Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegfval Structured version   Unicode version

Theorem mdegfval 19975
 Description: Value of the multivariate degree function. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d mDeg
mdegval.p mPoly
mdegval.b
mdegval.z
mdegval.a
mdegval.h fld g
Assertion
Ref Expression
mdegfval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem mdegfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegval.d . 2 mDeg
2 oveq12 6082 . . . . . . . . 9 mPoly mPoly
3 mdegval.p . . . . . . . . 9 mPoly
42, 3syl6eqr 2485 . . . . . . . 8 mPoly
54fveq2d 5724 . . . . . . 7 mPoly
6 mdegval.b . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2485 . . . . . 6 mPoly
8 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14
9 mdegval.z . . . . . . . . . . . . . 14
108, 9syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . 13
1110sneqd 3819 . . . . . . . . . . . 12
1211difeq2d 3457 . . . . . . . . . . 11
1312imaeq2d 5195 . . . . . . . . . 10
1413mpteq1d 4282 . . . . . . . . 9 fld g fld g
1514rneqd 5089 . . . . . . . 8 fld g fld g
1615supeq1d 7443 . . . . . . 7 fld g fld g
1716adantl 453 . . . . . 6 fld g fld g
187, 17mpteq12dv 4279 . . . . 5 mPoly fld g fld g
19 df-mdeg 19968 . . . . 5 mDeg mPoly fld g
20 fvex 5734 . . . . . . 7
216, 20eqeltri 2505 . . . . . 6
2221mptex 5958 . . . . 5 fld g
2318, 19, 22ovmpt2a 6196 . . . 4 mDeg fld g
24 mdegval.h . . . . . . . . . 10 fld g
2524reseq1i 5134 . . . . . . . . 9 fld g
26 cnvimass 5216 . . . . . . . . . . 11
27 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
28 mdegval.a . . . . . . . . . . . . 13
29 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
303, 27, 6, 28, 29mplelf 16487 . . . . . . . . . . . 12
31 fdm 5587 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11
3326, 32syl5sseq 3388 . . . . . . . . . 10
34 resmpt 5183 . . . . . . . . . 10 fld g fld g
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9 fld g fld g
3625, 35syl5req 2480 . . . . . . . 8 fld g
3736rneqd 5089 . . . . . . 7 fld g
38 df-ima 4883 . . . . . . 7
3937, 38syl6eqr 2485 . . . . . 6 fld g
4039supeq1d 7443 . . . . 5 fld g
4140mpteq2dva 4287 . . . 4 fld g
4223, 41eqtrd 2467 . . 3 mDeg
43 reldmmdeg 19970 . . . . . 6 mDeg
4443ovprc 6100 . . . . 5 mDeg
45 mpt0 5564 . . . . 5
4644, 45syl6eqr 2485 . . . 4 mDeg
47 reldmmpl 16481 . . . . . . . . 9 mPoly
4847ovprc 6100 . . . . . . . 8 mPoly
493, 48syl5eq 2479 . . . . . . 7
5049fveq2d 5724 . . . . . 6
51 base0 13496 . . . . . 6
5250, 6, 513eqtr4g 2492 . . . . 5
5352mpteq1d 4282 . . . 4
5446, 53eqtr4d 2470 . . 3 mDeg
5542, 54pm2.61i 158 . 2 mDeg
561, 55eqtri 2455 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  c0 3620  csn 3806   cmpt 4258  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010  cfn 7101  csup 7437  cxr 9109   clt 9110  cn 9990  cn0 10211  cbs 13459  c0g 13713   g cgsu 13714   mPoly cmpl 16398  ℂfldccnfld 16693   mDeg cmdg 19966 This theorem is referenced by:  mdegval  19976  mdegxrf  19981  mdegpropd  19997 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-psr 16407  df-mpl 16409  df-mdeg 19968
 Copyright terms: Public domain W3C validator