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Theorem meetle 14134
Description: A meet is greater than or equal to a third value iff each argument is greater than or equal to the third value. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
meetval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
meetval2.s  |-  .<_  =  ( le `  K )
meetval2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
meetle  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )

Proof of Theorem meetle
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetval2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 meetval2.s . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 meetval2.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
41, 2, 3lemeet1 14132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
54ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X ) )
653adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X ) )
763impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
8 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
9 simp23 990 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  Z  e.  B
)
10 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
11 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  X  e.  B
)
121, 2postr 14087 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Z  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )  ->  Z  .<_  X ) )
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X )  ->  Z  .<_  X ) )
147, 13mpan2d 655 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  Z  .<_  X )
)
151, 2, 3lemeet2 14133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
1615ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  Y ) )
17163adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y ) )
18173impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
19 simp22 989 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  Y  e.  B
)
201, 2postr 14087 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Z  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )  ->  Z  .<_  Y ) )
218, 9, 10, 19, 20syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y )  ->  Z  .<_  Y ) )
2218, 21mpan2d 655 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  Z  .<_  Y )
)
2314, 22jcad 519 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
241, 2, 3meetlem 14131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( X  ./\  Y )  .<_  X  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
2524simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
26 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  X  <->  Z  .<_  X ) )
27 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  Y  <->  Z  .<_  Y ) )
2826, 27anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
29 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
3028, 29imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) )  <-> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) )
3130rspccv 2881 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
3225, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y
) ) ) )
3332ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
3433com23 72 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
35343exp 1150 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) ) ) )
36353impd 1165 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
37363imp 1145 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
3823, 37impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   meetcmee 14079
This theorem is referenced by:  latlem12  14184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-glb 14109  df-meet 14111
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