MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegxrcl Unicode version

Theorem mdegxrcl 19947
Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegxrcl.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegxrcl.p  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mdegxrcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
mdegxrcl  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )

Proof of Theorem mdegxrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegxrcl.d . . 3  |-  D  =  ( I mDeg  R )
2 mdegxrcl.p . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
3 mdegxrcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 eqid 2408 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
5 eqid 2408 . . 3  |-  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }
6 eqid 2408 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) )  =  ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 19943 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  =  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( `' F " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
8 imassrn 5179 . . . 4  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( `' F " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) )  C_  ran  ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) )
92, 3mplrcl 16509 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  I  e.  _V )
105, 6tdeglem1 19938 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  (
y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) : { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } --> NN0 )
11 frn 5560 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) : { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } --> NN0  ->  ran  ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) )  C_  NN0 )
129, 10, 113syl 19 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  ran  ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) )  C_  NN0 )
13 nn0ssre 10185 . . . . . 6  |-  NN0  C_  RR
14 ressxr 9089 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
1513, 14sstri 3321 . . . . 5  |-  NN0  C_  RR*
1612, 15syl6ss 3324 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  ran  ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) )  C_  RR* )
178, 16syl5ss 3323 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (
( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( `' F "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  C_  RR* )
18 supxrcl 10853 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  {
x  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' x " NN )  e.  Fin } 
|->  (fld 
gsumg  y ) ) "
( `' F "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( `' F " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  sup ( ( ( y  e.  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' x " NN )  e.  Fin }  |->  (fld  gsumg  y ) ) " ( `' F " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
207, 19eqeltrd 2482 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2674   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    C_ wss 3284   {csn 3778    e. cmpt 4230   `'ccnv 4840   ran crn 4842   "cima 4844   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    ^m cmap 6981   Fincfn 7072   supcsup 7407   RRcr 8949   RR*cxr 9079    < clt 9080   NNcn 9960   NN0cn0 10181   Basecbs 13428   0gc0g 13682    gsumg cgsu 13683   mPoly cmpl 16367  ℂfldccnfld 16662   mDeg cmdg 19933
This theorem is referenced by:  mdegxrf  19948  mdegaddle  19954  mdegvscale  19955  mdegmullem  19958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-hash 11578  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-cring 15623  df-ur 15624  df-psr 16376  df-mpl 16378  df-cnfld 16663  df-mdeg 19935
  Copyright terms: Public domain W3C validator