MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Unicode version

Theorem mdeglt 19990
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mdegval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdegval.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
mdegval.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
mdeglt.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
medglt.x  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
mdeglt.lt  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <  ( H `  X ) )
Assertion
Ref Expression
mdeglt  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
Distinct variable groups:    A, h    m, I    .0. , h    h, I, m
Allowed substitution hints:    ph( h, m)    A( m)    B( h, m)    D( h, m)    P( h, m)    R( h, m)    F( h, m)    H( h, m)    X( h, m)    .0. ( m)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <  ( H `  X ) )
2 medglt.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
3 mdeglt.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
4 mdegval.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( I mDeg  R )
5 mdegval.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( I mPoly  R )
6 mdegval.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 mdegval.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
8 mdegval.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
9 mdegval.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
104, 5, 6, 7, 8, 9mdegval 19988 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
113, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  sup (
( H " ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
12 imassrn 5218 . . . . . . . 8  |-  ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) 
C_  ran  H
135, 6mplrcl 16552 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  B  ->  I  e.  _V )
148, 9tdeglem1 19983 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  H : A --> NN0 )
15 frn 5599 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : A --> NN0  ->  ran 
H  C_  NN0 )
163, 13, 14, 154syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  NN0 )
17 nn0ssre 10227 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
18 ressxr 9131 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
1917, 18sstri 3359 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
2016, 19syl6ss 3362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  H  C_  RR* )
2112, 20syl5ss 3361 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H " ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  RR* )
22 supxrcl 10895 . . . . . . 7  |-  ( ( H " ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  C_  RR* 
->  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
2411, 23eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
25 xrleid 10745 . . . . 5  |-  ( ( D `  F )  e.  RR*  ->  ( D `
 F )  <_ 
( D `  F
) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  ( D `  F ) )
274, 5, 6, 7, 8, 9mdegleb 19989 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  F
)  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  A  ( ( D `  F )  <  ( H `  x
)  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) ) )
283, 24, 27syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  A  ( ( D `  F
)  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) ) )
2926, 28mpbid 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( D `  F )  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x
)  =  .0.  )
)
30 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( H `  x )  =  ( H `  X ) )
3130breq2d 4226 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( D `  F
)  <  ( H `  x )  <->  ( D `  F )  <  ( H `  X )
) )
32 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( F `  x )  =  ( F `  X ) )
3332eqeq1d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( F `  x
)  =  .0.  <->  ( F `  X )  =  .0.  ) )
3431, 33imbi12d 313 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( D `  F )  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x
)  =  .0.  )  <->  ( ( D `  F
)  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X )  =  .0.  ) ) )
3534rspcva 3052 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( ( D `  F
)  <  ( H `  x )  ->  ( F `  x )  =  .0.  ) )  -> 
( ( D `  F )  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
)
362, 29, 35syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  <  ( H `  X )  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
)
371, 36mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   ran crn 4881   "cima 4883   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   supcsup 7447   RRcr 8991   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   NN0cn0 10223   Basecbs 13471   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726   mPoly cmpl 16410  ℂfldccnfld 16705   mDeg cmdg 19978
This theorem is referenced by:  mdegaddle  19999  mdegvscale  20000  mdegmullem  20003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-psr 16419  df-mpl 16421  df-cnfld 16706  df-mdeg 19980
  Copyright terms: Public domain W3C validator