MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegval Unicode version

Theorem mdegval 19553
Description: Value of the multivariate degree function at some particular polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mdegval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdegval.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
mdegval.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
mdegval  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
Distinct variable groups:    A, h    m, I    .0. , h
Allowed substitution hints:    A( m)    B( h, m)    D( h, m)    P( h, m)    R( h, m)    F( h, m)    H( h, m)    I( h)    .0. ( m)

Proof of Theorem mdegval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 4937 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21imaeq1d 5093 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
32imaeq2d 5094 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( H " ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
43supeq1d 7289 . 2  |-  ( f  =  F  ->  sup ( ( H "
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
5 mdegval.d . . 3  |-  D  =  ( I mDeg  R )
6 mdegval.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
7 mdegval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 mdegval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mdegval.a . . 3  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
10 mdegval.h . . 3  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
115, 6, 7, 8, 9, 10mdegfval 19552 . 2  |-  D  =  ( f  e.  B  |->  sup ( ( H
" ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12 xrltso 10567 . . 3  |-  <  Or  RR*
1312supex 7304 . 2  |-  sup (
( H " ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
_V
144, 11, 13fvmpt 5685 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   {crab 2623   _Vcvv 2864    \ cdif 3225   {csn 3716    e. cmpt 4158   `'ccnv 4770   "cima 4774   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    ^m cmap 6860   Fincfn 6951   supcsup 7283   RR*cxr 8956    < clt 8957   NNcn 9836   NN0cn0 10057   Basecbs 13245   0gc0g 13499    gsumg cgsu 13500   mPoly cmpl 16188  ℂfldccnfld 16482   mDeg cmdg 19543
This theorem is referenced by:  mdegleb  19554  mdeglt  19555  mdegldg  19556  mdegxrcl  19557  mdegcl  19559  mdeg0  19560  mdegvsca  19566  deg1val  19586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-psr 16197  df-mpl 16199  df-mdeg 19545
  Copyright terms: Public domain W3C validator