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Theorem measdivcstOLD 23553
Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measdivcstOLD  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, M    x, S

Proof of Theorem measdivcstOLD
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funmpt 5292 . . . . . 6  |-  Fun  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )
2 ovex 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  e.  _V
32rgenw 2612 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  S  ( ( M `  x ) /𝑒  A
)  e.  _V
4 dmmptg 5172 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  =  S )
53, 4ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  =  S
6 df-fn 5260 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  Fn  S  <->  ( Fun  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  /\  dom  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  =  S ) )
71, 5, 6mpbir2an 886 . . . . 5  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S
87a1i 10 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  Fn  S
)
9 vex 2793 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
10 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )
1110elrnmpt 4928 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ran  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  <->  E. x  e.  S  y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  <->  E. x  e.  S  y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )
13 measfrge0 23535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  M : S
--> ( 0 [,]  +oo ) )
14 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M : S --> ( 0 [,]  +oo )  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1513, 14sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
1615adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  ( M `  x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
17 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR+ )
1816, 17xrpxdivcld 23121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
19 eleq1a 2354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M `  x
) /𝑒 
A )  e.  ( 0 [,]  +oo )  ->  ( y  =  ( ( M `  x
) /𝑒 
A )  ->  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  x  e.  S )  ->  (
y  =  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  ->  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2120rexlimdva 2669 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  S  y  =  ( ( M `
 x ) /𝑒  A )  ->  y  e.  ( 0 [,]  +oo )
) )
2212, 21syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) )  ->  y  e.  ( 0 [,]  +oo ) ) )
2322ssrdv 3187 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ran  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  C_  (
0 [,]  +oo ) )
24 df-f 5261 . . . 4  |-  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) : S --> ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  Fn  S  /\  ran  (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  C_  ( 0 [,]  +oo ) ) )
258, 23, 24sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,]  +oo ) )
26 measbase 23530 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
27 0elsiga 23477 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  S
)
2826, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  (/)  e.  S
)
2928adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  (/)  e.  S
)
30 ovex 5885 . . . . . 6  |-  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V
3129, 30jctir 524 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (/)  e.  S  /\  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V ) )
32 fveq2 5527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( M `
 x )  =  ( M `  (/) ) )
3332oveq1d 5875 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( M `  x ) /𝑒  A )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
3433, 10fvmptg 5602 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  S  /\  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
3531, 34syl 15 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  (/) )  =  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A ) )
36 measvnul 23538 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
3736oveq1d 5875 . . . . 5  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  =  ( 0 /𝑒  A ) )
38 xdiv0rp 23115 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 0 /𝑒  A )  =  0 )
3937, 38sylan9eq 2337 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( ( M `  (/) ) /𝑒  A )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2317 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  (/) )  =  0 )
41 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )
)
42 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  y  e.  ~P S )
43 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  y  ~<_  om )
44 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  -> Disj  z  e.  y z )
4542, 43, 443jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( y  e. 
~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y
z ) )
469a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
y  e.  _V )
47 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  M  e.  (measures `  S )
)
48 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  y  e.  ~P S )
49 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
50 elpwg 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  ~P S  <->  y 
C_  S ) )
519, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P S  <->  y  C_  S )
52 ssel2 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  S  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  S )
5351, 52sylanb 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ~P S  /\  z  e.  y
)  ->  z  e.  S )
5448, 49, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  S )
55 measvxrge0 23537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( M `  z )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5647, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  z  e.  y )  ->  ( M `  z )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
57 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  ->  A  e.  RR+ )
5846, 56, 57esumdivc 23453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
(Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A )  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
59583ad2antr1 1120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  (Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A )  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
6026ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
61 simpr1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  y  e.  ~P S )
62 simpr2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  y  ~<_  om )
63 sigaclcu 23480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om )  ->  U. y  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  U. y  e.  S
)
65 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. y  -> 
( M `  x
)  =  ( M `
 U. y ) )
6665oveq1d 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( M `  x ) /𝑒  A )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
6766, 10, 2fvmpt3i 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( U. y  e.  S  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
6864, 67syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  ( ( M `  U. y ) /𝑒  A ) )
69 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  M  e.  (measures `  S ) )
7069, 61jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( M  e.  (measures `  S )  /\  y  e.  ~P S ) )
71 simpr3 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  -> Disj  z  e.  y z )
7262, 71jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( y  ~<_  om 
/\ Disj  z  e.  y z ) )
73 measvun 23539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) )
74733expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S )  ->  (
( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7574ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  -> 
( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7675r19.21bi 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  y  e.  ~P S )  ->  (
( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) ) )
7770, 72, 76sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( M `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( M `  z ) )
7877oveq1d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( ( M `
 U. y ) /𝑒  A )  =  (Σ* z  e.  y ( M `  z ) /𝑒  A ) )
7968, 78eqtrd 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  =  (Σ* z  e.  y ( M `
 z ) /𝑒  A ) )
80 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( M `  x )  =  ( M `  z ) )
8180oveq1d 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( M `  x
) /𝑒 
A )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8281, 10, 2fvmpt3i 5607 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8353, 82syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~P S  /\  z  e.  y
)  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  z )  =  ( ( M `  z
) /𝑒 
A ) )
8483esumeq2dv 23422 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P S  -> Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
)  = Σ* z  e.  y ( ( M `  z ) /𝑒  A ) )
8561, 84syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  -> Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z )  = Σ* z  e.  y ( ( M `
 z ) /𝑒  A ) )
8659, 79, 853eqtr4d 2327 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  ~P S  /\  y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) )
8741, 45, 86syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  /\  (
y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z ) )  ->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) )
8887ex 423 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A  e.  RR+ )  /\  y  e.  ~P S )  -> 
( ( y  ~<_  om 
/\ Disj  z  e.  y z )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )
8988ralrimiva 2628 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  -> 
( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) ) `  U. y
)  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `
 x ) /𝑒  A ) ) `  z ) ) )
9025, 40, 893jca 1132 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) ) : S --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) )
91 ismeas 23532 . . . . 5  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) ) )
9226, 91syl 15 . . . 4  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( (
x  e.  S  |->  ( ( M `  x
) /𝑒 
A ) )  e.  (measures `  S )  <->  ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) ) ) )
9392biimprd 214 . . 3  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  (/) )  =  0  /\ 
A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )
) )
9493adantr 451 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) : S --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
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A. y  e.  ~P  S ( ( y  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  y z )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  U. y )  = Σ* z  e.  y ( ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) ) `  z
) ) )  -> 
( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S )
) )
9590, 94mpd 14 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  S  |->  ( ( M `  x ) /𝑒  A ) )  e.  (measures `  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   U.cuni 3829  Disj wdisj 3995   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   omcom 4658   dom cdm 4691   ran crn 4692   Fun wfun 5251    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    ~<_ cdom 6863   0cc0 8739    +oocpnf 8866   RR+crp 10356   [,]cicc 10661   /𝑒 cxdiv 23102  Σ*cesum 23412  sigAlgebracsiga 23470  measurescmeas 23528
This theorem is referenced by:  probfinmeasbOLD  23633  probmeasb  23635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-hash 11340  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-ordt 13404  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-ps 14308  df-tsr 14309  df-mnd 14369  df-mhm 14417  df-submnd 14418  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-ntr 16759  df-nei 16837  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-tsms 17811  df-xdiv 23103  df-esum 23413  df-siga 23471  df-meas 23529
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