, 10, 2, 10, 12, 12divmuldivd 9593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( B  /  3 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  B )  / 
( 3  x.  3 ) ) )
235 df-3 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =  ( 2  +  1 )
236235oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
237 expp1 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
2382, 28, 237sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
239236, 238syl5req 2341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
2 )  x.  B
)  =  ( B ^ 3 ) )
240162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  3 )  =  9 )
241239, 240oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  x.  B )  /  (
3  x.  3 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  /  9 ) )
242234, 241eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B ^ 2 )  / 
3 )  x.  ( B  /  3 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) )
243233, 242oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( B  /  3
) )  -  (
( ( B ^
2 )  /  3
)  x.  ( B  /  3 ) ) )  =  ( ( ( B  x.  C
)  /  3 )  -  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) ) )
244228, 229, 2433eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  =  ( ( ( B  x.  C )  /  3
)  -  ( ( B ^ 3 )  /  9 ) ) )
24515oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  / ; 2 7 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  D
) )  / ; 2 7 ) )
24627, 34, 37, 39divdird 9590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  (; 2 7  x.  D
) )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  / ; 2 7 )  +  ( (; 2
7  x.  D )  / ; 2 7 ) ) )
24721, 26, 37, 39divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C )
) )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 9  x.  ( B  x.  C ) )  / ; 2 7 ) ) )
248 9t3e27 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 9  x.  3 )  = ; 2
7
249248oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 9  x.  ( B  x.  C ) )  /  ( 9  x.  3 ) )  =  ( ( 9  x.  ( B  x.  C
) )  / ; 2 7 )
25024, 10, 105, 12, 107divcan5d 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  ( B  x.  C
) )  /  (
9  x.  3 ) )  =  ( ( B  x.  C )  /  3 ) )
251249, 250syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 9  x.  ( B  x.  C
) )  / ; 2 7 )  =  ( ( B  x.  C )  /  3
) )
252251oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 9  x.  ( B  x.  C ) )  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) ) )
253247, 252eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C )
) )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3 ) ) )
25432, 37, 39divcan3d 9557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (; 2 7  x.  D
)  / ; 2 7 )  =  D )
255253, 254oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 9  x.  ( B  x.  C
) ) )  / ; 2 7 )  +  ( (; 2
7  x.  D )  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) )
256245, 246, 2553eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  / ; 2 7 )  =  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) )
257244, 256oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( ( B  x.  C
)  /  3 )  -  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) ) )
25819, 105, 107divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
3 )  /  9
)  e.  CC )
25921, 37, 39divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  e.  CC )
260258, 259negsubdi2d 9189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( B ^ 3 )  /  9 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B ^
3 )  /  9
) ) )
2612, 10, 12, 61expdivd 11275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 )  =  ( ( B ^ 3 )  /  ( 3 ^ 3 ) ) )
26264oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B ^ 3 )  /  ( 3 ^ 3 ) )  =  ( ( B ^
3 )  / ; 2 7 )
263 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
2644, 16, 263, 54subaddrii 9151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 3  -  2 )  =  1
265264oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 3  -  2 )  x.  ( B ^
3 ) )  =  ( 1  x.  ( B ^ 3 ) )
26619mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( B ^ 3 ) )  =  ( B ^
3 ) )
267265, 266syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 3  -  2 )  x.  ( B ^ 3 ) )  =  ( B ^
3 ) )
26810, 69, 19subdird 9252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 3  -  2 )  x.  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
269267, 268eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( B ^ 3 )  =  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  -  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
270269oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
3 )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) ) )  / ; 2 7 ) )
271 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( B ^ 3 )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
2724, 19, 271sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
273272, 21, 37, 39divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  -  ( 2  x.  ( B ^ 3 ) ) )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
274270, 273eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
3 )  / ; 2 7 )  =  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
275262, 274syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B ^
3 )  /  (
3 ^ 3 ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
27623, 4, 248mulcomli 8860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  x.  9 )  = ; 2
7
277276oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  /  ( 3  x.  9 ) )  =  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )
27819, 105, 10, 107, 12divcan5d 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  /  (
3  x.  9 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  /  9 ) )
279277, 278syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  =  ( ( B ^
3 )  /  9
) )
280279oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( B ^ 3 )  /  9 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
281261, 275, 2803eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 )  =  ( ( ( B ^ 3 )  /  9 )  -  ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
282281negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B  /  3 ) ^
3 )  =  -u ( ( ( B ^ 3 )  / 
9 )  -  (
( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 ) ) )
28324, 10, 12divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  C )  /  3
)  e.  CC )
284283, 258, 259npncan3d 9209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  x.  C )  /  3 )  -  ( ( B ^
3 )  /  9
) )  +  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B ^ 3 )  /  9 ) ) )
285260, 282, 2843eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B  /  3 ) ^
3 )  =  ( ( ( ( B  x.  C )  / 
3 )  -  (
( B ^ 3 )  /  9 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) ) ) )
