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Theorem meetle 14458
Description: A meet is greater than or equal to a third value iff each argument is greater than or equal to the third value. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
meetval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
meetval2.s  |-  .<_  =  ( le `  K )
meetval2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
meetle  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )

Proof of Theorem meetle
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetval2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 meetval2.s . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 meetval2.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
41, 2, 3lemeet1 14456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
54ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X ) )
653adant3r3 1165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X ) )
763impia 1151 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
8 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
9 simp23 993 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  Z  e.  B
)
10 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
11 simp21 991 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  X  e.  B
)
121, 2postr 14411 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Z  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )  ->  Z  .<_  X ) )
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  X )  ->  Z  .<_  X ) )
147, 13mpan2d 657 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  Z  .<_  X )
)
151, 2, 3lemeet2 14457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
1615ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  Y ) )
17163adant3r3 1165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y ) )
18173impia 1151 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
19 simp22 992 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  Y  e.  B
)
201, 2postr 14411 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Z  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )  ->  Z  .<_  Y ) )
218, 9, 10, 19, 20syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y )  ->  Z  .<_  Y ) )
2218, 21mpan2d 657 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  Z  .<_  Y )
)
2314, 22jcad 521 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  ->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
241, 2, 3meetlem 14455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( X  ./\  Y )  .<_  X  /\  ( X 
./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
2524simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
26 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  X  <->  Z  .<_  X ) )
27 breq1 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  Y  <->  Z  .<_  Y ) )
2826, 27anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
29 breq1 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
3028, 29imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) )  <-> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) )
3130rspccv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
3225, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y
) ) ) )
3332ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
3433com23 75 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
35343exp 1153 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  ./\  Y
)  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) ) ) )
36353impd 1168 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  -> 
( ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
37363imp 1148 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Z 
.<_  X  /\  Z  .<_  Y )  ->  Z  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
3823, 37impbid 185 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  ( Z  .<_  X  /\  Z  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   lecple 13537   Posetcpo 14398   meetcmee 14403
This theorem is referenced by:  latlem12  14508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-undef 6544  df-riota 6550  df-poset 14404  df-glb 14433  df-meet 14435
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