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Theorem mdsymlem5 22987
Description: Lemma for mdsymi 22991. (Contributed by NM, 2-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdsymlem1.1  |-  A  e. 
CH
mdsymlem1.2  |-  B  e. 
CH
mdsymlem1.3  |-  C  =  ( A  vH  p
)
Assertion
Ref Expression
mdsymlem5  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( p  C_  c  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, C    p, c, q, r, A    B, c, p, q, r
Allowed substitution hints:    C( p, c)

Proof of Theorem mdsymlem5
StepHypRef Expression
1 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( q  =/=  p  <->  -.  q  =  p )
2 atnemeq0 22957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( q  =/=  p  <->  ( q  i^i  p )  =  0H ) )
31, 2syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  <->  ( q  i^i  p )  =  0H ) )
43anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  -.  q  =  p )  <->  ( p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  i^i  p )  =  0H ) ) )
543adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  -.  q  =  p )  <->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  i^i  p )  =  0H ) ) )
6 atelch 22924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e. HAtoms  ->  q  e.  CH )
7 atexch 22961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms
)  ->  ( (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  i^i  p )  =  0H )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
86, 7syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  i^i  p )  =  0H )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
95, 8sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  -.  q  =  p )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) )
109exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) ) )
11103com23 1157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p
) ) ) )
12113expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  p  e. HAtoms
)  ->  ( p  C_  ( q  vH  r
)  ->  ( -.  q  =  p  ->  r 
C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1312adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r  C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1413adantrd 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  r 
C_  ( q  vH  p ) ) ) )
1514imp32 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  r  C_  ( q  vH  p
) )
1615adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) ) )  -> 
r  C_  ( q  vH  p ) )
1716adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  (
q  vH  p )
)
18 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p )  ->  q  C_  A )
19 atelch 22924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e. HAtoms  ->  p  e.  CH )
2019anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e. HAtoms  /\  c  e.  CH )  ->  (
p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)
2120ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms )  ->  ( p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)
22 mdsymlem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  A  e. 
CH
23 chub2 22087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  A  C_  ( c  vH  A ) )
2422, 23mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  A  C_  ( c  vH  A
) )
25 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( q  C_  A  /\  A  C_  ( c  vH  A ) )  -> 
q  C_  ( c  vH  A ) )
2624, 25sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  C_  A  /\  c  e.  CH )  ->  q  C_  ( c  vH  A ) )
27 chub1 22086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  c  C_  ( c  vH  A ) )
2822, 27mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  c  C_  ( c  vH  A
) )
29 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  C_  c  /\  c  C_  ( c  vH  A ) )  ->  p  C_  ( c  vH  A ) )
3028, 29sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  C_  c  /\  c  e.  CH )  ->  p  C_  ( c  vH  A ) )
3126, 30anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( q  C_  A  /\  c  e.  CH )  /\  ( p  C_  c  /\  c  e.  CH )
)  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3231anandirs 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( q  C_  A  /\  p  C_  c )  /\  c  e.  CH )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3332ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( c  e.  CH  /\  ( q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
3433adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
) )
35 chjcl 21936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( c  vH  A
)  e.  CH )
3622, 35mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  CH  ->  (
c  vH  A )  e.  CH )
37 chlub 22088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH  /\  (
c  vH  A )  e.  CH )  ->  (
( q  C_  (
c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A ) )  <-> 
( q  vH  p
)  C_  ( c  vH  A ) ) )
3836, 37syl3an3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  (
( q  C_  (
c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A ) )  <-> 
( q  vH  p
)  C_  ( c  vH  A ) ) )
39383expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( ( q  C_  ( c  vH  A
)  /\  p  C_  (
c  vH  A )
)  <->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
) )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( ( q 
C_  ( c  vH  A )  /\  p  C_  ( c  vH  A
) )  <->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
) )
4134, 40mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
)
4241adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  (
c  vH  A )
)
43 chlejb2 22092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  ( A  C_  c  <->  ( c  vH  A )  =  c ) )
4422, 43mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  CH  ->  ( A  C_  c  <->  ( c  vH  A )  =  c ) )
4544biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  -> 
( c  vH  A
)  =  c )
4645ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( c  vH  A )  =  c )
4742, 46sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  ( A  C_  c  /\  (
q  C_  A  /\  p  C_  c ) ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  c
)
4847exp45 597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  p  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p
)  C_  c )
) ) )
4948anasss 628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( q  e.  CH  /\  ( p  e.  CH  /\  c  e.  CH )
)  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p )  C_  c
) ) ) )
506, 21, 49syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  (
c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  ( q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p
)  C_  c )
) ) )
5150adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
q  C_  A  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p ) 
C_  c ) ) ) )
5218, 51syl7 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
)  ->  ( p  C_  c  ->  ( q  vH  p )  C_  c
) ) ) )
5352imp44 579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  ( q  vH  p )  C_  c
)
5417, 53sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  c
)
55 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p )  ->  r  C_  B )
5655ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  /\  p  C_  c )  ->  r  C_  B )
5756adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  B
)
5854, 57ssind 3393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  r  C_  (
c  i^i  B )
)
59 atelch 22924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e. HAtoms  ->  r  e.  CH )
606, 59anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( q  e.  CH  /\  r  e. 
