Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegle0 Structured version   Unicode version

Theorem mdegle0 20005
 Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegle0.b
mdegle0.a algSc
mdegle0.f
Assertion
Ref Expression
mdegle0

Proof of Theorem mdegle0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegle0.f . . 3
2 0xr 9136 . . 3
3 mdegaddle.d . . . 4 mDeg
4 mdegaddle.y . . . 4 mPoly
5 mdegle0.b . . . 4
6 eqid 2438 . . . 4
7 eqid 2438 . . . 4
8 eqid 2438 . . . 4 fld g fld g
93, 4, 5, 6, 7, 8mdegleb 19992 . . 3 fld g
101, 2, 9sylancl 645 . 2 fld g
11 mdegaddle.i . . . . . . . . . 10
127, 8tdeglem1 19986 . . . . . . . . . 10 fld g
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9 fld g
1413ffvelrnda 5873 . . . . . . . 8 fld g
15 nn0re 10235 . . . . . . . . 9 fld g fld g
16 nn0ge0 10252 . . . . . . . . 9 fld g fld g
1715, 16jca 520 . . . . . . . 8 fld g fld g fld g
18 ne0gt0 9183 . . . . . . . 8 fld g fld g fld g fld g
1914, 17, 183syl 19 . . . . . . 7 fld g fld g
207, 8tdeglem4 19988 . . . . . . . . 9 fld g
2111, 20sylan 459 . . . . . . . 8 fld g
2221necon3abid 2636 . . . . . . 7 fld g
2319, 22bitr3d 248 . . . . . 6 fld g
2423imbi1d 310 . . . . 5 fld g
25 eqeq2 2447 . . . . . . . 8
2625bibi1d 312 . . . . . . 7
27 eqeq2 2447 . . . . . . . 8
2827bibi1d 312 . . . . . . 7
29 fveq2 5731 . . . . . . . . 9
30 pm2.24 104 . . . . . . . . 9
3129, 302thd 233 . . . . . . . 8
3231adantl 454 . . . . . . 7
33 biimt 327 . . . . . . . 8
3433adantl 454 . . . . . . 7
3526, 28, 32, 34ifbothda 3771 . . . . . 6
3635adantr 453 . . . . 5
3724, 36bitr4d 249 . . . 4 fld g
3837ralbidva 2723 . . 3 fld g
39 eqid 2438 . . . . . . 7
404, 39, 5, 7, 1mplelf 16502 . . . . . 6
4140feqmptd 5782 . . . . 5
42 mdegle0.a . . . . . 6 algSc
43 mdegaddle.r . . . . . 6
447psrbag0 16559 . . . . . . . 8
4511, 44syl 16 . . . . . . 7
4640, 45ffvelrnd 5874 . . . . . 6
474, 7, 6, 39, 42, 11, 43, 46mplascl 16561 . . . . 5
4841, 47eqeq12d 2452 . . . 4
49 fvex 5745 . . . . . 6
5049rgenw 2775 . . . . 5
51 mpteqb 5822 . . . . 5
5250, 51mp1i 12 . . . 4
5348, 52bitrd 246 . . 3
5438, 53bitr4d 249 . 2 fld g
5510, 54bitrd 246 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  crab 2711  cvv 2958  cif 3741  csn 3816   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879  ccnv 4880  cima 4884  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmap 7021  cfn 7112  cr 8994  cc0 8995  cxr 9124   clt 9125   cle 9126  cn 10005  cn0 10226  cbs 13474  c0g 13728   g cgsu 13729  crg 15665  algSccascl 16376   mPoly cmpl 16413  ℂfldccnfld 16708   mDeg cmdg 19981 This theorem is referenced by:  deg1le0  20039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-ascl 16379  df-psr 16422  df-mpl 16424  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983
 Copyright terms: Public domain W3C validator