Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Unicode version

Theorem measiuns 24573
 Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 24574 and meascnbl 24575 (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0
measiuns.1
measiuns.2 ..^
measiuns.3 measures
measiuns.4
Assertion
Ref Expression
measiuns Σ* ..^
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4
2 measiuns.1 . . . 4
3 measiuns.2 . . . 4 ..^
41, 2, 3iundisjcnt 24156 . . 3 ..^
54fveq2d 5734 . 2 ..^
6 measiuns.3 . . 3 measures
7 measbase 24553 . . . . . . 7 measures sigAlgebra
86, 7syl 16 . . . . . 6 sigAlgebra
98adantr 453 . . . . 5 sigAlgebra
10 measiuns.4 . . . . 5
11 simpll 732 . . . . . . . 8 ..^
12 fzossnn 11174 . . . . . . . . . . 11 ..^
13 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl5sseqr 3399 . . . . . . . . . 10 ..^
15 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
16 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
1715, 16eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
18 elfzouz2 11155 . . . . . . . . . . . 12 ..^
19 fzoss2 11165 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^
2120, 16sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
223adantr 453 . . . . . . . . . 10 ..^
2314, 21, 22mpjaodan 763 . . . . . . . . 9 ..^
2423sselda 3350 . . . . . . . 8 ..^
2510sbimi 1665 . . . . . . . . 9
26 sban 2141 . . . . . . . . . 10
27 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12
2827sbf 2119 . . . . . . . . . . 11
29 clelsb3 2540 . . . . . . . . . . 11
3028, 29anbi12i 680 . . . . . . . . . 10
3126, 30bitri 242 . . . . . . . . 9
32 sbsbc 3167 . . . . . . . . . . 11
33 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12
34 sbcel1g 3272 . . . . . . . . . . . 12
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
3632, 35bitri 242 . . . . . . . . . 10
37 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13
3837, 1, 2cbvcsb 3257 . . . . . . . . . . . 12
39 csbid 3260 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11
4140eleq1i 2501 . . . . . . . . . 10
4236, 41bitri 242 . . . . . . . . 9
4325, 31, 423imtr3i 258 . . . . . . . 8
4411, 24, 43syl2anc 644 . . . . . . 7 ..^
4544ralrimiva 2791 . . . . . 6 ..^
46 sigaclfu2 24506 . . . . . 6 sigAlgebra ..^ ..^
479, 45, 46syl2anc 644 . . . . 5 ..^
48 difelsiga 24518 . . . . 5 sigAlgebra ..^ ..^
499, 10, 47, 48syl3anc 1185 . . . 4 ..^
5049ralrimiva 2791 . . 3 ..^
51 eqimss 3402 . . . . . 6
52 fzossnn 11174 . . . . . . 7 ..^
53 sseq1 3371 . . . . . . 7 ..^ ..^
5452, 53mpbiri 226 . . . . . 6 ..^
5551, 54jaoi 370 . . . . 5 ..^
563, 55syl 16 . . . 4
57 nnct 24101 . . . 4
58 ssct 24103 . . . 4
5956, 57, 58sylancl 645 . . 3
601, 2, 3iundisj2cnt 24157 . . 3 Disj ..^
61 measvuni 24570 . . 3 measures ..^ Disj ..^ ..^ Σ* ..^
626, 50, 59, 60, 61syl112anc 1189 . 2 ..^ Σ* ..^
635, 62eqtrd 2470 1 Σ* ..^
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653  wsb 1659   wcel 1726  wnfc 2561  wral 2707  cvv 2958  wsbc 3163  csb 3253   cdif 3319   wss 3322  cuni 4017  ciun 4095  Disj wdisj 4184   class class class wbr 4214  com 4847   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083   cdom 7109  c1 8993  cn 10002  cuz 10490  ..^cfzo 11137  Σ*cesum 24426  sigAlgebracsiga 24492  measurescmeas 24551 This theorem is referenced by:  measiun  24574  meascnbl  24575 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-ac 7999  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-ordt 13727  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-ps 14631  df-tsr 14632  df-mnd 14692  df-plusf 14693  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-abv 15907  df-lmod 15954  df-scaf 15955  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-tmd 18104  df-tgp 18105  df-tsms 18158  df-trg 18191  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nrg 18635  df-nlm 18636  df-ii 18909  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-esum 24427  df-siga 24493  df-meas 24552
 Copyright terms: Public domain W3C validator