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Theorem mdsymlem3 23758
Description: Lemma for mdsymi 23764. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1  |-  A  e. 
CH
mdsymlem1.2  |-  B  e. 
CH
mdsymlem1.3  |-  C  =  ( A  vH  p
)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem3  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, C    q, p, r, A    B, p, q, r
Allowed substitution hint:    C( p)

Proof of Theorem mdsymlem3
StepHypRef Expression
1 atelch 23697 . . . . . 6  |-  ( p  e. HAtoms  ->  p  e.  CH )
2 mdsymlem1.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
CH
3 mdsymlem1.3 . . . . . . . 8  |-  C  =  ( A  vH  p
)
4 mdsymlem1.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
CH
5 chjcl 22709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  p  e.  CH )  ->  ( A  vH  p
)  e.  CH )
64, 5mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  CH  ->  ( A  vH  p )  e. 
CH )
73, 6syl5eqel 2473 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  CH  ->  C  e.  CH )
8 chincl 22851 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  i^i  C
)  e.  CH )
92, 7, 8sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( p  e.  CH  ->  ( B  i^i  C )  e. 
CH )
101, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( p  e. HAtoms  ->  ( B  i^i  C )  e.  CH )
11 chrelat2 23723 . . . . 5  |-  ( ( ( B  i^i  C
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( -.  ( B  i^i  C )  C_  A 
<->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )
1210, 4, 11sylancl 644 . . . 4  |-  ( p  e. HAtoms  ->  ( -.  ( B  i^i  C )  C_  A 
<->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )
1312biimpa 471 . . 3  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  ->  E. r  e. HAtoms  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )
1413ad2antrr 707 . 2  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )
15 ssin 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  <->  r  C_  ( B  i^i  C ) )
163sseq2i 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r 
C_  C  <->  r  C_  ( A  vH  p
) )
1716biimpi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r 
C_  C  ->  r  C_  ( A  vH  p
) )
1817adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  -> 
r  C_  ( A  vH  p ) )
1915, 18sylbir 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  ->  r  C_  ( A  vH  p
) )
204atcvat4i 23750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  r  C_  ( A  vH  p
) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2120exp4b 591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( r  C_  ( A  vH  p )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) ) ) ) ) )
2221com34 79 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( A  vH  p )  -> 
( A  =/=  0H  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) ) ) )
2322com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( A  vH  p
)  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  =/= 
0H  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) ) ) )
2423imp4b 574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  ( A  vH  p
) )  ->  (
( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2519, 24sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  r  C_  ( B  i^i  C
) )  ->  (
( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2625adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( ( p  e. HAtoms  /\  A  =/=  0H )  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2726com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  A  =/= 
0H )  ->  (
( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2827adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C ) 
C_  A )  /\  A  =/=  0H )  -> 
( ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) ) )
2928adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  ( ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) ) ) )
3029imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )
31 nssne2 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  C_  A  /\  -.  r  C_  A )  ->  q  =/=  r
)
3231adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  q  =/=  r )
33 atnemeq0 23730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  r  <->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
3433ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  r  <->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
3532, 34syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( (
q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
3635adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( (
q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  ( q  i^i  r )  =  0H ) )
38 atelch 23697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( q  e. HAtoms  ->  q  e.  CH )
39 chjcom 22858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  ( p  vH  q
)  =  ( q  vH  p ) )
401, 38, 39syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( p  vH  q )  =  ( q  vH  p ) )
4140adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( p  vH  q )  =  ( q  vH  p ) )
4241sseq2d 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  <->  r  C_  (
q  vH  p )
) )
43 atexch 23734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms
)  ->  ( (
r  C_  ( q  vH  p )  /\  (
q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) )
4438, 43syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( ( r  C_  ( q  vH  p
)  /\  ( q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
45443com13 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  q  e. HAtoms )  ->  ( ( r  C_  ( q  vH  p
