MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegval Structured version   Unicode version

Theorem mdegval 19991
Description: Value of the multivariate degree function at some particular polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegval.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegval.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mdegval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mdegval.a  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
mdegval.h  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
Assertion
Ref Expression
mdegval  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
Distinct variable groups:    A, h    m, I    .0. , h
Allowed substitution hints:    A( m)    B( h, m)    D( h, m)    P( h, m)    R( h, m)    F( h, m)    H( h, m)    I( h)    .0. ( m)

Proof of Theorem mdegval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnveq 5049 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  `' f  =  `' F
)
21imaeq1d 5205 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( `' f " ( _V  \  {  .0.  }
) )  =  ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
32imaeq2d 5206 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  ( H " ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  =  ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
43supeq1d 7454 . 2  |-  ( f  =  F  ->  sup ( ( H "
( `' f "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
5 mdegval.d . . 3  |-  D  =  ( I mDeg  R )
6 mdegval.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
7 mdegval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 mdegval.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 mdegval.a . . 3  |-  A  =  { m  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' m " NN )  e.  Fin }
10 mdegval.h . . 3  |-  H  =  ( h  e.  A  |->  (fld 
gsumg  h ) )
115, 6, 7, 8, 9, 10mdegfval 19990 . 2  |-  D  =  ( f  e.  B  |->  sup ( ( H
" ( `' f
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12 xrltso 10739 . . 3  |-  <  Or  RR*
1312supex 7471 . 2  |-  sup (
( H " ( `' F " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
_V
144, 11, 13fvmpt 5809 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( H
" ( `' F " ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   "cima 4884   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   supcsup 7448   RR*cxr 9124    < clt 9125   NNcn 10005   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   0gc0g 13728    gsumg cgsu 13729   mPoly cmpl 16413  ℂfldccnfld 16708   mDeg cmdg 19981
This theorem is referenced by:  mdegleb  19992  mdeglt  19993  mdegldg  19994  mdegxrcl  19995  mdegcl  19997  mdeg0  19998  mdegvsca  20004  deg1val  20024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-psr 16422  df-mpl 16424  df-mdeg 19983
  Copyright terms: Public domain W3C validator