Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcstOLD Structured version   Unicode version

Theorem measdivcstOLD 24570
 Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
measdivcstOLD measures /𝑒 measures
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem measdivcstOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5481 . . . . . 6 /𝑒
2 ovex 6098 . . . . . . . 8 /𝑒
32rgenw 2765 . . . . . . 7 /𝑒
4 dmmptg 5359 . . . . . . 7 /𝑒 /𝑒
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6 /𝑒
6 df-fn 5449 . . . . . 6 /𝑒 /𝑒 /𝑒
71, 5, 6mpbir2an 887 . . . . 5 /𝑒
87a1i 11 . . . 4 measures /𝑒
9 vex 2951 . . . . . . 7
10 eqid 2435 . . . . . . . 8 /𝑒 /𝑒
1110elrnmpt 5109 . . . . . . 7 /𝑒 /𝑒
129, 11ax-mp 8 . . . . . 6 /𝑒 /𝑒
13 measfrge0 24549 . . . . . . . . . . 11 measures
14 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . 11
1513, 14sylan 458 . . . . . . . . . 10 measures
1615adantlr 696 . . . . . . . . 9 measures
17 simplr 732 . . . . . . . . 9 measures
1816, 17xrpxdivcld 24173 . . . . . . . 8 measures /𝑒
19 eleq1a 2504 . . . . . . . 8 /𝑒 /𝑒
2018, 19syl 16 . . . . . . 7 measures /𝑒
2120rexlimdva 2822 . . . . . 6 measures /𝑒
2212, 21syl5bi 209 . . . . 5 measures /𝑒
2322ssrdv 3346 . . . 4 measures /𝑒
24 df-f 5450 . . . 4 /𝑒 /𝑒 /𝑒
258, 23, 24sylanbrc 646 . . 3 measures /𝑒
26 measbase 24543 . . . . . . . 8 measures sigAlgebra
27 0elsiga 24489 . . . . . . . 8 sigAlgebra
2826, 27syl 16 . . . . . . 7 measures
2928adantr 452 . . . . . 6 measures
30 ovex 6098 . . . . . 6 /𝑒
3129, 30jctir 525 . . . . 5 measures /𝑒
32 fveq2 5720 . . . . . . 7
3332oveq1d 6088 . . . . . 6 /𝑒 /𝑒
3433, 10fvmptg 5796 . . . . 5 /𝑒 /𝑒 /𝑒
3531, 34syl 16 . . . 4 measures /𝑒 /𝑒
36 measvnul 24552 . . . . . 6 measures
3736oveq1d 6088 . . . . 5 measures /𝑒 /𝑒
38 xdiv0rp 24168 . . . . 5 /𝑒
3937, 38sylan9eq 2487 . . . 4 measures /𝑒
4035, 39eqtrd 2467 . . 3 measures /𝑒
41 simpll 731 . . . . . 6 measures Disj measures
42 simplr 732 . . . . . . 7 measures Disj
43 simprl 733 . . . . . . 7 measures Disj
44 simprr 734 . . . . . . 7 measures Disj Disj
4542, 43, 443jca 1134 . . . . . 6 measures Disj Disj
469a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
47 simplll 735 . . . . . . . . . 10 measures measures
48 simplr 732 . . . . . . . . . . 11 measures
49 simpr 448 . . . . . . . . . . 11 measures
50 elpwg 3798 . . . . . . . . . . . . 13
519, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
52 ssel2 3335 . . . . . . . . . . . 12
5351, 52sylanb 459 . . . . . . . . . . 11
5448, 49, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 measures
55 measvxrge0 24551 . . . . . . . . . 10 measures
5647, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . . . 9 measures
57 simplr 732 . . . . . . . . 9 measures
5846, 56, 57esumdivc 24465 . . . . . . . 8 measures Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
59583ad2antr1 1122 . . . . . . 7 measures Disj Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
6026ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10 measures Disj sigAlgebra
61 simpr1 963 . . . . . . . . . 10 measures Disj
62 simpr2 964 . . . . . . . . . 10 measures Disj
63 sigaclcu 24492 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
6460, 61, 62, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 measures Disj
65 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
6665oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10 /𝑒 /𝑒
6766, 10, 2fvmpt3i 5801 . . . . . . . . 9 /𝑒 /𝑒
6864, 67syl 16 . . . . . . . 8 measures Disj /𝑒 /𝑒
69 simpll 731 . . . . . . . . . . 11 measures Disj measures
7069, 61jca 519 . . . . . . . . . 10 measures Disj measures
71 simpr3 965 . . . . . . . . . . 11 measures Disj Disj
7262, 71jca 519 . . . . . . . . . 10 measures Disj Disj
73 measvun 24555 . . . . . . . . . . . . 13 measures Disj Σ*
74733expia 1155 . . . . . . . . . . . 12 measures Disj Σ*
7574ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11 measures Disj Σ*
7675r19.21bi 2796 . . . . . . . . . 10 measures Disj Σ*
7770, 72, 76sylc 58 . . . . . . . . 9 measures Disj Σ*
7877oveq1d 6088 . . . . . . . 8 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
7968, 78eqtrd 2467 . . . . . . 7 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
80 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12
8180oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11 /𝑒 /𝑒
8281, 10, 2fvmpt3i 5801 . . . . . . . . . 10 /𝑒 /𝑒
8353, 82syl 16 . . . . . . . . 9 /𝑒 /𝑒
8483esumeq2dv 24427 . . . . . . . 8 Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
8561, 84syl 16 . . . . . . 7 measures Disj Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
8659, 79, 853eqtr4d 2477 . . . . . 6 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
8741, 45, 86syl2anc 643 . . . . 5 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
8887ex 424 . . . 4 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
8988ralrimiva 2781 . . 3 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
9025, 40, 893jca 1134 . 2 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
91 ismeas 24545 . . . . 5 sigAlgebra /𝑒 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
9226, 91syl 16 . . . 4 measures /𝑒 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
9392biimprd 215 . . 3 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒 /𝑒 measures
9493adantr 452 . 2 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒 /𝑒 measures
9590, 94mpd 15 1 measures /𝑒 measures
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cuni 4007  Disj wdisj 4174   class class class wbr 4204   cmpt 4258  com 4837   cdm 4870   crn 4871   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cdom 7099  cc0 8982   cpnf 9109  crp 10604  cicc 10911   /𝑒 cxdiv 24155  Σ*cesum 24416  sigAlgebracsiga 24482  measurescmeas 24541 This theorem is referenced by:  probfinmeasbOLD  24678  probmeasb  24680 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-ordt 13717  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tsms 18148  df-xdiv 24156  df-esum 24417  df-siga 24483  df-meas 24542
 Copyright terms: Public domain W3C validator