286285oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( B  /  3 ) ^ 3 )  +  D )  =  ( ( ( ( ( B  x.  C )  /  3 )  -  ( ( B ^
3 )  /  9
) )  +  ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) ) )  +  D ) )
287193negcld 9160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B  /  3 ) ^
3 )  e.  CC )
288287, 32addcomd 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( B  /  3 ) ^ 3 )  +  D )  =  ( D  +  -u (
( B  /  3
) ^ 3 ) ) )
289244, 201eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  C )  / 
3 )  -  (
( B ^ 3 )  /  9 ) )  e.  CC )
290259, 283subcld 9173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3 ) )  e.  CC )
291289, 290, 32addassd 8873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( B  x.  C
)  /  3 )  -  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) )  +  ( ( ( 2  x.  ( B ^
3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3 ) ) )  +  D )  =  ( ( ( ( B  x.  C
)  /  3 )  -  ( ( B ^ 3 )  / 
9 ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) ) )
292286, 288, 2913eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  +  -u ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( B  x.  C )  / 
3 )  -  (
( B ^ 3 )  /  9 ) )  +  ( ( ( ( 2  x.  ( B ^ 3 ) )  / ; 2 7 )  -  ( ( B  x.  C )  /  3
) )  +  D
) ) )
29332, 193negsubd 9179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  +  -u ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  =  ( D  -  ( ( B  /  3 ) ^ 3 ) ) )
294257, 292, 2933eqtr2d 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( D  -  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) ) )
295227, 294oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  X )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( B  /  3
) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( C  x.  X
)  -  ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( D  -  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) ) ) )
296199, 202, 2953eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( C  x.  X )  -  ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) ) )  +  ( D  -  (
( B  /  3
) ^ 3 ) ) ) )
2975, 41mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  X
)  e.  CC )
298297, 32, 191, 193addsub4d 9220 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  -  (
( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( C  x.  X )  -  ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) ) )  +  ( D  -  (
( B  /  3
) ^ 3 ) ) ) )
299296, 298eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) )  =  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  -  ( ( 3  x.  ( X  x.  (
( B  /  3
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  /  3
) ^ 3 ) ) ) )
300299oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) )  +  ( ( ( C  x.  X )  +  D )  -  (
( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) ) ) )
301297, 32addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  X )  +  D
)  e.  CC )
302194, 301pncan3d 9176 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  +  ( ( ( C  x.  X )  +  D
)  -  ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) ) ) )  =  ( ( C  x.  X )  +  D ) )
303300, 302eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  / 
3 ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( B  / 
3 ) ^ 3 ) )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( C  x.  X )  +  D ) )
304303oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 3  x.  ( X  x.  ( ( B  /  3 ) ^
2 ) ) )  +  ( ( B  /  3 ) ^
3 ) )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) ) )  =  ( ( ( X ^
3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
305184, 197, 3043eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( B  / 
3 ) ) ^
3 )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^
2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) ) )
306305eqeq1d 2304 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( B  /  3 ) ) ^ 3 )  +  ( ( -u ( M  /  3 )  x.  ( X  +  ( B  /  3 ) ) )  +  ( N  / ; 2 7 ) ) )  =  0  <->  (
( ( X ^
3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X )  +  D ) )  =  0 ) )
307 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
308 0exp 11153 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
30947, 308ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
310307, 309syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
311 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
312311necomi 2541 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
313312a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( r  =  0  ->  0  =/=  1 )
314310, 313eqnetrd 2477 . . . . . 6  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =/=  1 )
315314necon2i 2506 . . . . 5  |-  ( ( r ^ 3 )  =  1  ->  r  =/=  0 )
316 eqcom 2298 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 )  <->  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 )  =  X )
3172adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  B  e.  CC )
318 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
r  e.  CC )
31944adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  T  e.  CC )
320318, 319mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  T
)  e.  CC )
3219adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  M  e.  CC )
322 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
r  =/=  0 )
323169adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  T  =/=  0 )
324318, 319, 322, 323mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  T
)  =/=  0 )
325321, 320, 324divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  (
r  x.  T ) )  e.  CC )
326320, 325addcld 8870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  e.  CC )
3274a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
3  e.  CC )
32811a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
3  =/=  0 )
329317, 326, 327, 328divdird 9590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  +  ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )  /  3
)  =  ( ( B  /  3 )  +  ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) )
330317, 320, 325addassd 8873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  =  ( B  +  ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) ) ) )
331330oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( ( B  +  ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) )  /  3 ) )
33242adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( B  /  3
)  e.  CC )
333326, 327, 328divcld 9552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  e.  CC )
334332, 333subnegd 9180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  / 
3 )  -  -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) )  =  ( ( B  /  3 )  +  ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) )
