MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  meetle Unicode version

Theorem meetle 14150
Description: A meet is greater than or equal to a third value iff each argument is greater than or equal to the third value. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
meetval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
meetval2.s  |-  .<_  =  ( le `  K )
meetval2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
meetle  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )

Proof of Theorem meetle
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetval2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 meetval2.s . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 meetval2.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
41, 2, 3lemeet1 14148 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
54ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X ) )
653adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X ) )
763impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
8 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
9 simp23 990 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  Z  e.  B
)
10 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
11 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  X  e.  B
)
121, 2postr 14103 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Z  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )  ->  Z  .<_  X ) )
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X )  ->  Z  .<_  X ) )
147, 13mpan2d 655 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  Z  .<_  X )
)
151, 2, 3lemeet2 14149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
1615ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  Y ) )
17163adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y ) )
18173impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
19 simp22 989 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  Y  e.  B
)
201, 2postr 14103 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Z  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )  ->  Z  .<_  Y ) )
218, 9, 10, 19, 20syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y )  ->  Z  .<_  Y ) )
2218, 21mpan2d 655 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  Z  .<_  Y )
)
2314, 22jcad 519 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
241, 2, 3meetlem 14147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( X  ./\  Y )  .<_  X  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
2524simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
26 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  X  <->  Z  .<_  X ) )
27 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  Y  <->  Z  .<_  Y ) )
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
29 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
3028, 29imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) )  <-> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) )
3130rspccv 2894 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
3225, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y
) ) ) )
3332ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
3433com23 72 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
35343exp 1150 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) ) ) )
36353impd 1165 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
37363imp 1145 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
3823, 37impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   meetcmee 14095
This theorem is referenced by:  latlem12  14200
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-glb 14125  df-meet 14127
  Copyright terms: Public domain W3C validator