Theorem mdbr2 10223

Description: Binary relation expressing the modular pair property. This version has a weaker constraint than mdbrt 10221.

Assertion

Ref	Expression
mdbr2	|- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH B <-> A.x e. CH (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B)))))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem mdbr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbrt 10221	. 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH B <-> A.x e. CH (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)))))
2		iba 642	. . . . . . . . . 10 |- (x (_ B -> (x (_ (x vH A) <-> (x (_ (x vH A) /\ x (_ B)))
3		ssin 2232	. . . . . . . . . 10 |- ((x (_ (x vH A) /\ x (_ B) <-> x (_ ((x vH A) i^i B))
4	2, 3	syl6bb 536	. . . . . . . . 9 |- (x (_ B -> (x (_ (x vH A) <-> x (_ ((x vH A) i^i B)))
5		chub1t 9430	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CH /\ A e. CH) -> x (_ (x vH A))
6	5	ancoms 436	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> x (_ (x vH A))
7	4, 6	syl5cbi 209	. . . . . . . 8 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (x (_ B -> x (_ ((x vH A) i^i B)))
8		chub2t 9431	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> A (_ (x vH A))
9		ssrin 2234	. . . . . . . . 9 |- (A (_ (x vH A) -> (A i^i B) (_ ((x vH A) i^i B))
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (A i^i B) (_ ((x vH A) i^i B))
11	7, 10	jctird 602	. . . . . . 7 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (x (_ B -> (x (_ ((x vH A) i^i B) /\ (A i^i B) (_ ((x vH A) i^i B))))
12	11	adantlr 393	. . . . . 6 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> (x (_ B -> (x (_ ((x vH A) i^i B) /\ (A i^i B) (_ ((x vH A) i^i B))))
13		chlubt 9432	. . . . . . 7 |- ((x e. CH /\ (A i^i B) e. CH /\ ((x vH A) i^i B) e. CH) -> ((x (_ ((x vH A) i^i B) /\ (A i^i B) (_ ((x vH A) i^i B)) <-> (x vH (A i^i B)) (_ ((x vH A) i^i B)))
14		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> x e. CH)
15		chinclt 9422	. . . . . . . 8 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A i^i B) e. CH)
16	15	adantr 389	. . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> (A i^i B) e. CH)
17		chinclt 9422	. . . . . . . . 9 |- (((x vH A) e. CH /\ B e. CH) -> ((x vH A) i^i B) e. CH)
18		chjclt 9329	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CH /\ A e. CH) -> (x vH A) e. CH)
19	18	ancoms 436	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (x vH A) e. CH)
20	17, 19	sylan 448	. . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ x e. CH) /\ B e. CH) -> ((x vH A) i^i B) e. CH)
21	20	an1rs 489	. . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> ((x vH A) i^i B) e. CH)
22	13, 14, 16, 21	syl3anc 858	. . . . . 6 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> ((x (_ ((x vH A) i^i B) /\ (A i^i B) (_ ((x vH A) i^i B)) <-> (x vH (A i^i B)) (_ ((x vH A) i^i B)))
23	12, 22	sylibd 202	. . . . 5 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> (x (_ B -> (x vH (A i^i B)) (_ ((x vH A) i^i B)))
24		iba 642	. . . . . 6 |- ((x vH (A i^i B)) (_ ((x vH A) i^i B) -> (((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B)) <-> (((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B)) /\ (x vH (A i^i B)) (_ ((x vH A) i^i B))))
25		eqss 2077	. . . . . 6 |- (((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)) <-> (((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B)) /\ (x vH (A i^i B)) (_ ((x vH A) i^i B)))
26	24, 25	syl6rbbr 539	. . . . 5 |- ((x vH (A i^i B)) (_ ((x vH A) i^i B) -> (((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)) <-> ((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B))))
27	23, 26	syl6 22	. . . 4 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> (x (_ B -> (((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B)) <-> ((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B)))))
28	27	pm5.74d 585	. . 3 |- (((A e. CH /\ B e. CH) /\ x e. CH) -> ((x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))) <-> (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B)))))
29	28	ralbidva 1659	. 2 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A.x e. CH (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) = (x vH (A i^i B))) <-> A.x e. CH (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B)))))
30	1, 29	bitrd 528	1 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH B <-> A.x e. CH (x (_ B -> ((x vH A) i^i B) (_ (x vH (A i^i B)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   i^i cin 2046   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CHcch 8798   vH chj 8802   MH cmd 8835

This theorem is referenced by:  mdbr4 10225  mdsl0 10237  ssmd1 10238  ssmd2 10239  mdslmd1 10256  mdslmd3 10259  mdexch 10262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-hlim 8841  df-hcau 8842  df-sh 9076  df-ch 9092  df-oc 9124  df-ch0 9125  df-shsum 9273  df-chj 9275  df-md 10207

Copyright terms: Public domain