335329, 331, 3343eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( ( B  /  3 )  -  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) )
336335negeqd 9062 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  -u (
( B  /  3
)  -  -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) ) )
337333negcld 9160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  e.  CC )
338332, 337negsubdi2d 9189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( B  / 
3 )  -  -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) )  =  ( -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  -  ( B  /  3 ) ) )
339336, 338eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  -  ( B  /  3 ) ) )
340339eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 )  =  X  <-> 
( -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 )  -  ( B  /  3 ) )  =  X ) )
341316, 340syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  <->  ( -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 )  -  ( B  / 
3 ) )  =  X ) )
34241adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  X  e.  CC )
343337, 332, 342subadd2d 9192 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( -u (
( ( r  x.  T )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 )  -  ( B  / 
3 ) )  =  X  <->  ( X  +  ( B  /  3
) )  =  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
) ) )
344320, 325, 327, 328divdird 9590 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( ( ( r  x.  T
)  /  3 )  +  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  / 
3 ) ) )
345344negeqd 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  -u (
( ( r  x.  T )  /  3
)  +  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  3 ) ) )
346320, 327, 328divcld 9552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  /  3
)  e.  CC )
347325, 327, 328divcld 9552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  3
)  e.  CC )
348346, 347negdi2d 9187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( r  x.  T )  / 
3 )  +  ( ( M  /  (
r  x.  T ) )  /  3 ) )  =  ( -u ( ( r  x.  T )  /  3
)  -  ( ( M  /  ( r  x.  T ) )  /  3 ) ) )
349318, 319, 327, 328divassd 9587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  /  3
)  =  ( r  x.  ( T  / 
3 ) ) )
350349negeqd 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( r  x.  T )  /  3
)  =  -u (
r  x.  ( T  /  3 ) ) )
35145adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( T  /  3
)  e.  CC )
352318, 351mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  =  -u ( r  x.  ( T  /  3
) ) )
353350, 352eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( r  x.  T )  /  3
)  =  ( r  x.  -u ( T  / 
3 ) ) )
354321, 320, 327, 324, 328divdiv32d 9577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  3
)  =  ( ( M  /  3 )  /  ( r  x.  T ) ) )
35513adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  3
)  e.  CC )
356355, 320, 327, 324, 328divcan7d 9580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( M  /  3 )  / 
3 )  /  (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( ( M  /  3 )  /  ( r  x.  T ) ) )
357164oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  /  3 )  / 
3 )  /  (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( ( M  /  9 )  /  ( ( r  x.  T )  / 
3 ) ) )
358357adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( M  /  3 )  / 
3 )  /  (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( ( M  /  9 )  /  ( ( r  x.  T )  / 
3 ) ) )
359354, 356, 3583eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  3
)  =  ( ( M  /  9 )  /  ( ( r  x.  T )  / 
3 ) ) )
360127adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( M  /  9
)  e.  CC )
361320, 327, 324, 328divne0d 9568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( r  x.  T )  /  3
)  =/=  0 )
362360, 346, 361div2negd 9567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( -u ( M  / 
9 )  /  -u (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( ( M  /  9 )  /  ( ( r  x.  T )  / 
3 ) ) )
363353oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( -u ( M  / 
9 )  /  -u (
( r  x.  T
)  /  3 ) )  =  ( -u ( M  /  9
)  /  ( r  x.  -u ( T  / 
3 ) ) ) )
364359, 362, 3633eqtr2d 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( M  / 
( r  x.  T
) )  /  3
)  =  ( -u ( M  /  9
)  /  ( r  x.  -u ( T  / 
3 ) ) ) )
365353, 364oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( -u ( ( r  x.  T )  / 
3 )  -  (
( M  /  (
r  x.  T ) )  /  3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) )
366345, 348, 3653eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  ->  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) )
367366eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  +  ( B  /  3
) )  =  -u ( ( ( r  x.  T )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
)  <->  ( X  +  ( B  /  3
) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) ) )
368341, 343, 3673bitrrd 271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  CC  /\  r  =/=  0 ) )  -> 
( ( X  +  ( B  /  3
) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) )  <->  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
) ) )
369368anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  r  =/=  0 )  ->  (
( X  +  ( B  /  3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) )  <->  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
) ) )
370315, 369sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
r ^ 3 )  =  1 )  -> 
( ( X  +  ( B  /  3
) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) )  <->  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  /  (
r  x.  T ) ) )  /  3
) ) )
371370pm5.32da 622 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  ( X  +  ( B  /  3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3 ) )  -  ( -u ( M  /  9 )  / 
( r  x.  -u ( T  /  3 ) ) ) ) )  <->  ( (
r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) ) )
372371rexbidva 2573 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  ( X  +  ( B  / 
3 ) )  =  ( ( r  x.  -u ( T  /  3
) )  -  ( -u ( M  /  9
)  /  ( r  x.  -u ( T  / 
3 ) ) ) ) )  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  = 
-u ( ( ( B  +  ( r  x.  T ) )  +  ( M  / 
( r  x.  T
) ) )  / 
3 ) ) ) )
373172, 306, 3723bitr3d 274 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X ^ 3 )  +  ( B  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( C  x.  X
)  +  D ) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  -u (
( ( B  +  ( r  x.  T
) )  +  ( M  /  ( r  x.  T ) ) )  /  3 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   7c7 9816   9c9 9818   NN0cn0 9981  ;cdc 10140   ^cexp 11120    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  cubic2  20160  quart  20173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548
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