MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegval Unicode version

Theorem mdegval 19939
Description: Value of the multivariate degree function at some particular polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mdegval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdegval.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
mdegval.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
mdegval  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
Distinct variable groups:    A, h    m, I    .0. , h
Allowed substitution hints:    A( m)    B( h, m)    D( h, m)    P( h, m)    R( h, m)    F( h, m)    H( h, m)    I( h)    .0. ( m)

Proof of Theorem mdegval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 5005 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21imaeq1d 5161 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
32imaeq2d 5162 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( H " ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
43supeq1d 7409 . 2  |-  ( f  =  F  ->  sup ( ( H "
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
5 mdegval.d . . 3  |-  D  =  ( I mDeg  R )
6 mdegval.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
7 mdegval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 mdegval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mdegval.a . . 3  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
10 mdegval.h . . 3  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
115, 6, 7, 8, 9, 10mdegfval 19938 . 2  |-  D  =  ( f  e.  B  |->  sup ( ( H
" ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12 xrltso 10690 . . 3  |-  <  Or  RR*
1312supex 7424 . 2  |-  sup (
( H " ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
_V
144, 11, 13fvmpt 5765 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   {csn 3774    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   supcsup 7403   RR*cxr 9075    < clt 9076   NNcn 9956   NN0cn0 10177   Basecbs 13424   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679   mPoly cmpl 16363  ℂfldccnfld 16658   mDeg cmdg 19929
This theorem is referenced by:  mdegleb  19940  mdeglt  19941  mdegldg  19942  mdegxrcl  19943  mdegcl  19945  mdeg0  19946  mdegvsca  19952  deg1val  19972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-psr 16372  df-mpl 16374  df-mdeg 19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator