HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdsymi Structured version   Unicode version

Theorem mdsymi 23906
Description: M-symmetry of the Hilbert lattice. Lemma 5 of [Maeda] p. 168. (Contributed by NM, 3-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsym.1  |-  A  e. 
CH
mdsym.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
mdsymi  |-  ( A  MH  B  <->  B  MH  A )

Proof of Theorem mdsymi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdsym.1 . . . . 5  |-  A  e. 
CH
21chssii 22726 . . . 4  |-  A  C_  ~H
3 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  B )  =  0H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) )  =  ( _|_ `  0H ) )
4 mdsym.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
CH
54pjococi 22931 . . . . 5  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  B
) )  =  B
6 choc0 22820 . . . . 5  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H
73, 5, 63eqtr3g 2490 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  B )  =  0H  ->  B  =  ~H )
82, 7syl5sseqr 3389 . . 3  |-  ( ( _|_ `  B )  =  0H  ->  A  C_  B )
9 ssmd1 23806 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  A  C_  B )  ->  A  MH  B )
101, 4, 9mp3an12 1269 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  A  MH  B )
11 ssmd2 23807 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  A  C_  B )  ->  B  MH  A )
121, 4, 11mp3an12 1269 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  B  MH  A )
1310, 12jca 519 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  MH  B  /\  B  MH  A )
)
14 pm5.1 831 . . 3  |-  ( ( A  MH  B  /\  B  MH  A )  ->  ( A  MH  B  <->  B  MH  A ) )
158, 13, 143syl 19 . 2  |-  ( ( _|_ `  B )  =  0H  ->  ( A  MH  B  <->  B  MH  A ) )
164chssii 22726 . . . 4  |-  B  C_  ~H
17 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  A )  =  0H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  0H ) )
181pjococi 22931 . . . . 5  |-  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) )  =  A
1917, 18, 63eqtr3g 2490 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  A )  =  0H  ->  A  =  ~H )
2016, 19syl5sseqr 3389 . . 3  |-  ( ( _|_ `  A )  =  0H  ->  B  C_  A )
21 ssmd2 23807 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CH  /\  A  e.  CH  /\  B  C_  A )  ->  A  MH  B )
224, 1, 21mp3an12 1269 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  A  MH  B )
23 ssmd1 23806 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CH  /\  A  e.  CH  /\  B  C_  A )  ->  B  MH  A )
244, 1, 23mp3an12 1269 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  B  MH  A )
2522, 24jca 519 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A  MH  B  /\  B  MH  A )
)
2620, 25, 143syl 19 . 2  |-  ( ( _|_ `  A )  =  0H  ->  ( A  MH  B  <->  B  MH  A ) )
27 neanior 2683 . . 3  |-  ( ( ( _|_ `  B
)  =/=  0H  /\  ( _|_ `  A )  =/=  0H )  <->  -.  (
( _|_ `  B
)  =  0H  \/  ( _|_ `  A )  =  0H ) )
284choccli 22801 . . . . 5  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
291choccli 22801 . . . . 5  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
30 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  B )  vH  x )  =  ( ( _|_ `  B
)  vH  x )
3128, 29, 30mdsymlem8 23905 . . . 4  |-  ( ( ( _|_ `  B
)  =/=  0H  /\  ( _|_ `  A )  =/=  0H )  -> 
( ( _|_ `  A
)  MH*  ( _|_ `  B )  <->  ( _|_ `  B )  MH*  ( _|_ `  A ) ) )
32 mddmd 23796 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  MH  B  <->  ( _|_ `  A ) 
MH*  ( _|_ `  B
) ) )
331, 4, 32mp2an 654 . . . 4  |-  ( A  MH  B  <->  ( _|_ `  A )  MH*  ( _|_ `  B ) )
34 mddmd 23796 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( B  MH  A  <->  ( _|_ `  B ) 
MH*  ( _|_ `  A
) ) )
354, 1, 34mp2an 654 . . . 4  |-  ( B  MH  A  <->  ( _|_ `  B )  MH*  ( _|_ `  A ) )
3631, 33, 353bitr4g 280 . . 3  |-  ( ( ( _|_ `  B
)  =/=  0H  /\  ( _|_ `  A )  =/=  0H )  -> 
( A  MH  B  <->  B  MH  A ) )
3727, 36sylbir 205 . 2  |-  ( -.  ( ( _|_ `  B
)  =  0H  \/  ( _|_ `  A )  =  0H )  -> 
( A  MH  B  <->  B  MH  A ) )
3815, 26, 37ecase3 908 1  |-  ( A  MH  B  <->  B  MH  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ~Hchil 22414   CHcch 22424   _|_cort 22425    vH chj 22428   0Hc0h 22430    MH cmd 22461    MH* cdmd 22462
This theorem is referenced by:  mdsym  23907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579  ax-hcompl 22696
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-lm 17285  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cfil 19200  df-cau 19201  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-subgo 21882  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-dip 22189  df-ssp 22213  df-ph 22306  df-cbn 22357  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-hlim 22467  df-hcau 22468  df-sh 22701  df-ch 22716  df-oc 22746  df-ch0 22747  df-shs 22802  df-span 22803  df-chj 22804  df-chsup 22805  df-pjh 22889  df-cv 23774  df-md 23775  df-dmd 23776  df-at 23833
  Copyright terms: Public domain W3C validator