)  /\  ( q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
46453expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( (
r  C_  ( q  vH  p )  /\  (
q  i^i  r )  =  0H )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) )
4746exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( q  vH  p
)  ->  ( (
q  i^i  r )  =  0H  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) )
4842, 47sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms
)  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( (
q  i^i  r )  =  0H  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) )
4948imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  i^i  r
)  =  0H  ->  p 
C_  ( q  vH  r ) ) )
5037, 49syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
( q  C_  A  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
5150exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  q  e. HAtoms )  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
q  C_  A  ->  ( ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) )
5251exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( q  C_  A  ->  ( (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  ( q  vH  r ) ) ) ) ) )
5352com24 83 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  C_  A  ->  ( r  C_  ( p  vH  q
)  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( r 
C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  ( q  vH  r
) ) ) ) ) )
5453imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  -> 
( q  e. HAtoms  ->  ( ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) ) )
5554com24 83 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  -> 
( q  e. HAtoms  ->  ( ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) ) ) )
5655imp4b 574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  -> 
( ( q  e. HAtoms  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
5756anasss 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  p  C_  (
q  vH  r )
) )
58 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  q  C_  A
)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  q  C_  A
) )
60 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  C_  B  /\  r  C_  C )  -> 
r  C_  B )
6115, 60sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r 
C_  ( B  i^i  C )  ->  r  C_  B )
6261ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) )  ->  r  C_  B
)
6362adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  r  C_  B )
6459, 63jctird 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  ( q  C_  A  /\  r  C_  B
) ) )
6557, 64jcad 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( (
q  e. HAtoms  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) ) )  ->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
6665exp3a 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
6766adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C ) 
C_  A )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
6867adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  ( r  e. HAtoms  /\  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  (
q  e. HAtoms  ->  ( ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q ) )  -> 
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
6968adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( q  e. HAtoms  ->  ( ( q 
C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
7069reximdvai 2761 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  ( E. q  e. HAtoms  ( q  C_  A  /\  r  C_  ( p  vH  q
) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
7130, 70mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B
) )  /\  A  =/=  0H )  /\  (
r  e. HAtoms  /\  (
r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A ) ) )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
7271exp32 589 . . 3  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  ( r  e. HAtoms  ->  ( ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) ) )
7372reximdvai 2761 . 2  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  ( E. r  e. HAtoms  ( r  C_  ( B  i^i  C )  /\  -.  r  C_  A )  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) ) )
7414, 73mpd 15 1  |-  ( ( ( ( p  e. HAtoms  /\  -.  ( B  i^i  C )  C_  A )  /\  p  C_  ( A  vH  B ) )  /\  A  =/=  0H )  ->  E. r  e. HAtoms  E. q  e. HAtoms  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   E.wrex 2652    i^i cin 3264    C_ wss 3265  (class class class)co 6022   CHcch 22282    vH chj 22286   0Hc0h 22288  HAtomscat 22318
This theorem is referenced by:  mdsymlem4  23759
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cc 8250  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hvcom 22354  ax-hvass 22355  ax-hv0cl 22356  ax-hvaddid 22357  ax-hfvmul 22358  ax-hvmulid 22359  ax-hvmulass 22360  ax-hvdistr1 22361  ax-hvdistr2 22362  ax-hvmul0 22363  ax-hfi 22431  ax-his1 22434  ax-his2 22435  ax-his3 22436  ax-his4 22437  ax-hcompl 22554
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-lm 17217  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cfil 19081  df-cau 19082  df-cmet 19083  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ablo 21720  df-subgo 21740  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-vs 21928  df-nmcv 21929  df-ims 21930  df-dip 22047  df-ssp 22071  df-ph 22164  df-cbn 22215  df-hnorm 22321  df-hba 22322  df-hvsub 22324  df-hlim 22325  df-hcau 22326  df-sh 22559  df-ch 22574  df-oc 22604  df-ch0 22605  df-shs 22660  df-span 22661  df-chj 22662  df-chsup 22663  df-pjh 22747  df-cv 23632  df-at 23691
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