Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measiuns Structured version   Unicode version

Theorem measiuns 24573
Description: The measure of the union of a collection of sets, expressed as the sum of a disjoint set. This is used as a lemma for both measiun 24574 and meascnbl 24575 (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2017.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measiuns.0  |-  F/_ n B
measiuns.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
measiuns.2  |-  ( ph  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ I ) ) )
measiuns.3  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
measiuns.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  A  e.  S )
Assertion
Ref Expression
measiuns  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  N  A )  = Σ* n  e.  N ( M `  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, n, I    n, M   
k, N, n    S, k, n    ph, k, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k, n)    M( k)

Proof of Theorem measiuns
StepHypRef Expression
1 measiuns.0 . . . 4  |-  F/_ n B
2 measiuns.1 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
3 measiuns.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ I ) ) )
41, 2, 3iundisjcnt 24156 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  N  A  =  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) )
54fveq2d 5734 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  N  A )  =  ( M `  U_ n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
6 measiuns.3 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  (measures `  S
) )
7 measbase 24553 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (measures `  S
)  ->  S  e.  U.
ran sigAlgebra )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
98adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
10 measiuns.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  A  e.  S )
11 simpll 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  ph )
12 fzossnn 11174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1..^ n )  C_  NN
13 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  NN )  ->  N  =  NN )
1412, 13syl5sseqr 3399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  NN )  ->  (
1..^ n )  C_  N )
15 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  n  e.  N )
16 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  N  =  ( 1..^ I ) )
1715, 16eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  n  e.  ( 1..^ I ) )
18 elfzouz2 11155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1..^ I )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  n )
)
19 fzoss2 11165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( 1..^ n )  C_  (
1..^ I ) )
2017, 18, 193syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  (
1..^ n )  C_  ( 1..^ I ) )
2120, 16sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  (
1..^ n )  C_  N )
223adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ I ) ) )
2314, 21, 22mpjaodan 763 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  (
1..^ n )  C_  N )
2423sselda 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  k  e.  N )
2510sbimi 1665 . . . . . . . . 9  |-  ( [ k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  N )  ->  [ k  /  n ] A  e.  S )
26 sban 2141 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  N )  <->  ( [
k  /  n ] ph  /\  [ k  /  n ] n  e.  N
) )
27 nfv 1630 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n ph
2827sbf 2119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ k  /  n ] ph 
<-> 
ph )
29 clelsb3 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ k  /  n ]
n  e.  N  <->  k  e.  N )
3028, 29anbi12i 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ k  /  n ] ph  /\  [ k  /  n ] n  e.  N )  <->  ( ph  /\  k  e.  N ) )
3126, 30bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( [ k  /  n ]
( ph  /\  n  e.  N )  <->  ( ph  /\  k  e.  N ) )
32 sbsbc 3167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ k  /  n ] A  e.  S  <->  [. k  /  n ]. A  e.  S
)
33 vex 2961 . . . . . . . . . . . 12  |-  k  e. 
_V
34 sbcel1g 3272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  _V  ->  ( [. k  /  n ]. A  e.  S  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  S )
)
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. k  /  n ]. A  e.  S  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  S
)
3632, 35bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ k  /  n ] A  e.  S  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  S
)
37 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k A
3837, 1, 2cbvcsb 3257 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ k  /  n ]_ A  = 
[_ k  /  k ]_ B
39 csbid 3260 . . . . . . . . . . . 12  |-  [_ k  /  k ]_ B  =  B
4038, 39eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ k  /  n ]_ A  =  B
4140eleq1i 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ k  /  n ]_ A  e.  S  <->  B  e.  S
)
4236, 41bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( [ k  /  n ] A  e.  S  <->  B  e.  S )
4325, 31, 423imtr3i 258 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  N )  ->  B  e.  S )
4411, 24, 43syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  N )  /\  k  e.  ( 1..^ n ) )  ->  B  e.  S )
4544ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  A. k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )
46 sigaclfu2 24506 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A. k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )
479, 45, 46syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )
48 difelsiga 24518 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  e.  S )  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  e.  S
)
499, 10, 47, 48syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  N )  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  e.  S
)
5049ralrimiva 2791 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  e.  S
)
51 eqimss 3402 . . . . . 6  |-  ( N  =  NN  ->  N  C_  NN )
52 fzossnn 11174 . . . . . . 7  |-  ( 1..^ I )  C_  NN
53 sseq1 3371 . . . . . . 7  |-  ( N  =  ( 1..^ I )  ->  ( N  C_  NN  <->  ( 1..^ I )  C_  NN )
)
5452, 53mpbiri 226 . . . . . 6  |-  ( N  =  ( 1..^ I )  ->  N  C_  NN )
5551, 54jaoi 370 . . . . 5  |-  ( ( N  =  NN  \/  N  =  ( 1..^ I ) )  ->  N  C_  NN )
563, 55syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  C_  NN )
57 nnct 24101 . . . 4  |-  NN  ~<_  om
58 ssct 24103 . . . 4  |-  ( ( N  C_  NN  /\  NN  ~<_  om )  ->  N  ~<_  om )
5956, 57, 58sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  N  ~<_  om )
601, 2, 3iundisj2cnt 24157 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  N ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
61 measvuni 24570 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. n  e.  N  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  e.  S  /\  ( N  ~<_  om  /\ Disj  n  e.  N ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B ) ) )  -> 
( M `  U_ n  e.  N  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  = Σ* n  e.  N ( M `  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
626, 50, 59, 60, 61syl112anc 1189 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  N  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  = Σ* n  e.  N ( M `  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
635, 62eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( M `  U_ n  e.  N  A )  = Σ* n  e.  N ( M `  ( A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653   [wsb 1659    e. wcel 1726   F/_wnfc 2561   A.wral 2707   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163   [_csb 3253    \ cdif 3319    C_ wss 3322   U.cuni 4017   U_ciun 4095  Disj wdisj 4184   class class class wbr 4214   omcom 4847   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ~<_ cdom 7109   1c1 8993   NNcn 10002   ZZ>=cuz 10490  ..^cfzo 11137  Σ*cesum 24426  sigAlgebracsiga 24492  measurescmeas 24551
This theorem is referenced by:  measiun  24574  meascnbl  24575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-ac 7999  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-ordt 13727  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-ps 14631  df-tsr 14632  df-mnd 14692  df-plusf 14693  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-abv 15907  df-lmod 15954  df-scaf 15955  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-tmd 18104  df-tgp 18105  df-tsms 18158  df-trg 18191  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-nm 18632  df-ngp 18633  df-nrg 18635  df-nlm 18636  df-ii 18909  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-esum 24427  df-siga 24493  df-meas 24552
  Copyright terms: Public domain W3C validator