Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  meetle Structured version   Unicode version

Theorem meetle 14458
 Description: A meet is greater than or equal to a third value iff each argument is greater than or equal to the third value. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
meetval2.b
meetval2.s
meetval2.m
Assertion
Ref Expression
meetle

Proof of Theorem meetle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetval2.b . . . . . . . 8
2 meetval2.s . . . . . . . 8
3 meetval2.m . . . . . . . 8
41, 2, 3lemeet1 14456 . . . . . . 7
54ex 425 . . . . . 6
653adant3r3 1165 . . . . 5
763impia 1151 . . . 4
8 simp1 958 . . . . 5
9 simp23 993 . . . . 5
10 simp3 960 . . . . 5
11 simp21 991 . . . . 5
121, 2postr 14411 . . . . 5
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1187 . . . 4
147, 13mpan2d 657 . . 3
151, 2, 3lemeet2 14457 . . . . . . 7
1615ex 425 . . . . . 6
17163adant3r3 1165 . . . . 5
18173impia 1151 . . . 4
19 simp22 992 . . . . 5
201, 2postr 14411 . . . . 5
218, 9, 10, 19, 20syl13anc 1187 . . . 4
2218, 21mpan2d 657 . . 3
241, 2, 3meetlem 14455 . . . . . . . . 9
2524simprd 451 . . . . . . . 8
26 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11
27 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11
2826, 27anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
29 breq1 4216 . . . . . . . . . 10
3028, 29imbi12d 313 . . . . . . . . 9
3130rspccv 3050 . . . . . . . 8
3225, 31syl 16 . . . . . . 7
3332ex 425 . . . . . 6
3433com23 75 . . . . 5
35343exp 1153 . . . 4
36353impd 1168 . . 3
37363imp 1148 . 2
3823, 37impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706   class class class wbr 4213  cfv 5455  (class class class)co 6082  cbs 13470  cple 13537  cpo 14398  cmee 14403 This theorem is referenced by:  latlem12  14508 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-undef 6544  df-riota 6550  df-poset 14404  df-glb 14433  df-meet 14435
 Copyright terms: Public domain W3C validator