CH ) )
61 mdsymlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  B  e. 
CH
62 chincl 22078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( c  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( c  i^i  B
)  e.  CH )
6361, 62mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  CH  ->  (
c  i^i  B )  e.  CH )
64 chlej1 22089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( r  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH  /\  q  e.  CH )  /\  r  C_  ( c  i^i  B ) )  ->  ( r  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  q )
)
6564ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( r  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q ) ) )
6663, 65syl3an2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( r  e.  CH  /\  c  e.  CH  /\  q  e.  CH )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
67663comr 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH  /\  c  e.  CH )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
68673expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q ) ) )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  q
) ) )
70 chlej2 22090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  A  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7122, 70mp3anl2 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  ( c  i^i  B
)  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7263, 71sylanl2 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  c  e.  CH )  /\  q  C_  A )  ->  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
7372adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( c  i^i  B
)  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) )
74 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  vH  q ) 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
( ( c  i^i 
B )  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
7573, 74syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
r  vH  q )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
76 chjcom 22085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  ->  ( q  vH  r
)  =  ( r  vH  q ) )
7776ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
q  vH  r )  =  ( r  vH  q ) )
7877sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  <->  ( r  vH  q )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
7975, 78sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
( r  vH  q
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  q )  ->  (
q  vH  r )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8069, 79syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  q  C_  A )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  (
q  vH  r )  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8180adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  ( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
82 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p 
C_  ( q  vH  r )  ->  (
( q  vH  r
)  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
8382ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( ( q  vH  r )  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
8481, 83syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( q  e. 
CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e. 
CH )  /\  (
p  C_  ( q  vH  r )  /\  q  C_  A ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
8584exp32 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  e.  CH  /\  r  e.  CH )  /\  c  e.  CH )  ->  ( p  C_  (
q  vH  r )  ->  ( q  C_  A  ->  ( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) )
8660, 85sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  c  e. 
CH )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  (
q  C_  A  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) )
8786adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
p  C_  ( q  vH  r )  ->  (
q  C_  A  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) )
8887imp31 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  p  C_  ( q  vH  r ) )  /\  q  C_  A
)  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B
)  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
8988adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  p  C_  ( q  vH  r ) )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B
) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9089anasss 628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) ) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9190adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  (
r  C_  ( c  i^i  B )  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) )
9291adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) ) )  -> 
( r  C_  (
c  i^i  B )  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) )
9392adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  ( r  C_  ( c  i^i  B
)  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) )
9458, 93mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  /\  ( ( A  C_  c  /\  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p ) )  /\  p  C_  c ) )  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
)
9594exp32 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  (
( A  C_  c  /\  ( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  /\  -.  q  =  p
) )  ->  (
p  C_  c  ->  p 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  A ) ) ) )
9695exp4d 592 . . . . 5  |-  ( ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  /\  ( c  e.  CH  /\  p  e. HAtoms ) )  ->  ( A  C_  c  ->  (
( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p  C_  c  ->  p 
C_  ( ( c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
9796exp32 588 . . . 4  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( c  e.  CH  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( A  C_  c  ->  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p 
C_  c  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) ) ) ) )
9897com34 77 . . 3  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( c  e.  CH  ->  ( A  C_  c  ->  ( p  e. HAtoms  ->  ( ( p 
C_  ( q  vH  r )  /\  (
q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( p 
C_  c  ->  p  C_  ( ( c  i^i 
B )  vH  A
) ) ) ) ) ) ) )
9998imp4c 574 . 2  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( ( p  C_  ( q  vH  r
)  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  -> 
( -.  q  =  p  ->  ( p  C_  c  ->  p  C_  (
( c  i^i  B
)  vH  A )
) ) ) ) )
10099com24 81 1  |-  ( ( q  e. HAtoms  /\  r  e. HAtoms )  ->  ( -.  q  =  p  ->  ( ( p  C_  (
q  vH  r )  /\  ( q  C_  A  /\  r  C_  B ) )  ->  ( (
( c  e.  CH  /\  A  C_  c )  /\  p  e. HAtoms )  -> 
( p  C_  c  ->  p  C_  ( (
c  i^i  B )  vH  A ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    i^i cin 3151    C_ wss 3152  (class class class)co 5858   CHcch 21509    vH chj 21513   0Hc0h 21515  HAtomscat 21545
This theorem is referenced by:  mdsymlem6  22988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-span 21888  df-chj 21889  df-chsup 21890  df-pjh 21974  df-cv 22859  df-at 22918
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